Leçon n 2 les fonctions affines

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "Leçon n 2 les fonctions affines"

Francis Desroches
il y a 7 ans
Total affichages :

1 Leçon n les fonctions ffines Définition On ppelle fonction ffine, toute fonction numérique de l forme : f : A B A et B sous ensemles de R x y = f(x) = x + ( et étnt des réels) L représenttion grphique d une fonction ffine est toujours une droite si A = R sinon, une demi droite ou un segment de droite dns le cs où l ensemle de déprt A est un intervlle. On dit que l éqution de l droite représentnt l fonction ffine est y = x +. s ppelle le coefficient directeur de l droite et l ordonnée à l origine. Grphiquement, on peut lire à l endroit où l droite coupe l xe des y. Pr contre, pour lire c est un peu plus difficile, il fut ugmenter l vrile x de et oserver lors l ugmenttion des y. Les droites se retrouvent souvent en Physique ou en Economie. Attention, réciproquement, toutes les droites n ont ps une éqution de l forme y = x + (éqution crtésienne) mis il y en plus les verticles dns un repère orthonorml qui ont pour équtions x = c, c R. Théorème Si on une fonction ffine f(x) = x + x A (A R) Si > 0 lors f est croissnte sur A. Si < 0 lors f est décroissnte sur A. Si = 0 lors f est une fonction constnte sur A. Théorème Toute fonction ffine f(x) = x +, x R, 0, possède une rcine(l vleur qui nnule f(x)) qui est x =. (On peut donner des tleux de signes, ils seront utilisés plus trd pour les inéqutions) x + x + ( > 0) 0 + x + x + ( < 0) + 0

On dit que l éqution de l droite représentnt l fonction ffine est y = x +. s ppelle le coefficient directeur de l droite et l ordonnée à l origine.

2 Voici deux exemples : Dns les grphiques ci-dessous, on voit évidemment le signe pr rpport à l xe des x, u dessus de l xe des x, y est positif et en dessous de l xe des x, y est négtif. y = x + y = x + ( = ) ( > 0) x + x (l rcine est x = ) y= x + ( = ) ( < 0) y = x + x + x (l rcine est ici x = ) y = x + donc x + = 0 donne x = y = x + donc x + = 0 donne x =. ;

y = x + y = x + ( = ) ( > 0) x + x + 0 + (l rcine est x = ) y= x + ( = ) ( < 0) y = x + x +

3 Exercice de se Exercice Que peut-on dire de l fonction f définie pr f(x) = 8 x vec x [0 ; 6]? Exercice On donne deux points dns un repère orthonorml du pln (P) : A (3 ; ) et B ( ; ) Donner l éqution de l droite (AB) et les crctéristiques de l fonction ffine ssociée à cette droite. Exercice 3 (Fonctions ffines pr morceux). On ci-contre les vritions du prix P d une ction u jour le jour (vrile t le temps). ) Donner le tleu de vritions de cette fonction. ) On peut résumer cette évolution en trçnt [AB]. Quelle est l éqution de ce segment? c) Que représente le coefficient directeur de ce segment de droite? d) Quel est en pourcentge l vrition du prix de cet ction entre A et B? Exercice 4 Vri Fux ) Toutes les droites dns un repère orthonorml du pln (P) représentent des fonctions ffines ) Nous vons dns un repère orthonorml, A(0 ;) et B( ;). L droite (AB) représente une fonction ffine décroissnte. c) Toutes les fonctions ffines chngent de signe pour une vleur donnée de l vrile. d) On dit qu une fonction est monotone si elle grde toujours le même sens de vritions. Les fonctions ffines sont des fonctions monotones sur R. e) Il existe une seule fonction ffine pssnt pr O, le centre du repère et le point E(3 ; ).

Exercice 3 (Fonctions ffines pr morceux). On ci-contre les vritions du prix P d une ction u jour le jour (vrile t le temps). ) Donner le tleu de vritions de cette fonction.

4 Correction Exercice Il y eucoup à dire et c est un exercice qui permet de réviser toute s leçon. f(x) = 8 x vec x [0 ; 6] Il s git d une fonction ffine de l forme f(x) = x + vec = et = 8. Son ensemle de définition est [0 ; 6] cr tout x de cet intervlle une imge dns R pr f et donc s représenttion grphique ser un segment de droite. Pour trcer ce segment, nous pouvons prendre deux vleurs de x et chercher leurs imges. Si x = 0 lors f(0) = 8 0 = 8 et f(6) = 8 6 =. L éqution du segment ser donc y = 8 x vec x [0 ; 6]. Nous pouvons présenter ceci dns un petit tleu de vleurs et trcer ce segment. x 0 6 y 8 f est une fonction décroissnte sur [0 ; 6] cr = (Tleu de vritions). x x 8 Nous pouvons donner le tleu de signe sur l intervlle [0 ; 8] x x + en effet sur [0 ; 6], f(x) est toujours positif.

Pour trcer ce segment, nous pouvons prendre deux vleurs de x et chercher leurs imges. Si x = 0 lors f(0) = 8 0 = 8 et f(6) = 8 6 =. L éqution du segment ser donc y = 8 x vec x [0 ; 6].

5 Si l fonction vit été définie sur R, nous urions eu : x 8 + en effet, l rcine est x = 8. f(8) = 0. = donc le tleu est 8 x + 0 du style «+ 0.». En première, nous ppellerons cette fonction un polynôme en x de degré. Exercice L éqution est de l forme y = x + ; = Pour trouver, on utilise A : = donc (AB) y = 8 x +. (3) yb xb ya xa + = + = = 3 3 = 8 = Exercice 3 P est une fonction de t définie sur [0 ; ], c est une fonction ffine pr morceux c est-àdire, on grphiquement trois segments de droite, on pourrit chercher les équtions des trois segments sur les trois intervlles qui conviennent. ) Tleu de vritions : t 0 P(t) (Attention, pour les deux derniers segments, nous ne dessinons qu une flèche). (Nous vons fit seulement une lecture grphique, si nous voulons démontrer, il fut les équtions).

(3) yb xb ya xa + = + = = 3 3 = 8 = Exercice 3 P est une fonction de t définie sur [0 ; ], c est une fonction ffine pr morceux c est-àdire, on grphiquement trois segments de droite, on pourrit

6 Entre 0 et, on peut dire que P n est ps une fonction monotone. Définition : Une fonction est monotone sur un intervlle si elle grde toujours le même sens de vritions sur cet intervlle. ) Cherchons mintennt l éqution de [AB] : En premier lieu, t [0 ; ], l éqution est de l forme y = t + cr on un segment de y droite : = B ya = = = et pour, nous utilisons A : x x 0 B A 40 = 0() + ce qui donne = 40. [AB] : y = t + 40 t [0 ; ]. c) Le coefficient directeur de ce segment représente le tux d ccroissement entre t = 0 et t =. On peut dire ussi l vitesse d ccroissement si le phénomène vit ugmenté régulièrement chque jour. Au totl, nous pouvons dire que cet ction ugmenté de : = = 0, soit une ugmenttion de % Nous utilisons une formule vue en Economie : Pourcentge de vritions = VF V V I I (V F vleur finle et V I vleur initile). (A titre d entrînement, les équtions des trois morceux du grphique sont : si t [0 ; ] y = 0 t + 40 représente P(t) = 0 t + 40 si t ] ; ] y = 0 t + 0 représente P(t) = 0 t + 0 si t ] ; ] y = 0 00 t représente P(t) = t +.) Exercice 4 Dns un VRAI FAUX, nous devons nlyser chque ffirmtion et donner un exemple si elle est fusse ou ien démontrer qu elle est vri. Attention, un exemple ne suffit ps pour démontrer qu une ffirmtion est vrie. ) Toutes les droites dns un repère orthonorml du pln (P) représentent des fonctions ffines. AFFIRMATION FAUSSE. Pr exemple, si nous trçons x = dns un repère orthonorml du pln (P), nous otenons une droite et pourtnt l éqution de cette droite n est ps de l forme y = x +. y 3 x= x

+ ce qui donne = 40. [AB] : y = t + 40 t [0 ; ]. c) Le coefficient directeur de ce segment représente le tux d ccroissement entre t = 0 et t =.

7 ) Nous vons dns un repère orthonorml, A(0 ;) et B( ;). L droite (AB) représente une fonction ffine décroissnte. AFFIRMATION VRAIE. En effet, (AB) n est ps verticle cr x vrie. L éqution de (AB) est de l forme y = x + : y = B ya = = = et A montre que =. x B x A 0 4 (AB) y = x + Ceci est ien une fonction ffine décroissnte cr est négtif. Nous urions pu le dire imméditement cr si on psse de A à B, x ugmente mis y diminue. c) Toutes les fonctions ffines chngent de signe pour une vleur donnée de l vrile. AFFIRMATION FAUSSE. En effet, les fonctions constntes de l forme y = (cs prticuliers des fonctions ffines cr = 0) ne chngent ps de signe. Exemple : f(x) = 3 est une fonction ffine toujours positive. d) On dit qu une fonction est monotone si elle grde toujours le même sens de vritions. Les fonctions ffines sont des fonctions monotones sur R. AFFIRMATION VRAIE. En effet, le sens de vritions d une fonction ffine ne dépend que de. Si on une fonction ffine f(x) = x + x A (A R) Si > 0 lors f est croissnte sur A. Si < 0 lors f est décroissnte sur A. Si = 0 lors f est une fonction constnte sur A. e) Il existe une seule fonction ffine pssnt pr O, le centre du repère et le point E(3 ; ). AFFIRMATION VRAIE. En effet pr deux points, il ne psse qu une droite. Donnons l éqution de l droite (OE) : ye yo 0 Elle est de l forme y = x vec = = =. x E xo L fonction ffine représentée pr (OE) est g(x) = x. 3

Nous urions pu le dire imméditement cr si on psse de A à B, x ugmente mis y diminue. c) Toutes les fonctions ffines chngent de signe pour une vleur donnée de l vrile. AFFIRMATION FAUSSE.

Documents pareils

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (