Cosinus d un angle aigu (trigonométrie) Exercices corrigés

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1 Cosinus d un angle aigu (trigonométrie) Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercices 1 et 2 : calcul de la longueur d un côté adjacent à un angle aigu Exercice 3 : calcul de la longueur de l hypoténuse Exercice 4 : calcul du cosinus d un angle et de la mesure de cet angle Exercice 5 : calcul du périmètre d un rectangle Exercice 6 : calcul de l aire d un parallélogramme Rappel : Cosinus d un angle aigu Dans un triangle rectangle, Exemple : l hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l angle droit le côté adjacent à un angle aigu relie les sommets de d une part et de l angle droit d autre part le cosinus d un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l hypoténuse est un triangle rectangle en. Le cosinus de est noté et : côté adjacent à angle droit hypoténuse côté adjacent à sommet de hypoténuse Le cosinus de est noté et : côté adjacent à 1

2 Exercice 1 (1 question) Niveau : facile est un triangle rectangle en tel que et cm. Calculer en arrondissant le résultat au millimètre près. Correction de l exercice 1 1 ère étape : On réalise une figure à taille réelle (ou en modifiant l échelle) ou un schéma (à main levée) en reportant les indications fournies par l énoncé (codage). 2 ème étape : On s assure que le triangle est rectangle (soit à l aide de l énoncé, soit à l aide du codage de la figure ou du schéma, soit en utilisant une démonstration). D après l énoncé, le triangle est rectangle en. 3 ème étape : On repère, ainsi que l hypoténuse et le côté adjacent à. hypoténuse côté adjacent à Ici, à repérer est l angle, indiqué en bleu. 4 ème étape : On écrit le cosinus de cet angle sous la forme d un rapport de longueurs, en utilisant la formule du cours. 5 ème étape : On cherche la valeur manquante de l égalité. Rappel : Produit en croix Soient 4 nombres,, et, non nuls. En supposant que, alors : 2

3 Dans cet exercice, on cherche. A l aide d un produit en croix, on trouve que : 6 ème étape : On donne le résultat exact en remplaçant les longueurs et les angles connus par leurs mesures respectives. Touches à saisir pour calculer cos 30 avec la Casio Collège 2D fx-92 7 ème étape : On utilise la calculatrice pour trouver le résultat arrondi. 8 ème étape : On conclut. avec la Texas Instrument TI-Collège Le segment mesure cm (valeur arrondie au millimètre près par défaut). Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile On donne la figure ci-contre. Calculer et. Correction de l exercice 2 1) Calculons dans un premier temps. D après le codage de la figure, l angle Le triangle est donc rectangle en. est un angle droit. Alors, dans le triangle rectangle en, on a : D où, à l aide d un produit en croix puis en remplaçant par les mesures connues : Le segment mesure (arrondi au centième par excès). Remarque importante : Dans cet exercice, l unité de longueur n est pas précisée ; il ne faut donc pas écrire d unité après le résultat du calcul. 3

4 2) Calculons désormais. Dans un triangle, la somme des angles est égale à donc : Dans le triangle rectangle en, on a : D où, à l aide d un produit en croix puis en remplaçant par les mesures connues : Le segment mesure (arrondi au centième par excès). Remarque importante : On aurait pu également déterminer la distance en utilisant le théorème de Pythagore. En effet, le triangle est rectangle en donc, d après le théorème de Pythagore, on à l égalité suivante :, c est-à-dire. Enfin, il en résulte que. Le segment mesure (arrondi au centième par excès). Rappel : Théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle, alors, d après le théorème de Pythagore, le carré de la longueur de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés du triangle. Exemples : Hypoténuse Hypoténuse Hypoténuse Le triangle est rectangle en donc, d après le théorème de Pythagore : Le triangle est rectangle en donc, d après le théorème de Pythagore : Le triangle est rectangle en donc, d après le théorème de Pythagore : Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Soit un cercle de diamètre et soit un point du cercle tel que cm et. Calculer la mesure du diamètre du cercle. 4

5 Correction de l exercice 3 Rappel : Triangle rectangle et cercle circonscrit Si un triangle est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et a pour hypoténuse le diamètre du cercle. Le segment est un diamètre du cercle et est un point de ce cercle. donc Le triangle est rectangle en et a pour hypoténuse. D après l énoncé, est un cercle de diamètre et. Autrement dit, le triangle est inscrit dans le cercle, de diamètre. Par conséquent, le triangle est rectangle en et a pour hypoténuse. Il en résulte que : Schéma : C est-à-dire : Le diamètre du cercle mesure exactement 6 cm. Exercice 4 (3 questions) Niveau : moyen On considère le schéma ci-contre. Les points, et sont alignés. 1) Calculer les valeurs arrondies au degré près de la mesure de l angle et de la mesure de l angle. 2) En déduire que les droites et sont perpendiculaires. 5

6 Correction de l exercice 4 1) Calculons dans un premier temps la mesure de l angle. D après le codage, le triangle est rectangle en. Par conséquent, d après le théorème de Pythagore, on a l égalité suivante : Il s ensuit que.. En outre, on a : D où (arrondi au degré près). Touches à saisir pour calculer la mesure de l angle de cosinus 0,8 avec la Casio Collège 2D fx-92 avec la Texas Instrument TI-Collège Calculons dans un second temps la mesure de l angle. D après le codage, le triangle est rectangle en. Par conséquent, on a : D où (arrondi au degré près). 6

7 2) Déduisons-en que les droites et sont perpendiculaires. Rappel : Angles adjacents Deux angles adjacents et sont deux angles qui : ont le même sommet Sommet commun ont un côté commun se situent de part et d autre de ce côté commun Côté commun D après l énoncé, les points, et sont alignés. Autrement dit, l angle est un angle plat ; c est-à-dire. Or, les angles et sont adjacents, de même que sont adjacents les angles et. De ce fait, on a : D où, en remplaçant par les mesures connues : C est-à-dire L angle mesure donc le triangle est rectangle en. En d autres termes, les droites et sont perpendiculaires. Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen Soit un rectangle tel que cm et. Calculer le périmètre de ce rectangle. Correction de l exercice 5 Rappel : Périmètre d un rectangle Soit un rectangle de longueur et de largeur. Alors le périmètre du rectangle est donné par la formule : 7

8 est un rectangle donc le triangle est rectangle en. Par conséquent, on a : L hypoténuse du triangle, qui est aussi une diagonale du rectangle mesure près de cm (arrondi au mm par défaut). est un triangle rectangle en Pythagore, on a l égalité suivante :. Donc, d après le théorème de Par conséquent,. La largeur du rectangle mesure cm. Le périmètre du rectangle est donnée par la formule : Le rectangle a pour périmètre approximatif cm. Exercice 6 (1 question) Niveau : difficile Soit un parallélogramme. désigne le pied de la hauteur issue de. On sait que cm, cm et. Calculer un arrondi de l aire du parallélogramme. Correction de l exercice 6 Rappel : Aire d un parallélogramme Soit un parallélogramme de base et de hauteur. Alors l aire du parallélogramme est donnée par la formule : 8

9 est un parallélogramme donc ses angles opposés sont deux à deux de même mesure. Par conséquent,. De plus, par construction,, donc. En outre, est le pied de la hauteur issue de. Autrement dit,. Ainsi, comme, le triangle est rectangle en. Il s ensuit que : Par conséquent, l hypoténuse du triangle mesure approximativement cm (arrondi au millimètre par défaut). De plus, comme est un triangle rectangle en, d après le théorème de Pythagore, on a l égalité suivante : Ainsi, Par conséquent, la hauteur du parallélogramme, issue de, mesure approximativement cm (arrondi au millimètre par défaut). Enfin, l aire du parallélogramme est donnée par la formule : Comme est un parallélogramme, ses côtés opposés sont deux à deux de même mesure, c est-à-dire cm. Le parallélogramme a pour aire approximative cm². 9

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