Contrôle du jeudi 3 mai 2007

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1 Statistique 3 ème année INSA-ICBE /6 Contrôle du jeudi 3 mai 2007 Les documents personnels sont autorisés. Modéliser la perte de poids du café par torréfaction El Ringo achète du café vert dans le monde entier avant de le torréfier puis de le redistribuer. Son problème est de prévoir la perte de poids due à la torréfaction. Cette perte, qui peut atteindre 20%, conditionne directement sa marge bénéficiaire, elle doit être estimée le plus précisément possible au moment de l'achat afin de pouvoir négocier le prix au plus juste. Son nez, légendaire lors de la torréfaction, est inefficace sur du café vert. El Ringo fait l'acquisition d'un chromatographe qui peut lui fournir rapidement des indicateurs numériques à partir d'un échantillon. Il réalise alors 189 expériences sur des échantillons de diverses provenances du café vert (Arabie, Afrique, Amérique (Variable «origine» codée de 1 à 7) et construit un tableau contenant pour chaque échantillon les mesures chromatographiques sur le café vert et la perte de poids après torréfaction. L'objectif est de construire un bon modèle de prévision de cette perte de poids. Les variables produites par chromatographie sont notées lumin, xa, xb xy xgn. Aidez vous des tableaux et figures de l annexe pour répondre aux questions suivantes. Chaque réponse doit être justifiée à partir d un résultat numérique fourni par le logiciel Minitab ou en précisant le numéro de la figure concernée. 1. Etude préalable 1.1 Entre quelles valeurs se centrent 50% des observations de perte de poids? 1.2 Comparer SE Mean de la variable xb et SE mean de la variable perte. Que peut-on dire des distributions de ces variables l une par rapport à l autre? 1.3 Les valeurs calculées de skeewness des variables perte et xy sont très différentes. Que peut-on dire de leurs distributions comparées? 1.4. Que dire de la distribution de la variable perte? Quelle hypothèse et quel test permettent d en décider? 1.5 Proposez un intervalle de confiance qui contienne 95 % des valeurs possibles de perte de poids. 1.6 Proposez un intervalle de confiance qui contienne 95 % des valeurs possibles de la moyenne des pertes de poids. 2. On s inquiète de l effet possible de l origine du café sur la perte de poids. 2.1 Quelle méthode permet de répondre à cette question? Quel est le principe de cette méthode? Quelle hypothèse H0 est posée dans le test correspondant?

2 Statistique 3 ème année INSA-ICBE /6 2.2 Quelles hypothèses doivent être vérifiées par les données pour ce test soit légitime? 2.3 Que dire de l égalité des variances? 2.4 Que dire de l influence de l origine du café sur la perte de poids? 2.5 Est-il justifié d utiliser ensemble les données des 189 expériences pour modéliser? 3. Deux modèles ont été estimés pour modéliser la perte de poids 3.1 Ecrire l équation du premier modèle. Pour que l analyse de régression soit correcte, des conditions sur les données doivent être remplies. Quelle hypothèse n est pas vérifiée par ce modèle? 3.2 Ecrire l équation du 2 ème modèle. Que dire de la distribution des résidus? 3.3 A votre avis, quelle transformation a été appliquée à la variable lumin? 3.4 Quelle est l hypothèse testée dans le tableau Analyse of variance des sorties de cette régression? Quelle est la conclusion? 3.5 Quel critère des sorties vous permet de comparer les qualités prédictives des modèles? Quel est le meilleur en ce sens? 3.6 Comment fera El Ringo pour prévoir la perte de poids si la valeur de lumin vaut 25? Annexe : Tableaux et figures Sorties du logiciel MINITAB 1. Descriptive Statistics: perte; lumin; xa; xb; xy; xgn Variable Mean SE Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 Maximum Skewness perte 16,550 0,176 2,426 11,870 14,720 16,410 18,230 22,810 0,22 lumin 24,026 0,388 5,340 15,060 19,775 23,410 27,540 41,150 0,73 xa 9,953 0,126 1,726 5,730 8,605 10,010 11,495 13,130-0,24 xb 16,859 0,407 5,598 6,420 12,120 16,300 21,045 30,570 0,34 xy 4,257 0,135 1,861 1,920 2,875 3,790 5,185 11,970 1,47 xgn 3,466 0,105 1,440 1,660 2,420 3,140 4,165 9,120 1,45 2. Test for Equal Variances: perte versus Origine 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations Origine N Lower StDev Upper , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,69081 Bartlett's Test (normal distribution) Test statistic = 5,16; p-value = 0,524 Levene's Test (any continuous distribution) Test statistic = 0,99; p-value = 0,431

3 Statistique 3 ème année INSA-ICBE /6 3. One-way ANOVA: perte versus Origine Source DF SS MS F P Origine 6 18,45 3,08 0,51 0,797 Error ,81 5,98 Total ,26 4. Regression Analysis: perte versus lumin The regression equation is perte = 26,0-0,395 lumin Predictor Coef SE Coef T P Constant 26,0444 0, ,59 0,000 lumin -0, , ,12 0,000 S = 1,19958 R-Sq = 75,7% R-Sq(adj) = 75,5% PRESS = 276,498 R-Sq(pred) = 75,01% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 837,17 837,17 581,77 0,000 Residual Error ,09 1,44 Total ,26 5. Regression Analysis: perte versus Tlumin The regression equation is perte = 6, Tlumin Predictor Coef SE Coef T P Constant 6,1726 0, ,31 0,000 Tlumin 238,094 8,498 28,02 0,000 S = 1,06686 R-Sq = 80,8% R-Sq(adj) = 80,7% PRESS = 217,122 R-Sq(pred) = 80,37% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 893,42 893,42 784,94 0,000 Residual Error ,84 1,14 Total ,26

4 Statistique 3 ème année INSA-ICBE /6 Figures Figure 1. Droite de Henri et test de normalité de la variable «perte» Figure 2. Histogramme de la variable «perte de poids» Figure 3. Histogramme de la variable «Lumin»

5 Statistique 3 ème année INSA-ICBE /6 Figure 4. Histogramme de la transformation de la variable «Lumin» Figure 5 : Nuage de points et droite de régression de la perte de poids sur la variable «Lumin». Figure 6 : Diagnostics de la régression de la perte de poids sur la variable «Lumin»

6 Statistique 3 ème année INSA-ICBE /6 Figure 7 : Nuage de points et droite de régression de la perte de poids sur la transformation de la variable «Lumin». Figure 8 : Diagnostics de la régression de la perte de poids sur la transformation de la variable «Lumin»