NOMBRES COMPLEXES. I Introduction 2 I.1 Le nombrei... 2 I.2 L ensemble des nombres complexes... 2

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1 BTS DOMOTIQUE Nombres complexes NOMBRES COMPLEXES Table des matières I Introduction I. Le nombrei I. L ensemble des nombres complexes II Forme algébrique 3 II. Définition II. Premiers calculs II.3 Représentation graphique II.4 Conjugué d un complexe II.5 Inverse d un complexe III Forme trigonométrique 6 III. Module d un nombre complexe III. Argument d un complexe non nul III.3 Écriture trigonométrique IV Forme exponentielle 9 IV. Définitions IV. Règles de calcul en notation exponentielle V Formules de MOIVRE et d EULER 0 V. Formule de MOIVRE V. Formules d EULER VI Lignes de niveau VIIÉquations du second degré Les chemins de la création mathématique sont imprévisibles et résultent parfois d audacieuses transgressions des règles et savoirs établis. Le simple fait d avoir introduit dans les calculs un symbole pour désigner des racines carrées de nombres négatifs a conduit au fil des siècles à élaborer la puissante théorie des nombres complexes. --

2 BTS DOMOTIQUE Nombres complexes I Introduction Tous les nombres positifs ont une racine carrée. Par exemple, 9 a pour racines carrées 3 et 3. Par contre, aucun réel négatif n a de racine carrée (réelle). Les nombres complexes offrent la possibilité de pallier à cette injustice! I. Le nombre i Le nombreiest un nombre dont le carré vaut. Ainsi,i =. De plus, son opposé i a aussi pour carré. En effet : ( i) =i =. Les deux racines de sont les deux nombres réelsiet i. Un peu d histoire : La notationifut introduite par Euler en 777, puis reprise par Gauss au début du XIXème siècle. Cependant, le premier à parler de nombre imaginaire fut le très cartésien Descartes en 637. I. L ensemble des nombres complexes On connait déjà 5 ensembles permettant de "ranger" les nombres : il s agit de N, Z, D, Q et R : R π 36π Q D Z N π Définition On définit l ensemble C qui a les caractéristiques suivantes : Ses éléments sont appelés nombres complexes, Il contient le nombreivérifianti =. Remarque C est alors un ensemble encore plus grand que tous les autres, et on a : N Z D Q R C. --

3 BTS DOMOTIQUE Nombres complexes II Forme algébrique II. Définition Définition Chaque élémentzde l ensemble C s écrit de manière uniquez=a +ib,aetbétant des réels. a est appelé partie réelle dez et est noté Re(z), b est appelé partie imaginaire dez et est noté Im(z). Remarque Nombres particuliers : sib = 0, on az=a,z est donc réel, sia = 0, on az=ib, on dit quez est un imaginaire pur. Exemple Dans chacun des exemples suivants, on donne la partie réelle et la partie imaginaire : z = + 3i a = b = 3 z = + i a = b = z = i a = 0 b = z =π a =π b = 0 z = 4i 3 a = 3 b = 4. Propriété Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire : z =z a +ib =a +ib a =a etb =b. II. Premiers calculs Propriété On posez=a +ib,z =a +ib etkun réel, on a : z +z = (a +a ) +i(b +b ), z z = (a a ) +i(b b ), kz =ka +ikb, zz = (aa bb ) +i(ab +a b). Démonstration de la dernière propriété : zz = (a +ib)(a +ib ) =aa +iab +ia b +i bb =aa +iab +ia b bb = (aa bb ) +i(ab +a b). -3-

4 BTS DOMOTIQUE Nombres complexes Exemple Soitz= + 3i etz =i 5, on a : z +z = + 3i +i 5 = 3 + 4i, z z = + 3i (i 5) = + 3i i+5 = 7 + i, z 3z = ( + 3i) 3(i 5) = 4 + 6i 3i + 5 = 9 + 3i, zz = ( + 3i)(i 5) = i 0 + 3i 5i = i 0 3 5i = 3 3i, z = ( + 3i) = + 3i + (3i) = 4 + i + 9i = 4 + i 9 = 5 + i. II.3 Représentation graphique Définition 3 On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O; u ; v ). Au pointm de coordonnées (a;b) on peut associer le nombre complexez=a +ib, On dit quez=a +ib est l affixe du pointm. Au vecteur w de coordonnées (a;b) on peut associer le nombre complexez=a +ib, On dit quez=a +ib est l affixe du vecteur w. Lorsqu on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormal direct, on dit qu on se place dans le plan complexe. b M(z =a +ib) v w 0 u a Exemple 3 On place dans le plan complexe les pointsm i d affixesz i : M z = + 3i z = 3 +i z 3 = + i z 4 = i z 5 =i z 6 = i z 7 = z 8 = i 3 M 8 M 7 M 3 i 0 M 5 M 6 M 4 M -4-

5 BTS DOMOTIQUE Nombres complexes Propriété 3 SiM a pour affixez=a +ib et sim a pour affixez =a +ib, alors : Le vecteur MM a pour affixez z = (a a) +i(b b), OM = a +b, MM = (a a) + (b b), Le milieui de [MM ] a pour affixez I = z +z. II.4 Conjugué d un complexe Définition 4 On appelle conjugué du nombre complexez=a +ib le nombrez=a ib. Géométriquement, sim est le point d affixez, le pointm d affixezest le symétrique dem par rapport à l axe des abscisses. M 4 ( z) M (z) b a v 0 u a M 3 ( z) b M (z) Exemple 4 Soitz= 3 + 5i etz = + 3i, on a : z +z = (3 + 5i) + ( + 3i) = + 8i, z z = (3 + 5i) ( + 3i) = 6 + 9i 0i + 5i = 6 i 5 = i. z = 3 5i, z = 3i. z +z = (3 5i) + ( 3i) = 8i, z +z = 8i. z z = (3 5i) ( 3i) = 6 9i + 0i + 5i = 6 +i 5 = +i, z z = +i. Propriété 4 Soitz etz deux nombres complexes, alors : z +z =z+z. z z =z z. z =z. z R z =z. Re(z) = (z +z). z ir z = z. Im(z) = i (z z). -5-

6 BTS DOMOTIQUE Nombres complexes II.5 Inverse d un complexe Soitz=a +ib, on a :zz = (a +ib)(a ib) =a (ib) =a +b qui est un nombre réel. Ainsi, on a : Exemple 5 Calculs d inverses : +i = i ( +i)( i) = i 3i = z = z zz = = i. + 3i ( 3i)( + 3i) = + 3i = i. i = i i i = i = i. z a +b = a ib a +b. +i ( +i)( 3 i) = 3 +i ( 3 +i)( 3 i) = 6 i 3i + = 5 5i = 0 0 i. Propriété 5 Soitz etz deux nombres complexes, alors : ( = z) ( ) z z. z = z z. III Forme trigonométrique III. Module d un nombre complexe Définition 5 Le module du complexezest le réel positif noté z tel que z = zz = a +b. Remarque 3 Siaest un réel, a = aa = aa = a cara =a. La notion de module dans C généralise donc celle de valeur absolue dans R. Exemple 6 Calcul du module de nombres complexes : 3 + 4i = = = 5 = 5. i = + ( ) = + =. 5 i = ( 5) + ( ) = = 9. 5 = 5. 9i = = 8 =

7 BTS DOMOTIQUE Nombres complexes Propriété 6 z = 0 z = 0. z = z = z. z z = z z. z = z. z z = z z. III. Argument d un complexe non nul Définition 6 Soitz=a +ib un nombre complexe non nul etm le point d affixez : On appelle argument dez tout nombre réelθtel queθ= ( u, OM)[ π], On noteθ= arg(z), cosθ = θ vérifie : sinθ = a a +b, b a +b. Exemple 7 Calcul d un argument de nombres complexes : cosθ = z = + i : sinθ = = + = + = = θ= π 4 arg( + i) = π 4. z = +i 3 : cosθ = sinθ = + 3 = = 4 = 3 = 4 θ= π 3 arg( + 3i) = π 3. Propriété 7 Propriétés algébriques des arguments : arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) [π]. arg( ) = arg(z) = arg(z) [π]. z arg( z z ) = arg(z) arg(z ) [π]. -7-

8 BTS DOMOTIQUE Nombres complexes Exemple 8 D après l exemple précédent, on obtient : arg(z z ) = arg(z ) + arg(z ) = π 4 +π 3 = 7π. ( ) arg = argz = π z 4. ( ) z arg = argz argz = π 4 π 3 = π. z III.3 Écriture trigonométrique On se place dans un plan muni du repère (O; u ; v ). Définition 7 Tout nombre complexe non nulz peut-être écrit sous la formez=r(cosθ +i sinθ) avec : arg(z) =θ R est l argument dez z =r R + est le module dez cette écriture s appelle la forme trigonométrique de z. b =r sinθ M(z) r = a +b v θ 0 u a =r cosθ Pour trouver la forme trigonométrique d un nombre z, il faut donc calculer successivement le module et l argument de z. Exemple 9 Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique : +i = z = i : cosθ = r = etθ= π 4 sinθ = 3 +i = z = 3 3 +i : cosθ = r = etθ= π 6 sinθ = i = [ ( cos π ) ( +i sin π )]. 4 4 [ ( π ( π 3 +i = cos +i sin. 6) 6)] Remarque 4 Dans certains cas, il est inutile de faire tous les calculs : la forme trigonométrique se "voit" : = cos( 0 +i sin 0 donc ( = et arg() = 0. π π i = cos +i sin donc i = et arg(i) = ) ) π. -8-

9 BTS DOMOTIQUE Nombres complexes IV Forme exponentielle IV. Définitions Définition 8 Pour tout nombre réelθ, on pose : cosθ +i sinθ =e iθ. Remarque 5 Il existe une fonction appelée fonction exponentiellex e x de R dans R. Mais ici,iθ est un nombre complexe et la fonctionθ e iθ n est pas au programme de terminale. e =e est un nombre qui a pour valeur approchée, 78. Définition 9 Soitz=a +ib un nombre complexe non nul de moduler= z et dont un argument estθ=arg(z). On note ce nombrez sous la formez=re iθ. Cette écriture est appelée notation exponentielle de z. Remarque 6 On a alorsz=re iθ =r(cosθ +i sinθ) =r cosθ +ir sinθ =a +ib.. Exemple 0 Différentes écritures des nombres complexesz etz : Forme algébrique Forme trigonométrique Forme exponentielle i [ ( cos π ) ( +i sin π e i 4 4)] π 4 [ ( π ( π 3 +i cos +i sin 6) 6)] e iπ 6 Exemple Passage de la forme exponentielle à la forme algébrique dez= 4e i 3π 4 : [ ( ) ( )] 3π 3π z = 4 cos +i sin 4 4 ( ) z = 4 +i z = + i. IV. Règles de calcul en notation exponentielle Remarque 7 Pour les calculs du type "somme" ou "différence", on utilisera la forme algébrique. On préférera la forme exponentielle pour les calculs de produits ou de quotients. -9-

10 BTS DOMOTIQUE Nombres complexes Propriété 8 Pour tousθ,θ R, tousr,r R +, toutn N : re iθ r e iθ =rr e i(θ+θ ). ( re iθ) n =r n e inθ. reiθ r e iθ = r r ei(θ θ ). Exemple Soitz = e iπ 3 etz = 3e iπ 6 : z z = 3e i(π 3 +π 6 ) = 4 3e i π. z 4 =( 3 ) 4 e i4 π 6 = 44e iπ 3. z = 3 z ei(π 6 π 3 ) = e i π 6. V Formules de MOIVRE et d EULER V. Formule de MOIVRE Propriété 9 Pour toutθ R et toutn N : (cosθ +i sinθ) n = cos(nθ) +i sin(nθ). Un peu d histoire : Abraham de MOIVRE est un mathématicien britannique d origine française. Exemple 3 Factorisation de cos(θ) et sin(θ) : On a d une part : (cosθ +i sinθ) = cos(θ) +i sin(θ) d après la formule de MOIVRE, et d autre part : (cosθ +i sinθ) = cos θ + i cosθ sinθ sin θ par développement, d où : cos(θ) = cos θ sin θ et sin(θ) = cosθ sinθ. V. Formules d EULER Propriété 0 Pour toutθ R : cosθ = eiθ +e iθ et sinθ = eiθ e iθ. i Un peu d histoire : Leonhard EULER (77 783) était un mathématicien et physicien suisse. Exemple 4 Linéarisation de sin x : ( e sin ix e ix ) x = = eix e ix e ix +e ix i 4 donc : sin x = cos(x). = +eix +e ix 4 = ( eix +e ix ), -0-

11 BTS DOMOTIQUE Nombres complexes VI Lignes de niveau Définition 0 Dans un repère orthonormal (O; u ; v ), la ligne de niveauk d une fonctionf est l ensemble des points d affixez tels quef(z) =k. Les principales lignes de niveau dans C sont : La ligne de niveaukde la fonction z Re(z) est l ensemble des pointsm du plan d affixez dont la partie réelle estk, c est à dire la droite d équationx =k. La ligne de niveaukde la fonction z Im(z) est l ensemble des pointsm du plan d affixez dont la partie imaginaire estk, c est à dire la droite d équationy=k. La ligne de niveauk(positif) de la fonction z z a est le cercle de centread affixeaet de rayonk. La ligne de niveaukde la fonction z arg(z a) est la demi-droite d originead affixead anglek par rapport à (O, u ). Exemple 5 On construit les lignes de niveau suivantes : En bleu, la ligne de niveau de la fonction Re(z). En orange, la ligne de niveau 4 de la fonction Im(z) En vert, la ligne de niveau 3 de la fonctionz. En rouge, la ligne de niveau π 4 de la fonction arg(z)

12 BTS DOMOTIQUE Nombres complexes VII Équations du second degré Propriété Soitaz +bz +c = 0 une équation du second degré oùa;b;c R aveca 0. On pose =b 4ac. Si > 0, l équation du second degré admet deux solutions réelles distinctes : z = b + a et z = b. a Si = 0, l équation du second degré admet une unique solution réelle : z 0 = b a. Si < 0, l équation du second degré admet deux solutions complexes conjuguées : z = b +i a et z = b i. a Exemple 6 Résolution dans C dez z + = 0 : =b 4ac = 4 = (i). Le discriminant étant négatif, l équation admet deux solutions complexes conjuguées : z = b +i a = + i Résolution dans C dez + 6z + 9 = 0 : =b 4ac = 0. = +i et z = b i a Le discriminant étant nul, l équation admet une solution double : z 0 = b a = 6 = 3. = i = i. Résolution dans C dez + z 3 = 0 : =b 4ac = 6 = 4. Le discriminant étant positif, l équation admet deux solutions réelles : z = b + a = + 4 = et z = b a = 4 = 3. --