Chapitre 4 Les primitives

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Ève Francine Lambert
il y a 7 ans
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1 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 4 : Les Primitives Chpitre 4 Les primitives A) Introduction : l loi de l grvité Depuis Newton, on sit que les pommes (et les urus) tombent des rbres prce qu ils sont ttirés pr l terre (l plnète, ps l humus). A une ltitude donnée, cette force induit une ccélértion constnte ux objets qui tombent. Comment, à prtir de cette ccélértion (ppelée g et de vleur à peu près égle à 9,8m/s² à l surfce de l terre), peut-on retrouver l formule donnnt l vitesse d un objet en chute libre? On (t) = g, on voudrit trouver v(t) On sit que (t) = v (t), dérivée de l vitesse. Le chemin inverse de l dérivtion, trouver une fonction F dont f est l dérivée, s ppelle l recherche de primitives. Dns le tbleu des dérivées usuelles, on voit que f(x) = x est l seule qui donne une dérivée constnte,. Une primitive possible de (t) = g est donc A(t) = g t (qui donne A (t) = g). Y en -t-il d utres? Soit F(t) telles que F (t) = g et exminons l fonction f(t) = F(t) A(t) : s dérivée est pr conséquent f (t) = F (t) A (t) = g g = 0 L dérivée de f est nulle pour tout t, cel veut dire qu en tout point de s courbe, l tngente à cette courbe, donc s "pente instntnée" est horizontle. L seule solution possible est une droite horizontle, soit une droite d éqution y = c. L fonction correspondnte est donc du type f(x) = c! On insi démontré que s il y plusieurs primitives d une fonction, elles sont identiques, à une constnte dditive c près. De fçon réciproque, il est immédit que toute somme d une constnte et d une primitive de f(x) est ussi primitive de f(x). On rrive donc ici à une vitesse de l forme v(t) = g t + c. Cependnt, l'ccélértion est orientée vers le bs, donc pour être cohérent, on noter v(t) = - g t + c. Si on connît l vitesse à l instnt t = 0 (pr exemple une pierre qu on lâche à l instnt 0), et qu on l nomme v 0, on ur v(t) = v 0 - g t, puisque v(0) = v 0 = 0 + c ce qui implique c = v 0. D'où : v t = g t v 0 Pour remonter enfin à l'ltitude, on refit l même opértion : dns le tbleu on voit que pour une dérivée de type k t, il fut utiliser k t² /. Qunt à v(t), s primitive ser donc - g t² / + v 0 t, et en joutnt une constnte h 0, on trouve : h(t) = - g t²/ + v 0 t + h 0 ou : h t = g t v 0 t h 0 On retrouve bien ici l formule de l huteur h prcourue lors d une chute libre. Pge /7

Comment, à prtir de cette ccélértion (ppelée g et de vleur à peu près égle à 9,8m/s² à l surfce de l terre), peut-on retrouver l formule donnnt l vitesse d un objet en chute libre?

2 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 4 : Les Primitives Remrquons que h 0 ser ici l'ltitude à l instnt zéro. Le même cheminement se fit courmment en physique, prce que les lois de l physique portent le plus souvent sur des dérivées de grndeurs. En électricité, vec un condensteur "prfit" on i t =C B) Définition et propriété du t dt. ) Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I de R. On ppelle primitive F de f sur I, toute fonction dont l dérivée sur I est f. ) Théorème Soit f une fonction définie sur I R et F 0 (x) une fonction primitive de f sur I. Alors, l ensemble des fonctions primitives de f sur I ser l ensemble des fonctions de l forme F x =F 0 x vec c constnte de R. C) Recherche des primitives d une fonction ) En inversnt le tbleu des dérivées usuelles, on obtient : Fonction définie sur Fonction Primitive Primitive définie sur R f x =0 F x =c R R f x =, 0 F x =x R R f x = x n F x = xn n R * = R \ {0} f x = x F x = x R * = R \ {0} R * = R \ {0} f x =, n> F x = x n n x n R * = R \ {0} ]0 ; ] f x = x F x = x [0; ] R f x =cos x F x =sin x R R f x =sin x F x = cos x R ] π ; π [ f x = cos x = tn x F x =tn x ] π ; π [ R Pge /7

En électricité, vec un condensteur "prfit" on i t =C B) Définition et propriété du t dt. ) Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I de R.

3 Exemples Trouver les primitives de : ) f(x) = x 7 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 4 : Les Primitives b) f x = x 4 c) f(x) = sin(x) d) f(x) = cos(x) Cs spécil : On vu dns le tbleu que pour primitive de x x n, il fut voir n > : on verr dns l chpitre sur les logrithmes que l est ln(x), logrithme népérien de x. ) Opértions sur les primitives ) Produit pr une constnte Si l primitive de f(x) est F(x) + c, celle de k f(x) ser k F(x) + c. Remrquons qu'il est inutile de multiplier le c pr k. Exemples : Primitives de :. f(x) = 5 x F x =5 x 5. f(x) = 4 x 5 F x =4 x6 x6 = 6. f(x) = sin(x) F(x) = - cos(x) + c b) Somme de deux fonctions De même que l dérivée d une somme est l somme des dérivées ((u + v) = u + v ), les primitives d une somme sont les sommes des primitives on ne mettr qu'une fois le "+ c"). Exemples : Primitives de : I) x² + x + x + x² + x + c II) 5x x 4 5 x x III) x x x IV) 6x cos x x² - sin x + c V) cos x x 7 sin x x8 8 c) Primitives et fonctions composées En prtnt de l formule générle qui donne comme dérivée de u(v(x)) l fonction v'(x) u'(v(x)), donc de l primitive de v' u'(v) qui est u(v) + c, on trouve les cs prticuliers importnts suivnts : Pge /7

) Opértions sur les primitives ) Produit pr une constnte Si l primitive de f(x) est F(x) + c, celle de k f(x) ser k F(x) + c. Remrquons qu'il est inutile de multiplier le c pr k.

4 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 4 : Les Primitives Fonction f(x) = Primitive F(x) = u'(x + b) sin(x + b) cos(x + b) u'(x) (u(x)) n u ' x u x n n > u ' x u x u ' x u x x b u x b cos x b sin x b u x n n n u x n u x ln(u(x)) + c ln x b Exemples I) sin (x + ) cos x 5 x II) 5(5x )² III)sin(x) cos (x) cos4 x 4 tn x IV) cos x cos x x 5 V) x x 5x 5x VI) ln x x d) Primitive prennt une vleur donnée en un point Soit une fonction f, dérivble sur I, un nombre x 0 de I et un réel y 0. Théorème : Il existe une unique fonction F 0 qui soit primitive de f et prenne l vleur y 0 en x 0 (F 0 (x 0 ) = y 0 ). En prtique, soit F l forme générle des primitives de f, soit F(x) = F (x) + c, pour trouver F 0 telle que F 0 (x 0 ) = y 0 et F 0 (x) = f(x), on fit : F 0 (x) = F (x) + c et F 0 (x 0 ) = y 0 = F (x 0 ) + c, donc c = y 0 F (x 0 ) F(x) = x² - x + Trouver l primitive de f prennt l vleur 7 pour x = 6 Pge 4/7

donnée en un point Soit une fonction f, dérivble sur I, un nombre x 0 de I et un réel y 0.

5 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 4 : Les Primitives Solution : F x = x x x et F(6) = c = 7 d où c = - 85 F x = x x x 85 ) Recherche de primitives ) Fisbilité On ne peut ps toujours trouver fcilement les primitives d une fonction, en prticulier qund on ffire à des produits ou des quotients. Prfois, on peut y rriver vec les tbleux ci-dessus, prfois ce n'est ps suffisnt. Dns certins cs, on peut lors y rriver en chngent l forme de l fonction. Nous llons étudier quelques cs de ce genre. b) Polynômes trigonométriques On les formules cos x = os x et sin cos x x =. Plus générlement, les formules de Moivre permettent de "linériser" les puissnces des sinus et cosinus, c'est à dire à fire disprître ces puissnces en utilisnt des combinisons de sin(nx) et cos(nx). On peut donc trnsformer toutes les puissnces de cos(x) et sin(x) en sinus ou cosinus de multiples de x, plus fciles à intégrer, c'est à dire qu'il est plus fcile d'en trouver les primitives. Exemples : ) f(x) = 6sin²x f(x) = cos(x) d'où F x =x sin x ) f(x) = 4cos 4 x f(x) = ( + cos(x))² = + 4 cosx + cos²(x) f(x) = + 4 cos(x) + + cos(4x) = + 4 cos(x) + cos(4x) sin 4 x F x =x sin x 4 Remrque : Pour les puissnces impires, on peut ussi utiliser u' u n en se servnt de cos² x + sin² x = f(x) = sin (x) + sin 5 (x) f(x) = sin(x) ( cos²(x)) + sin(x) ( cos²(x))² f(x) = sin(x) sin(x) cos²(x) + sin(x) ( cos²(x) + cos 4 (x)) f(x) = 4 sin(x) 7 sin(x) cos²(x) + sin(x) cos 4 (x) D'où cette fois l primitive : F x = 4 cos x 7 cos x cos5 x 5 c) Avec les formules du tbleu des fonctions composées Qund on peut fire pprître u' u n, u' u n, u ' u et u' u, on peut trouver des primitives. Pge 5/7

Dns certins cs, on peut lors y rriver en chngent l forme de l fonction. Nous llons étudier quelques cs de ce genre. b) Polynômes trigonométriques On les formules cos x = os x et sin cos x x =.

6 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 4 : Les Primitives Trouver les primitives des fonctions suivntes : I) f(x) = (x + ) (x² + 6x 7)² F x = x 6 x 7 8 II) f(x) = (0x 4 + 6) (x 5 + x + ) F(x) = (x 4 + x + )² + c III) f(x) = sin(x) cos 7 (x) F x = cos8 x 8 IV) f x = x F x = x 4 8 x 4 V) f x = x 4 x F x = 4 x VI) f x = 0x4 6 x 5 x d) Fonctions rtionnelles F x =ln x 5 x Il existe un moyen générl de trnsformer les fonctions rtionnelles de fçon à pouvoir en trouver les primitives. Nous ne prlerons ici que de quelques cs simples. er cs : f x = x b c x d Soir pr exemple f x = x x x 4 7 On ur f x = = x 7 7 = x x x D'où l primitive qui ser : F(x) = x 7 ln(x + ) + c Trouver l primitive de f x = 4 x 6 x On ur f x = 4 x 8 x = x 8 = 8 x x On trouve donc finlement F x = x 8 ln x = x 4 ln x ème cs : x bx d x e On sit qu'on peut toujours mettre ce genre de fonction sous l forme f x = ' x b' c' d x e. On procède soit pr division polynomile, soit pr identifiction des numérteurs en écrivnt f(x) sous ses deux formes et en réduisnt u même dénominteur. Le pssge à l primitive est lors isé. Trouver l forme générle des primitives de f x = x 7 x x On trouve d'bord f x =x 9x =x 9 x x Et on en déduit fcilement l primitive générle : F(x) = x² 9 x + ln(x + ) + c Pge 6/7

de trnsformer les fonctions rtionnelles de fçon à pouvoir en trouver les primitives. Nous ne prlerons ici que de quelques cs simples.

7 Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 4 : Les Primitives Les primitives Fiche de révision Primitives des fonctions usuelles f(x) définie sur Fonction f(x) = Primitive F(x) = F(x) définie sur R 0 c R R ( vec 0) x + c R R x n x n+ R * = R \ {0} R * = R \ {0} ]0 ; ] x vec n> n x x n+ +c R x +c R * = R \ {0} (n ) x n +c R * = R \ {0} x+c [0; ] R cos( x) sin( x)+c R R sin( x) cos( x)+c R ] π ; π [ cos ( x) = +tn ( x) tn( x )+c ] π ; π [ Primitives de fonctions composées Fonction f(x) = u v (u) Primitive F(x) = v(u) sin( x +b) - cos( x +b)+c cos( x+b) sin( x+b)+c u ' (x) (u( x)) n (u (x )) n+ +c n+ u ' ( x) (u (x )) n (pour n > ) u '( x) u ( x) u ' ( x ) u (x ) x+b (n )(u( x )) n +c u( x)+c ln(u (x))+c ln( x+b) +c Pge 7/7

R R sin( x) cos( x)+c R ] π ; π [ cos ( x) = +tn ( x) tn( x )+c ] π ; π [ Primitives de fonctions composées Fonction f(x) = u v (u) Primitive F(x) = v(u) sin( x +b) - cos( x +b)+c

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