NOMBRES COMPLEXES. I Introduction 2 I.1 Le nombrei... 2 I.2 L ensemble des nombres complexes... 2
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- Odette Pépin
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1 NOMBRES COMPLEXES Table des matières I Introduction 2 I.1 Le nombrei I.2 L ensemble des nombres complexes II Forme algébrique 3 II.1 Définition II.2 Premiers calculs II.3 Représentation graphique II.4 Conjugué d un complexe II.5 Inverse d un complexe III Forme trigonométrique 6 III.1 Module d un nombre complexe III.2 Argument d un complexe non nul III.3 Ecriture trigonométrique IV Forme exponentielle 9 IV.1 Définitions IV.2 Règles de calcul en notation exponentielle V Formules de MOIVRE et d EULER 10 V.1 Formule de MOIVRE V.2 Formules d EULER VI Lignes de niveau 11 VIIÉquations du second degré 12 Les chemins de la création mathématique sont imprévisibles et résultent parfois d audacieuses transgressions des règles et savoirs établis. Le simple fait d avoir introduit dans les calculs un symbole pour désigner des racines carrées de nombres négatifs a conduit au fil des siècles à élaborer la puissante théorie des nombres compleses. -1-
2 I Introduction Tous les nombres positifs ont une racine carrée. Par exemple, 9 a pour racines carrées 3 et 3. Par contre, aucun réel négatif n a de racine carrée (réelle). Les nombres complexes offrent la possibilité de pallier à cette injustice! I.1 Le nombre i Le nombreiest un nombre dont le carré vaut 1. Ainsi,i 2 = 1. De plus, son opposé i a aussi pour carré 1. En effet : ( i) 2 =i 2 = 1. Les deux racines de 1 sont les deux nombres irréelsiet i. Un peu d histoire : La notationifut introduite par Euler en 1777, puis reprise par Gauss au début du XIXème siècle. Cependant, le premier à parler de nombre imaginaire fut le très cartésien Descartes en I.2 L ensemble des nombres complexes On connait déjà 5 ensembles permettant de "ranger" les nombres : il s agit de N, Z, D, Q et R : R π 1236π Q D Z 1 N π Définition 1 On définit l ensemble C qui a les caractéristiques suivantes : Ses éléments sont appelés Il contient le nombreivérifiant Remarque 1 C est alors un ensemble encore plus grand que tous les autres, et on a : N Z D Q R C. -2-
3 II Forme algébrique II.1 Définition Définition 2 Chaque élémentzde l ensemble C s écrit de manière uniquez=a +ib,aetbétant des réels. a est appelé b est appelé Remarque 2 Nombres particuliers : sib = 0, on az=a,z est donc réel, sia = 0, on az=ib, on dit quez est un imaginaire pur. Exemple 1 Dans chacun des exemples suivants, on donne la partie réelle et la partie imaginaire : z = 2 + 3i a = b = z = i a = b = z = i a = b = z =π a = b = z = 4i 1 3 a = b =. Propriété 1 Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire : II.2 Premiers calculs Propriété 2 On posez=a +ib,z =a +ib etkun réel, on a : z +z = z z = kz = zz = Démonstration de la dernière propriété : zz =
4 BTS DOMOTIQUE Nombres complexes Exemple 2 Soitz= 2 + 3i etz =i 5, on a : z +z = z z = z 3z = zz = z 2 = II.3 Représentation graphique Définition 3 On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O; u ; v ). Au pointm de coordonnées (a;b) on peut associer le nombre complexez=a +ib, On dit quez=a +ib est l affixe du pointm. Au vecteur w de coordonnées (a;b) on peut associer le nombre complexez=a +ib, On dit quez=a +ib est l affixe du vecteur w. Lorsqu on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormal direct, on dit qu on se place dans le plan complexe. v 0 u Exemple 3 On place dans le plan complexe les pointsm i d affixesz i : z 1 = 2 + 3i z 2 = 3 +i z 3 = 1 + 2i z 4 = 2 i z 5 =i z 6 = 2i z 7 = 2 z 8 = i 3 i
5 Propriété 3 SiM a pour affixez=a +ib et sim a pour affixez =a +ib, alors : Le vecteur MM a pour affixe OM = MM = Le milieui de [MM ] a pour affixez I = II.4 Conjugué d un complexe Définition 4 On appelle conjugué du nombre complexez=a +ib le nombre Géométriquement, sim 1 est le point d affixez, le pointm 2 d affixezest le symétrique dem 1 par rapport à l axe des abscisses. M 1 (z) b v 0 u a Exemple 4 Soitz= 3 + 5i etz = 2 + 3i, on a : z +z = z z = z = z = z +z = z +z = z z = z z = Propriété 4 Soitz etz deux nombres complexes, alors : z +z = z z = z = z R z ir Re(z) = Im(z) =
6 II.5 Inverse d un complexe Soitz=a +ib, on a :zz = (a +ib)(a ib) =a 2 (ib) 2 =a 2 +b 2 qui est un nombre réel. Ainsi, on a : 1 z = Exemple 5 Calculs d inverses : 1 1 +i = i = i = i 3 +i = Propriété 5 Soitz etz deux nombres complexes, alors : ( ( ) 1 z =... z) z =... III Forme trigonométrique III.1 Module d un nombre complexe Définition 5 Le module du complexezest le réel positif noté z tel que z = Remarque 3 Siaest un réel, a = aa = aa = a 2 cara =a. La notion de module dans C généralise donc celle de valeur absolue dans R. Exemple 6 Calcul du module de nombres complexes : 3 + 4i = i = i = = i =
7 Propriété 6 z = z = z z = z = z = z III.2 Argument d un complexe non nul Définition 6 Soitz=a +ib un nombre complexe non nul etm le point d affixez : On appelle argument dez tout nombre réelθtel queθ= On noteθ= θ vérifie : { cosθ =... sinθ =... Exemple 7 Calcul d un argument de nombres complexes : z 1 = 2 + 2i : z 2 = 1 +i 3 : Propriété 7 Propriétés algébriques des arguments : arg(zz ) = arg( 1 z ) = arg( z z ) =
8 Exemple 8 D après l exemple précédent, on obtient : arg(z 1 z 2 ) = ( 1 arg arg z 1 ( z1 z 2 ) = ) = III.3 Ecriture trigonométrique On se place dans un plan muni du repère (O; u ; v ). Définition 7 Tout nombre complexe non nulz peut-être écrit sous la forme arg(z) =θ R est l argument dez z =r R + est le module dez cette écriture s appelle la forme trigonométrique de z. M(z) v 0 u Pour trouver la forme trigonométrique d un nombre z, il faut donc calculer successivement le module et l argument de z. Exemple 9 Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique : z 1 = 1 i z 2 = 3 +i Remarque 4 Dans certains cas, il est inutile de faire tous les calculs : la forme trigonométrique se "voit" : 1 = cos( 0 +i sin 0 donc ( π π i = cos +i sin donc ) 2) -8-
9 IV Forme exponentielle IV.1 Définitions Définition 8 Pour tout nombre réelθ, on pose : Remarque 5 Il existe une fonction appelée fonction exponentiellex e x de R dans R. Mais ici,iθ est un nombre complexe et la fonctionθ e iθ n est pas au programme de terminale. e 1 =e est un nombre qui a pour valeur approchée 2, 718. Définition 9 Soitz=a +ib un nombre complexe non nul de moduler= z et dont un argument estθ=arg(z). On note ce nombrez sous la forme Cette écriture est appelée Remarque 6 On a alorsz=re iθ =r(cosθ +i sinθ) =r cosθ +ir sinθ =a +ib. Exemple 10 Différentes écritures des nombres complexesz 1 etz 2 : Forme algébrique Forme trigonométrique Forme exponentielle 1 i 3 +i Exemple 11 Passage de la forme exponentielle à la forme algébrique dez= 4e i 3π 4 : z = z = z = IV.2 Règles de calcul en notation exponentielle Remarque 7 Pour les calculs du type "somme" ou "différence", on utilisera la forme algébrique. On préférera la forme exponentielle pour les calculs de produits ou de quotients. -9-
10 Propriété 8 Pour tousθ,θ R, tousr,r R +, toutn N : re iθ r e iθ = ( re iθ) n = reiθ r e iθ = Exemple 12 Soitz 1 = 2e iπ 3 etz 2 = 2 3e iπ 6 : z 1 z 2 = z 4 2 = z 2 z 1 = V Formules de MOIVRE et d EULER V.1 Formule de MOIVRE Propriété 9 Pour toutθ R et toutn N : (cosθ +i sinθ) n = Exemple 13 Factorisation de cos(2θ) et sin(2θ) : On a d une part : (cosθ +i sinθ) 2 = et d autre part : (cosθ +i sinθ) 2 = d où : cos(2θ) = et sin(2θ) = V.2 Formules d EULER Propriété 10 Pour toutθ R : Exemple 14 Linéarisation de sin 2 x : sin 2 x = donc : sin 2 x =
11 VI Lignes de niveau Définition 10 Dans un repère orthonormal (O; u ; v ), la ligne de niveaukd une fonctionf est Les principales lignes de niveau dans C sont : La ligne de niveaukde la fonction z Re(z) est La ligne de niveaukde la fonction z Im(z) est La ligne de niveauk(positif) de la fonction z z a est La ligne de niveaukde la fonction z arg(z a) est Exemple 15 On construit les lignes de niveau suivantes : En bleu, la ligne de niveau 2 de la fonction Re(z). En orange, la ligne de niveau 4 de la fonction Im(z) En vert, la ligne de niveau 3 de la fonctionz. En rouge, la ligne de niveau π 4 de la fonction arg(z)
12 VII Équations du second degré Propriété 11 Soitaz 2 +bz +c = 0 une équation du second degré oùa;b;c R aveca 0. On pose =b 2 4ac. Si > 0, l équation du second degré admet deux solutions réelles distinctes : Si = 0, l équation du second degré admet une unique solution réelle : Si < 0, l équation du second degré admet deux solutions complexes conjuguées : Exemple 16 Résolution dans C de : 1.z 2 2z + 2 = 0 2.z 2 + 6z + 9 = 0 3.z 2 + 2z 3 = 0-12-
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