T ES/L DEVOIR SURVEILLE 2 12 OCTOBRE 2012

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1 T ES/L DEVOIR SURVEILLE 2 12 OCTOBRE 2012 Durée : 2h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.» Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Exercice 1-4 points - Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette bonne réponse. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L absence de réponse ne rapporte aucun point et n en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. 1) f est une fonction définie et dérivable sur R. La tangente au point d abscisse 1 à la courbe représentative de cette fonction f dans un repère du plan a comme équation réduite y = x+3. Alors on peut dire que : f (1) = 3 f (1) = 1 f (1) = 3 2) Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On a tracé ci-contre sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormal. Une des trois courbes ci-dessous représente graphiquement la fonction f. Déterminer laquelle. Réponse A Réponse B Réponse C 3) (U n ) est une suite arithmétique avec U 5 = 5 et U 20 = 40 ; quelle est la valeur du premier terme U 0? U 0 = 5 U 0 = 20 U 0 = 60 4) (V n ) est une suite géométrique de raison q = 10 avec V 5 = ; quelle est la valeur du premier terme V 0? V 0 = 200 V 0 = 20 V 0 = 2 Page 1 sur 4

2 Exercice 2-5 points - La courbe ci-contre représente une fonction f définie et dérivable sur R. On a tracé les droites T 1, T 2 et T 3 tangentes respectives à la courbe (Cf) aux points A, B et C. La fonction f admet deux extremums atteints pour les valeurs 1 et 2. 1) Déterminer par simple lecture graphique les nombres : f (2), f (0) et f (3) 2) On note f ' la fonction dérivée de f ; déterminer par simple lecture graphique les nombres : f ' (2), f ' (0) et f ' (3) 3) Déterminer par simple lecture graphique une équation de la tangente T 1. 4) Pour quelles valeurs de x a-t-on : f ' (x) = 0? (Justifier) 5) Dresser le tableau de variation de cette fonction f sur R, en précisant le signe de la dérivée. Exercice 3-5,5 points - On considère la fonction f définie sur IR par ² 3 2 1) Déterminer la dérivée f de f. 2) Donner l équation de la tangente à la courbe Cf au point d abscisse a = 1. 3) Déterminer le signe de f (x) sur R, puis dresser le tableau de variations de f. 4) Démontrer que l équation f (x) = 0 admet une solution unique α sur l intervalle [ 1 ;3]. A l aide de la calculatrice, donner un encadrement de α à 10 2 près. Page 2 sur 4

3 Exercice 4-7 points - L entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur x exprimée en kilomètre, x étant compris entre 0 et 10. Le coût total de production en euros de l entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur x par la formule ² Le graphique de l annexe donne la représentation graphique de la fonction C. Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes Partie A : Étude du bénéfice Si le marché offre un prix p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l entreprise CoTon pour la vente d une quantité x est égal à R(x) = px. 1. Tracer sur le graphique ci-après la droite D 1 d équation y = 400x. Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix p dumarché est égal à 400 euros. 2. Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros. a. Tracer sur le graphique de l annexe 2 la droite D 2 d équation y = 680x. Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités produites et vendues, l entreprise CoTon réalise un bénéfice si le prix p du marché est de 680 euros. b. On considère la fonction B définie sur l intervalle [0 ; 10] par B(x) = 680x C(x). Démontrer que pour tout x appartenant à l intervalle [0 ; 10] on a : B (x) = 45x² +240x c. Étudier les variations de la fonction B sur [0 ; 10]. En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l entreprise CoTon est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice. Partie B : Étude du coût moyen On rappelle que le coût moyen de production C M mesure le coût par unité produite. On considère la fonction C M définie sur l intervalle ] 0 ; 10] par. 1. Démontrer que pour tout x appartenant à l intervalle ] 0 ; 10] on a :. ² 2. a. Démontrer que pour tout x appartenant à l intervalle ] 0 ; 10], C M (x) est du signe de (x 5). En déduire les variations de la fonction C M sur l intervalle ] 0 ; 10]. b. Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum? Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total? Page 3 sur 4

4 Exercice 5-8 points - Une entreprise fabriquant des tables en bois souhaite se développer rapidement et veut planifier l augmentation de sa production. En 2011, 250 tables par mois ont été fabriquées. Deux options sont possibles pour augmenter la production : Plan 1 : on augmente la production annuelle de 180 tables chaque année. Plan 2 : on augmente la production de 5% par an 1) On note un le nombre de tables fabriquées pendant l année n avec le plan 1. Déterminer u0. Quelle est la nature de la suite (un)? Exprimer un en fonction de n. 2) On note wn le nombre de tables fabriquées pendant l année n avec le plan 2. On a alors w0 = u0. Quelle est la nature de la suite (wn)? Exprimer wn en fonction de n. 3) Déterminer quel est celui des deux plans permettant de produire le plus grand nombre de tables pendant l année ) En utilisant la calculatrice et en justifiant ensuite la réponse donnée, déterminer à partir de quelle année, la production annuelle avec le plan 2 sera supérieure à la production annuelle avec le plan 1. 5) L entreprise choisit finalement de suivre le plan 2. Calculer le nombre total de tables fabriquées pendant les années 2011 à 2020 (2020 inclus) Page 4 sur 4

5 T ES/L CORRECTION DEVOIR SURVEILLE 2 12 / 10 / 2012 Exercice 1-4 points - Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette bonne réponse. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L absence de réponse ne rapporte aucun point et n en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. 1) f est une fonction définie et dérivable sur R. La tangente au point d abscisse 1 à la courbe représentative de cette fonction f dans un repère du plan a comme équation réduite y = x+3. Alors on peut dire que : f (1) = 3 f (1) = 1 f (1) = 3 2) Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On a tracé ci-contre sa courbe représentative (C) dans un repère orthonormal. Une des trois courbes ci-dessous représente graphiquement la fonction f. Déterminer laquelle. Réponse A Réponse B Réponse C 3) (U n ) est une suite arithmétique avec U 5 = 5 et U 20 = 40 ; quelle est la valeur du premier terme U 0? U 0 = 5 U 0 = 20 U 0 = 60 4) (V n ) est une suite géométrique de raison q= 10 avec V 5 = ; quelle est la valeur du premier terme V 0? V 0 = 200 V 0 = 20 V 0 = 2 Page 5 sur 4

6 Exercice 2-5 points - La courbe ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur R. On a tracé les droites T 1, T 2 et T 3 tangentes respectives à la courbe (Cf) aux points A, B et C. La fonction f admet deux extremums atteints pour les valeurs 1 et 2. 1) Déterminer par simple lecture graphique les nombres : f (2), f (0) et f (3) f (2) = 3 f (0) = 2 f (3) = 2 2) On note f ' la fonction dérivée de f ; déterminer par simple lecture graphique les nombres : f ' (2), f ' (0) et f ' (3) f ' (2) = 0 f ' (0) = 2/2 = 1 f ' (3) = 2/1 = 2 3) Déterminer par simple lecture graphique une équation de la tangente T1 : Le coefficient directeur de la tangente T1 est égal à f ' (2) c est-à-dire à 1. Son ordonnée à l origine est égale à 4. On en déduit qu une équation de cette tangente T1 est : y = x + 4 4) Pour quelles valeurs de x a-t-on : f ' (x) = 0? (Justifier) Résoudre l équation f ' (x) = 0 signifie que l on recherche les abscisses des points de (Cf) où la tangente à (Cf) est parallèle à l axe des abscisses. S = { 1 ; 2} 5) Dresser le tableau de variation de cette fonction f sur R, en précisant le signe de la dérivée. x Signe de f (x) ,5 Variation de f 3 Page 6 sur 4

7 Exercice 3-5,5 points - On considère la fonction f définie sur IR par ² 1) Déterminer la dérivée f de f. f est dérivable sur IR en tant que fonction polynôme et f (x) = x² 2x 3 2) Donner l équation de la tangente à la courbe Cf au point d abscisse a = 1. l équation de la tangente au point a = 1 et y = f (1) ( x 1 ) + f(1) on trouve f(1) = et f (1) = 4, d où y = 4 ( x 1 ) y = 4 x + 4 Donc l équation de la tangente à Cf au point d abscisse 1 : y = 4x + 3) Déterminer le signe de f (x) sur R, puis dresser le tableau de variations de f. f (x) = 0 équivaut à x² 2x 3 = 0 = b² 4 a c = (-2)² 4 (1) ( 3) = = 16 > 0. L expression admet donc deux racines réelles distinctes : 3 1 Comme a = 1 est positif on obtient le tableau de signe suivant : 4) Démontrer que l équation f (x) = 0 admet une solution unique α sur l intervalle [ 1 ;3]. A l aide de la calculatrice, donner un encadrement de α à 10 2 près. On sait que la fonction f est continue et strictement décroissante sur [-1 ;3] à valeurs dans [-7 ;11/3] D après le théorème des valeurs intermédiaires On obtient que l équation f (x) = 0 admet une solution unique sur [ 1 ;3]. De plus f (0,57) = 0,0268 et f (0,58) = 0,0113 Donc 0,57 < α < 0,58 Page 7 sur 4

8 Exercice 4-7 points - L entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur x exprimée en kilomètre, x étant compris entre 0 et 10. Le coût total de production en euros de l entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur x par la formule C(x) = 15x 3 120x² + 500x Le graphique de l annexe donne la représentation graphique de la fonction C. Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes Partie A : Étude du bénéfice Si le marché offre un prix p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l entreprise CoTon pour la vente d une quantité x est égal à R(x) = px. 1. Tracer sur le graphique de l annexe 2 la droite D 1 d équation y = 400x. Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix p du marché est égal à 400 euros. La droite D 1 est en dessous de la courbe représentative de la fonction C. Donc pour tout réel x appartenant à [0 ;10], C x)>400x. C'est à dire que : si le prix p du marché est égal à 400 euros alors le coût total de production est supérieur à la recette donc l'entreprise ne peut pas réaliser un bénéfice. 2. Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros. a. Tracer sur le graphique de l annexe 2 la droite D 2 d équation y = 680x. Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités produites et vendues, l entreprise CoTon réalise un bénéfice si le prix p du marché est de 680 euros. L'entreprise CoTon réalise un bénéfice quand la recette est supérieure aux coûts. Graphiquement, il s'agit de déterminer l'intervalle sur lequel la courbe représentative de la fonction recette est située au dessus de la courbe représentative de la fonction coût total. Avec la précision permise par le dessin, la «plage de rentabilité» est obtenue pour une production comprise entre 2,1 et 8,7 kilomètres de tissu. Page 8 sur 4

9 b. On considère la fonction B définie sur l intervalle [0 ; 10] par B(x) = 680x C(x). Démontrer que pour tout x appartenant à l intervalle [0 ; 10] on a : B (x) = 45x² +240x La fonction B est définie sur l'intervalle [0 ; 10] par 680. Soit ² La fonction B est dérivable comme somme de fonctions dérivables sur l'intervalle [0 ; 10] et 15 3 ² ² Donc la fonction B définie sur l'intervalle [0 ; 10] par 45 ² c. Étudier les variations de la fonction B sur [0 ; 10]. En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l entreprise CoTon est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice. Les variations de B, se déduisent de l'étude du signe de la dérivée B Étudions le signe du polynôme du second degré : 45 ² = b² 4 a c = (240)² 4 ( 45) (180) = > 0. L expression admet donc deux racines réelles distinctes : Comme > 0 et a > 0 6 D'après le tableau des variations de la fonction B sur l'intervalle [0 ; 10], le bénéfice est maximal pour la production et la vente de 6 kilomètres de tissu. D'autre part, B 6)= ² =1410 Donc Le bénéfice maximal est de 1410 pour la production et la vente de 6 kilomètres de tissu. Page 9 sur 4

10 Partie B : Étude du coût moyen On rappelle que le coût moyen de production C M mesure le coût par unité produite. On considère la fonction C M définie sur l intervalle ]0 ; 10] par. 1. Démontrer que pour tout x appartenant à l intervalle ]0 ; 10] on a :. ² On a C x ² C est dérivable sur ]0 ;10] comme somme de fonction dérivable sur ]0 ;10] Et C x ² 750 ² ². Or Donc C x ² 750 ². ² 2. a. Démontrer que pour tout x appartenant à l intervalle ]0 ; 10], C M (x) est du signe de (x 5). En déduire les variations de la fonction C M sur l intervalle ]0 ; 10]. Soit P x)=x² + x + 5 Alors = b² 4 a c = 1² = 1 20 = 19 < 0 D'autre part, pour tout réel x, x² 0 Donc pour tout réel x, x² + x + 5 > 0. Par conséquent, pour tout x appartenant à l'intervalle ]0 ; 10], l'expression est du signe de x 5. Les variations de la fonction C M, se déduisant du signe de sa dérivée, nous pouvons établir le tableau des variations de C M sur l'intervalle ]0 ; 10] b. Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum? Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total? C 5)= ² = 2125 et CM 5)=2125/5=425 Le coût moyen de production minimum est de 425 euros le kilomètre de tissu pour une production de 5 kilomètres de tissu ce qui correspond à un coût total de production de euros. Page 10 sur 4

11 Exercice 5-7,5 points - Une entreprise fabriquant des tables en bois souhaite se développer rapidement et veut planifier l augmentation de sa production. En 2011, 250 tables par mois ont été fabriquées. Deux options sont possibles pour augmenter la production : Plan 1 : on augmente la production annuelle de 180 tables chaque année. Plan 2 : on augmente la production de 5% par an 1) On note un le nombre de tables fabriquées pendant l année n avec le plan 1. Déterminer u0. Quelle est la nature de la suite (un)? Exprimer un en fonction de n. u0 est la production annuelle de l année = 2011 donc u0 = = 3000 u0 = 3000 On augmente la production annuelle de 180 tables chaque année donc un+1 = un donc (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 = 3000 et raison r = 180 donc un = u0 + n r = n 2) On note wn le nombre de tables fabriquées pendant l année n avec le plan 2. On a alors w0 = u0 Quelle est la nature de la suite (wn)? Exprimer wn en fonction de n w0 est la production annuelle de l année = 2011 donc w0 = u0 = 3000 On augmente la production annuelle de 5% chaque année donc cela revient à appliquer le coefficient multiplicateur 1 1,05 donc wn+1 = 1, 05wn donc (wn) est une suite géométrique de premier terme w0 = 3000 et raison q = 1, 05 donc wn = w0 1, 05 n = , 05 n 3) Déterminer quel est celui des deux plans permettant de produire le plus grand nombre de tables pendant l année = donc il faut calculer u4 et w4 u4 = = 3720 et w4 = , , 5 Le plan 1 permet de produire plus de table que le plan 2 en ) En utilisant la calculatrice et en justifiant ensuite la réponse donnée, déterminer à partir de quelle année, la production annuelle avec le plan 2 sera supérieure à la production annuelle avec le plan 1. Il faut résoudre wn > un On a alors u8 = 4440 et w8 4432, 3 donc u8 > w8 et u9 = 4620 et w9 4653, 9 donc u9 < w9 donc pour n = 9 la production annuelle avec le plan 2 est supérieure à celle du plan 1 soit en = 2020 La production annuelle avec le plan 2 est supérieure à celle du plan 1 à partir de ) L entreprise choisit finalement de suivre le plan 2. Calculer le nombre total de tables fabriquées pendant les années 2011 à 2020 (2020 inclus) 1 1 1,05 1 1, , ,05 0,05 (arrondi à l unité) Avec le plan 2, tables auront été produites entre le début 2011 et la fin de l année Page 11 sur 4

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