Domaine - La statistique et la probabilité (la chance et l incertitude)

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1 Domaine - La statistique et la probabilité (la chance et l incertitude) Mathématiques 3231/

2 La statistique et la probabilité : La chance et l incertitude SP2 : L élève doit pouvoir utiliser les probabilités pour prédire le résultat de situations incertaines d ordre pratique et théorique. Résultats d'apprentissage spécifiques Pistes d'enseignement L'élève doit pouvoir : SP2.1 classifier des événements dans l'espace d'échantillonnage et déterminer leurs probabilités en utilisant l'analyse combinatoire ; SP2.2 déterminer la probabilité conditionnelle de deux événements ; SP2.3 déterminer la distribution théorique de probabilités en se servant de l'analyse combinatoire ; SP2.4 utiliser la distribution binomiale pour calculer des probabilités. Au cours d une activité de remue-méninges, amener les élèves à distinguer entre événements indépendants et dépendants, et événements mutuellement exclusifs et non mutuellement exclusifs. Les réunir ensuite en petites équipes et leur confier la tâche de résoudre des problèmes qui font appel au calcul des probabilités de ces événements. Une fois la tâche terminée, inviter des équipes volontaires à présenter les solutions de ces problèmes au reste de la classe. Demander aux élèves de travailler en équipes de deux pour résoudre des problèmes qui font intervenir la détermination des probabilités à l aide de permutations et de combinaisons. Il est avantageux aux élèves de leur rappeler que les permutations consistent à regrouper des objets dans un ordre donné et que les combinaisons consistent à les regrouper sans se soucier de l ordre. Les élèves devraient rédiger un compte rendu de la solution détaillée d un problème qui fait appel aux permutations et d un autre aux combinaisons. Par l entremise d exemples variés, amener les élèves à comprendre la notion de la probabilité conditionnelle d un événement. Leur demander ensuite d appliquer la loi de Bayes pour résoudre des problèmes de probabilité conditionnelle qui font intervenir l analyse des situations réelles afin de prendre des décisions éclairées. Les encourager à utiliser des diagrammes en arbre ou des tableaux pour résoudre ces problèmes. Utiliser des situations réelles et concrètes pour expliquer aux élèves la notion de la distribution binomiale. Les amener à découvrir la formule de cette distribution et à l utiliser pour résoudre des problèmes tels que le suivant : En basket-ball, le taux de réussite de Nathalie pour les lancers francs est de 90 %. Dans un match, Nathalie doit effectuer 10 lancers francs. Quelle est la probabilité : a. qu elle en réussisse exactement 8? b. qu elle en réussisse au moins 5? Proposer aux élèves de calculer les probabilités binomiales de ce problème à la main, puis de vérifier leurs réponses à l aide d une calculatrice à affichage graphique. 114 Mathématiques 3231/3232

3 Pistes d'évaluation Ressources Pendant que les élèves résolvent des problèmes impliquant des permutations et des combinaisons, observer s ils peuvent : S utiliser la terminologie appropriée ; S faire une distinction entre une permutation et une combinaison ; S utiliser correctement les formules correspondantes. En vue de vérifier si les élèves ont compris les probabilités de différents types d événements, leur poser des questions pertinentes qui les incitent à montrer les différences entre : S la probabilité d un événement ; S la probabilité d événements indépendants ; S la probabilité d événements exclusifs ; S la probabilité conditionnelle. Confier aux élèves la tâche de résoudre un problème concret impliquant le calcul d une probabilité conditionnelle. Une fois la tâche terminée, ramasser les travaux des élèves pour les corriger. En les corrigeant, noter dans quelle mesure ils sont capables de : S faire un arbre de probabilité ; S sélectionner les branches appropriées de cet arbre qui permettent de trouver la réponse ; S porter un jugement en se basant sur les résultats obtenus. Demander aux élèves d écrire dans le journal de bord un court paragraphe pour : S expliquer la différence entre un histogramme et un diagramme à bandes ; S indiquer à quoi est proportionnelle l aire de la bande d un histogramme représentatif d une distribution de probabilités ; S expliquer pourquoi la somme des aires des bandes de l histogramme doit être égale à 1 ou à 100 %. Omnimaths 12 Mathématiques 3231/

4 La statistique et la probabilité : La chance et l incertitude SP2 : L élève doit pouvoir utiliser les probabilités pour prédire le résultat de situations incertaines d ordre pratique et théorique. Résultats d'apprentissage spécifiques Pistes d'enseignement L'élève doit pouvoir : SP2.5 étendre les notions de la moyenne et de l'écart type aux distributions de probabilités et les utiliser afin d'analyser des données ; SP2.6 utiliser la cote z et la distribution normale pour résoudre des problèmes ; SP2.7 utiliser une approximation normale à la distribution binomiale (le théorème de la limite centrale) pour résoudre des problèmes qui font intervenir des calculs de probabilité pour de grands échantillons ; SP2.8 résoudre des problèmes concrets de statistique en se servant de l'approximation de la distribution normale ; SP2.9 utiliser efficacement un outil technologique approprié pour résoudre des problèmes de probabilité. Réviser avec les élèves les formules qui permettent de calculer la moyenne et l écart type d un ensemble de données. Attirer leur attention sur le fait que ces deux mesures de tendance centrale décrivent la façon dont les données sont dispersées. Les amener ensuite, par l entremise d activités variées, à découvrir les formules de la moyenne et de l écart type pour les distributions de probabilités. Leur rappeler comment déterminer ces deux mesures à l aide d une calculatrice à affichage graphique et d un tableur électronique. Revoir avec les élèves toutes les caractéristiques de la distribution normale et de sa courbe, qu ils ont déjà vues en neuvième et dixième année. Amener les élèves, à l aide d exemples variés, à comprendre la définition de la cote z, qui représente le nombre d écarts types entre une donnée et la moyenne. Les réunir ensuite en équipes de deux et leur demander de résoudre des problèmes qui font intervenir le calcul de z et l utilisation d une table de valeurs qui permet de déterminer l aire sous la courbe standard normale. Une fois la tâche terminée, inviter des élèves volontaires à présenter leurs solutions au reste de la classe. Au cours de cette activité, les élèves devraient découvrir la différence entre la courbe standard normale et la courbe normale et la façon dont la cote z permet de passer de la deuxième courbe à la première. Confier aux élèves la tâche de résoudre des problèmes tels que le suivant : Une entreprise électronique a testé des transistors qu elle a récemment fabriqués. Elle a découvert que leurs durées de vie suivent une distribution normale, avec une durée de vie moyenne de 200 heures et un écart type de 10 heures. a) Quel pourcentage de ces transistors durent entre 80 heures et 120 heures? b) Quelle est la probabilité qu un transistor choisi au hasard dure plus de 100 heures? Les élèves devraient utiliser les cotes z pour résoudre ce problème, puis vérifier leurs résultats à l aide d une calculatrice à affichage graphique. 116 Mathématiques 3231/3232

5 Pistes d'évaluation Ressources Pendant que les élèves résolvent des problèmes qui font intervenir le calcul de l écart type d un ensemble de données, circuler parmi eux et observer s ils peuvent : S trouver la moyenne des données et l écart de chaque donnée par rapport à cette moyenne ; S lever au carré tous ces écarts et déterminer leur moyenne ; S déterminer la racine carrée de la moyenne des écarts ; S interpréter la valeur de l écart type en fonction de la dispersion des données. Les interroger ensuite afin de s assurer qu ils sont capables d expliquer ce que signifie pour un ensemble de données d avoir un écart type plus grand qu un autre d un ensemble de données semblables. S assurer que les élèves peuvent faire la distinction entre la courbe standard normale et la courbe normale. Vérifier s ils sont capables d utiliser la table de valeurs de la cote z pour déterminer l aire sous la courbe et la probabilité correspondante. Soumettre aux élèves un problème concret à résoudre individuellement, où ils devraient utiliser la formule de la distribution binomiale. Une fois la tâche terminée, leur demander de se réunir en équipes de deux pour échanger leurs solutions afin de discuter des démarches suivies, d y identifier les points forts et les points faibles et de suggérer des corrections si nécessaire. Confier aux élèves la tâche de résoudre un problème qui fait intervenir l utilisation d une calculatrice à affichage graphique, pour déterminer l aire sous la courbe et calculer la probabilité d un événement. Inviter des élèves volontaires à présenter leurs méthodes au reste de la classe. Au besoin, mettre à leur disposition une calculatrice à affichage graphique munie d un acétate ou tablette électronique. Demander au reste de la classe de noter dans quelle mesure les présentations de leurs camarades peuvent aider à comprendre les notions étudiées. Demander aux élèves de décrire dans leur journal de bord une distribution normale et une distribution binomiale et de joindre une liste des caractéristiques d une distribution normale et des conditions requises pour une distribution binomiale. Omnimaths 12 Mathématiques 3231/

6 La statistique et la probabilité : La chance et l incertitude SP2 : L élève doit pouvoir utiliser les probabilités pour prédire le résultat de situations incertaines d ordre pratique et théorique. Résultats d'apprentissage spécifiques Pistes d'enseignement L'élève doit pouvoir : SP2.10 expliquer l'intervalle de confiance dans un contexte de résolution de problèmes et distinguer entre confiance et probabilité ; SP2.11 résoudre des problèmes concrets impliquant l'intervalle de confiance, l'erreur standard et la marge d'erreur ; SP2.12 analyser l'effet de la modification de la population totale sur la distribution des probabilités des résultats d'un sondage ; SP2.13 analyser l'effet de la modification de la taille de l'échantillon sur la distribution des probabilités des résultats d'un sondage. Utiliser des situations réelles et concrètes pour présenter aux élèves l intervalle de confiance. Discuter avec eux de ce que veut dire concrètement cet intervalle et comment le représenter en fonction de la moyenne et de l écart type. Les réunir ensuite en petites équipes et leur demander de résoudre des problèmes qui font appel au calcul de l intervalle de confiance pour prendre des décisions éclairées. Cette activité devrait permettre aux élèves de comprendre comment construire un intervalle de confiance sur un diagramme d une distribution normale. Confier aux élèves la tâche de résoudre, en équipes de deux, des problèmes tels que le suivant : Selon Sara, qui voudrait se présenter comme candidate à la présidence du conseil étudiant de son école, 60 % des élèves voteront en sa faveur. Toutefois, 500 élèves participeront aux élections qui auront lieu prochainement. S Déterminez l erreur standard et faites un diagramme sommaire de la distribution des votes. S Construisez un intervalle de confiance de 90 % pour le pourcentage de votes en faveur de Sara. S Sara aimerait avoir confiance à 95 % que 60 % des votes seront en sa faveur, avec une marge d erreur de ±5 %. Combien d élèves devraient participer aux élections pour qu elle puisse avoir confiance à 95 %? Au cours de cette activité, aider les élèves à comprendre la différence entre l erreur standard et la marge d erreur et les encourager à vérifier leurs réponses à l aide d une calculatrice à affichage graphique. Lorsque les élèves auront terminé l activité, inviter des équipes volontaires à présenter leurs solutions au reste de la classe. Au besoin mettre à leur disposition une calculatrice à affichage graphique munie d un acétate ou tablette électronique. Amorcer ensuite une discussion en grand groupe des résultats. Demander aux élèves de réaliser, individuellement ou en équipe de deux, un sondage qui leur permet de mettre en application les notions qu ils ont étudiées. Ils devraient rédiger un rapport détaillé de ce sondage incluant : S une description de la situation du sondage ; S les formules mathématiques utilisées au cours du traitement des données ; S une analyse et une interprétation des données basées sur les des notions étudiées ; S une justification raisonnable de la décision prise. 118 Mathématiques 3231/3232

7 Pistes d'évaluation Ressources Circuler dans la classe pendant que les élèves résolvent en équipes des problèmes impliquant le calcul d intervalles de confiance, afin de vérifier s ils peuvent : S reconnaître qu une distribution binomiale pourrait être remplacée par une distribution normale ; S déterminer un intervalle de confiance ; S construire un intervalle de confiance sur un diagramme ; S expliquer ce que signifie un intervalle de confiance de 95 %. Demander aux élèves de discuter à deux de ce qu on lit dans les journaux ou entend à la radio suite à un sondage. La phrase suivante en est un exemple : «Un sondage Léger-Léger, mené auprès de 1000 Canadiens, donne au Parti libéral 46 % des voix de votes, 19 fois sur 20, ±3 %». Au cours de la discussion, observer si les élèves : S utilisent la terminologie appropriée ; S reconnaissent que l expression 19 fois sur 20 veut dire un intervalle de confiance de 95 % ; S savent interpréter la marge d erreur de 3 %. Les inciter ensuite à déterminer l erreur standard à partir des données de cette phrase. S assurer qu ils sont capables de déduire la relation entre la marge d erreur et l erreur standard. Élaborer en collaboration avec les élèves une liste de critères destinés à évaluer leurs projets. Leur demander d utiliser cette liste afin de s évaluer les projets des uns des autres. Leur proposer ensuite d identifier des problèmes, s il en existe, qui pourraient retarder l exécution de ce projet. Placer sur les murs de la classe des affiches de toutes les formules vues au cours de cette étude. Demander ensuite aux élèves : S d expliquer les termes qui figurent dans chaque formule ; S d utiliser les formules appropriées pour résoudre des problèmes de leurs choix ; S de dire laquelle de ses formules est facile à comprendre et à utiliser et laquelle ne l est pas. Demander aux élèves de compiler un portfolio incluant des travaux de leurs choix, qui constituent une preuve qu ils ont atteint les résultats d apprentissage spécifiques de ce domaine. Les convoquer ensuite à des rencontres individuelles afin de discuter avec eux de la pertinence des travaux sélectionnés. Omnimaths 12 Mathématiques 3231/

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