Thème N 17 : ANGLE INSCRIT - ANGLE AU CENTRE POLYGONES REGULIERS

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1 Thème N 17 : NGLE INSRIT - NGLE U ENTRE PLYGNES REGULIERS * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Pour prendre un bon départ Exercice n 1 : n considère un triangle. Le cercle 1 de diamètre [] coupe le segment [] en H. 1. ontrer que les droites (H) et () sont perpendiculaires.. ontrer que le cercle circonscrit au triangle H a pour diamètre []. orrigé : 1 H 1. ontrons que les droites (H) et () sont perpendiculaires n sait que : [] est un diamètre de 1 et H appartient au cercle. Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est l hypoténuse du triangle. Donc H est un triangle rectangle en H et ainsi H = 90. onclusion : (H) est perpendiculaire à ().. ontrons que à pour diamètre [] n sait que : H est un triangles rectangle en H ( car (H) est perpendiculaire à (H)) et est le cercle circonscrit au triangle H. Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. onclusion : a pour diamètre []

2 Exercice n : Tracer un cercle de centre I et de diamètre []. Soit un autre point de ce cercle, distinct de et de. 1. Quelle est la nature du triangle?. Que représente le segment [I] pour le triangle rectangle? 3. Que représente la longueur de [I] par rapport à la longueur de l hypoténuse []? justifier votre réponse. 4. ompléter la phrase suivante. «Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l hypoténuse est égale à..» orrigé : Nature du triangle I n sait que : [] est un diamètre du cercle de centre I et un point de ce cercle. Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est l hypoténuse du triangle. onclusion : est un triangle rectangle en. 1. [I] représente la médiane issue de. 1. I est un rayon du cercle, donc : I = 3. Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l hypoténuse est égale à la moitié de l hypoténuse. Exercice n 3 : n considère un triangle quelconque. Le cercle de diamètre [] coupe [] en et [] en. Démontre que [ ] et [ ] sont des hauteurs du triangle. 1. Démontrons que est un triangle rectangle en ' ' n sait que [] est un diamètre du cercle et est un point du cercle. D après la propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est l hypoténuse du triangle. Donc : est un triangle rectangle en.. Démontrons que est un triangle rectangle en c n sait que [] est un diamètre du cercle et est un point du cercle. D après la propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est l hypoténuse du triangle. Donc : est un triangle rectangle en. 3. Démontrons que [ ] et [ ] sont des hauteurs du triangle. n sait que : - ( ) est perpendiculaire à [] car est un triangle rectangle en et est un point de []. - ( ) est perpendiculaire à [] car est un triangle rectangle en et est un point de []. r par définition : Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

3 onclusion : Dans le triangle ; [ ] est la hauteur relative au côté [] et [ ] est la hauteur relative du côté []. Exercice n 4 : Trace un cercle de centre. Place les points, N et P sur ce cercle. Trace le cercle de diamètre [NP]. e cercle coupe la droite (N) en un point nommé R. Soit I le milieu du segment [N]. Démontre que les droites (I) et (PR) sont des droites parallèles. N R I 1 P 1. Démontrons que (NR) est perpendiculaire à (N) n sait que [NP] est un diamètre du cercle 1 et R est un point du cercle. D après la propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est l hypoténuse du triangle. Donc : NRP est un triangle rectangle en R. insi : omme R est un point de [N], alors (NR) est perpendiculaire à (N). Démontrons que (I) est perpendiculaire à (N) n sait que N et sont deux points situés à égale distance de car et N sont deux points du cercle D après la propriété : Si un point se trouve à égale distance des extrémités d un segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Donc appartient à la médiatrice de [N]. De plus comme I est le milieu de [N], alors par définition de la médiatrice, (I) est la médiatrice du segment [N]. insi : (I) est perpendiculaire à (N) 3. Démontrons que (I) et (PR) sont parallèles n sait que : (I) perpendiculaire à (N) et (PR) perpendiculaire à (N). D après la propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles. onclusion : Les droites (I) et (PR) sont parallèles. TIVITE : - SERVTINS

4 1 : Dans un cercle de centre et de rayon R = 4 cm, on trace une corde [] telle que = 4 5,65 cm. ontrer que est un triangle rectangle : ² = (4 )² = 16 = 3 ² + ² = 4 ² + 4 ² = = 3 E omme ² = ² + ², d après la réciproque du théorème de Pythagore,le triangle et rectangle en n en déduit que mes( ) = 90 est l'angle au centre qui intercepte la corde [] (son sommet est le centre du cercle). F En utilisant un rapporteur mesurer les angles : mes(e) = 45 mes(f) = 45 mes(g) = 45 G es trois angles sont des angles inscrits qui interceptent la même corde [] (leur sommet est sur le cercle). Remarque : mes( E ) = mes( F ) = mes( G ) = 1 mes( ) Π Exemple : Dans un cercle de centre I et de rayon R = 5 cm, on trace une corde [] telle que = 5 cm. ontrer que I est un triangle équilatéral : n a : I + I = R = 5 cm omme = 5 cm, alors = I = I n en déduit que mes( I ) = 60 I est l'angle au centre qui intercepte la corde [] (son sommet est le centre du cercle) En utilisant un rapporteur mesurer les angles : mes() = 30. mes(n) = 30 mes(p) = 30 es trois angles sont des angles inscrits qui interceptent la corde [] (leur sommet est sur le cercle). Remarque : N I P mes( ) = mes( N ) = mes( P ) = 1 mes( I )

5 - PREUVES 1. as particulier, et N sont trois points d un cercle ( ) de centre. Le segment [N] est un diamètre de ( ). n pose N = a. a. Quelle est la nature du triangle? Justifier. N et sont deux points d un même cercle de centre, donc = Le triangle est donc isocèle b. Exprime en fonction de a : = a En déduire une relation entre les angle N et N. N = N = ( a ) N = a N = a N = N a () as général, et sont trois points du cercle ( ). Le segment [N] est un diamètre de ce cercle. n pose : N N N = a et N = b a b a b Dans les deux cas de figure : () () Figure 1 Figure a. Exprime en fonction de a et de b : ( Figure 1 ) = a + b (Figure ) = a - b. b. En utilisant l égalité établie en 1., exprime N en fonction de a et N en fonction de b (Figure 1 ) N = a et N = b (Figure ) N = a et N = b. c. En déduire une relation entre et. Figure 1 : = N + N Figure : = a + b = ( a + b) = = N - = a - b N = ( a - b) =

6 - ILN n vérifie les propriétés suivantes : dans un cercle, les angles inscrits qui interceptent la même corde [] ont la même mesure. dans un cercle, les angles inscrits ont une mesure égale à la moitié de celle de l'angle au centre qui intercepte la même corde []. (les sommets des angles étant tous situés du même côté de la corde) Exercice n 5 : Dans chacun des cas ci-dessous, indique si l angle P est inscrit ou non dans le cercle ( ). P () P P () Figure 1 Figure Figure 3 () NN UI NN Exercice n 6 : ( ) est un cercle de centre. Sans rapporteur, donne la mesure de chacun des angles suivants, sachant que = 70. F E D = = 35 E = = 35 D ( ) = = 55 F F = = 55 F = = 110.

7 Exercice n 7 : () I (') Dans la figure ci-contre, les deux cercles ( ) et ( ) sont sécantes en I et J. 1. Démontre que : a. IJ = IJ. b. IJ = INJ. J N. En déduire que I = IN. orrigé : 1. Démontrons que : IJ = IJ. L angle IJ est un angle inscrit dans le cercle ( ) qui intercepte l arc IJ et l angle IJ est un angle inscrit qui intercepte le même arc IJ D après la propriété : Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc alors ils ont la même mesure Donc : : IJ = IJ. Démontrons que : IJ = INJ. L angle IJ est un angle inscrit dans le cercle ( ) qui intercepte l arc IJ et l angle INJ est un angle inscrit qui intercepte le même arc IJ D après la propriété : Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc alors ils ont la même mesure Donc : : IJ = INJ.. En déduire que I = IN. n a : I = ( IJ + IJ ) r d après question 1., IJ = IJ et IJ = INJ. Donc I = ( IJ + INJ ) I = IN Exercice n 8 : Un quadrilatère D est inscrit dans un cercle ( ) de centre. Ses diagonales se coupent en. Démontre que les angles des triangles et D sont respectivement égaux. D

8 Exercice n 9 : 1. n trace le segment [] tel que = 7 cm. Place un point tel que = 70 et = 60.. onstruis le cercle circonscrit au triangle, et appelle son centre. n laissera les traits de construction. 3. Donne la mesure de l angle en justifiant la réponse n sait que : - L angle est un angle au inscrit qui intercepte l arc. - L angle est un angle au centre qui intercepte le même arc. Si dans un cercle, un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc alors la mesure de l angle au centre est le double de la mesure de l angle inscrit. Donc : = = 60 = 10 onclusion : = 10 Exercice n 10 : 1. Trace un cercle ( ) de centre et de diamètre [] mesurant 8 cm. Place un point E sur ce cercle tel que E mesure 5.. ontre que le triangle E est rectangle.

9 3. Sur le demi-cercle d extrémités et, qui ne contient pas E, place un point K. Quelle est la valeur exacte des angles E et EK? Justifie. E 5?? K ) n sait que : - [] est un diamètre du cercle de centre, - E est un point de ce cercle. Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est l hypoténuse du triangle. onclusion : E est un triangle rectangle en E. 3 ) alcul de E n sait que : - L angle E est un angle au centre qui intercepte l arc E. - L angle E est un angle inscrit qui intercepte le même arc E. Si dans un cercle, un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc alors la mesure de l angle au centre est le double de la mesure de l angle inscrit. Donc : E = E = 5 = 104 onclusion : E = 104 alcul de EK n sait que : E et EK sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc E. Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc alors ils ont la même mesure. Donc E = EK = 5 onclusion : EK = 5 Exercice n 11 : () La figure n est pas en vraie grandeur. Le rayon du cercle ( ) de centre est égal à 3 cm. [] est un diamètre de ce cercle. Les points et D appartiennent au cercle et la droite (D) est la médiatrice du rayon []. La droite () coupe T la tangente au cercle ( ) au

10 TIVITE : - «Le billard circulaire» En partant du point, la boule heurte en le bord du billard circulaire de centre et rebondit symétriquement à sa trajectoire initiale par rapport au rayon []. Elle rebondit ensuite toujours selon la même loi ( symétrie par rapport au rayon). Le billard mesure m de diamètre. a. Quelle est la nature du triangle si = 60? b. alcule. c. Démontre que la trajectoire est un polygone dont les côtés ont la même longueur et tous les angles sont égaux. est un hexagone régulier. d. Représente, à l échelle 1/0, le billard et la trajectoire d une boule dans ce cas. e. Représente, à l échelle 1/0, le billard et la trajectoire d une boule dans le cas où = Polygones réguliers 1. a. onstruis un hexagone régulier DEF de 4 cm de côté. b. Quelle est la nature du polygone E? Est-ce un polygone régulier?.. alcule les angles «au centre», E, E. Exercice n 1 : Parmi les polygones suivants, quels sont ceux qui sont réguliers? a. b. c.

11 Par définition : Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et dont tous les sommets appartiennent à un même cercle. Tous les angles d un polygone régulier ont la même mesure. La figure a. est un triangle équilatéral car tous ses côtés ont même mesure et les angles mesurent tous 60, il s agit donc d un polygone régulier. La figure b. étant un polygone quelconque, il n est pas régulier. La figure c. est un carré car un losange ayant angle droit a donc tous ses côtés de même longueur et ses angles mesurent 90. Il s agit donc d un polygone régulier. Exercice n 13 : n a représenter des polygones réguliers. a. 4 côtés (carré) b. 8 côtés (octogone) c. 5 côtés (pentogone) 1. alcule les angles et. 360 Pour le carré : = = 90 et Pour l octogone : = = 45 et Pour le pentagone : = = 7 et 5 = = =. Vérifie que dans chacun des cas : + = 180 Pour le carré : + = = 180 Pour l octogone : + = = 180 Pour le pentagone : + = = 180 ( ) = = = 90 ( ) = = = 135 (180 7 ) = = = 108 Exercice n 14 : onstruis un triangle équilatéral de centre. alcule la mesure de l angle.

12 360 = = 10 3 T Exercice n 15 : Le triangle T suivant est équilatéral. alcule la mesure de l angle ST. S n sait que : T et même arc T. TS sont deux angles inscrits qui interceptent le Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc alors ils ont la même mesure. Donc T = TS = 60 ( ar dans un triangle équilatéral, les angles mesurent tous 60 ) onclusion : TS = 60 Exercice n 16 : n considère un hexagone régulier DEF de centre. alcule la mesure de l angle. F E D 360 alcul de l angle au centre : = = alcul de l angle : = = = 10 alcul de l angle = = = 30

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