Couleur Effectif Grise 18 Blanche 7 Bleue 5 Rouge 2 32 (total)

Transcription

1 I. Définir t rprésntr un séri statistiqu 1. Vocabulair Population La population st un nsmbl d prsonns ou d'objts, applés individus, sur lsquls port l étud statistiqu. Par xmpl, ls élèvs d la class d scond. Caractèr L caractèr d un séri statistiqu st la propriété étudié sur chaqu individu. Il st dit :! qualitatif Lorsqu il n prnd pas qu ds valurs numériqus : la coulur ds yux ds élèvs d la class.! Quantitatif discrt Lorsqu il n prnd qu un nombr fini d valurs numériqus : nombr d frèrs t sœurs ds élèvs d scond.! Quantitatif continu Lorsqu il put prndr un infinité d valurs numériqus : salairs ds mployés d un ntrpris.. Effctifs t fréquncs L'ffctif d'un valur st l nombr d'individus d la population prnant ctt valur. La fréqunc d'un valur st l quotint d l'ffctif d ctt valur par l'ffctif total. ffctif d la valur Ainsi on a : fréqunc d'un valur =. ffctif total Exmpl Sur un parking, on étudi la coulur ds voiturs. L caractèr étudié st qualitatif. La distribution ds ffctifs st donné dans l tablau ci-dssous : Coulur Effctif Gris 18 Blanch 7 Blu 5 Roug 3 (total) L'ffctif d la valur gris st 18. La fréqunc d la valur gris st 18 = Ctt fréqunc vaut aussi 0,565 ou 56,5 %. 1

2 3. Effctif cumulé croissant L'ffctif cumulé croissant (cc.) d'un valur st la somm ds ffctifs ds valurs qui lui sont infériurs ou égals. On définit d mêm la fréqunc cumulé croissant. Exmpl Dans un villag, on a dénombré ls foyrs slon lur nombr d'nfants. On a consigné ls résultats dans l tablau ci-dssous : Nombr d'nfants Nombr d foyrs Effctif cumulé croissant Dans c tablau, on lit qu 38 foyrs ont nfants. D plus, on lit qu 150 foyrs ont au plus nfants. À partir ds ffctifs, on put drssr l tablau ds fréquncs. Nombr d'nfants Fréqunc 0,34 0, 0,19 0,14 0,07 0,04 Fréqunc cumulé croissant 0,34 0,56 0,75 0,89 0,96 1 Dans c tablau, on lit qu 14 % ds foyrs ont 3 nfants. D plus on lit qu 89 % ds foyrs ont au plus 3 nfants. 4. Rprésntation d un séri statistiqu Slon l typ d caractèr, on utilis différnts rprésntations graphiqus : Caractèr quantitatif Tout typ d caractèr Caractèr quantitatif continu discrt ou qualitatif Diagramm n bâtons Diagramm circulair Histogramm

3 Exrcic 1 Un cntr animalir a réprtorié l nombr d chatons nés sur 50 portés : nombr d chatons Fréqunc 0,04 0,14 0, 0,16 0,4 0,14 0,06 1. Calculr ls fréquncs cumulés croissants d ctt séri.. Qul st, n pourcntag, l nombr d portés qui comptnt au plus 5 chatons? 3. Rprésntr la séri dans un diagramm circulair. Exrcic Un nquêt sur l tmps d travail prsonnl quotidin ds élèvs n class d scond d'un lycé a donné ls résultats ci-dssous : tmps d travail n hurs Effctif 0;1 40 [ [ [ 1; [ 95 [ ;3 [ 86 [ 3; 4 [ 4 [ 4;5 [ 5 1. Calculr ls fréquncs, ls fréquncs cumulés décroissants.. En déduir l pourcntag d'élèvs qui travaillnt plus d hurs par jour. 3. Rprésntr graphiqumnt ls fréquncs cumulés décroissants. Solution 3

4 II. Paramètrs d'un séri statistiqu 1. La moynn On considèr un séri statistiqu dont ls valurs d caractèr sont x1, x,..., x p t ls ffctifs associés : n1, n,..., n p. La moynn d ctt séri statistiqu, noté x, a pour valur : n1 x1+ n x +... np xp x = n + n n 1 Si on not f i la fréqunc d la valur x i alors : Rmarqu x= f1x1+ fx +... fpxp Lorsqu l caractèr st continu, pour calculr la moynn on utilis l cntr ds classs.. La médian La médian d'un séri statistiqu st l nombr noté M, tl qu : 50 % au moins ds individus ont un valur du caractèr infériur ou égal à M. 50 % au moins ds individus ont un valur supériur ou égal à M. Méthod On rang d'abord la séri d n valurs par ordr croissant ds valurs : n + 1 Si l ffctif n st impair, la médian st la valur d la séri d rang. Si l ffctif n st pair, on prnd comm médian la moynn ds valurs d rang n t Exmpls n + 1. p 1;1;3;5;5; 8;9;9;9; 10;11. Il y a 11 valurs ( = 6 ) M 8 = x =. 6 1;1;1;3;5;7;8;8;8;8;11;11. Il y a 1 valurs ( 1 = 6 ) M = x 6 + x 7 = = 7,5. 4

5 Exrcic 3 On étudi l'âg ds profssurs d collèg : - Collèg A : 30 ; 8 ; 47 ; 30 ; 44 ; 60 ; 50 ; 6 ; 9 ; 37 ; 30 ; 9 ; 58 ; 59 ; 8. - Collèg B : 35 ; 37 ; 50 ; 4 ; 4 ; 4 ; 36 ; 5 ; 43 ; 7 ; 55 ; 49 ; 41 ; 4 ; 39 ; Calculr la moynn d'âg ds profssurs du collèg A, puis du collèg B.. Détrminr la valur médian d l'âg ds profssurs du collèg A, puis du collèg B. 3. Dans qul collèg ls profssurs sont majoritairmnt plus juns? Rmarqu Lorsqu l caractèr st quantitatif continu, la médian corrspond la valur du caractèr ayant un fréqunc cumulé croissant d 0,5. Exrcic 4 Un magasin d chaussurs a rlvé l montant ds achats d chaqu clint sur un smain. Dépns (n ) ] 0;40 [ [ 40;80 [ [ 80;100 [ [ 100;00 ] Effctif Calculr la dépns moynn ds clints.. Calculr ls fréquncs t ls fréquncs cumulés croissants. Rtrouvr la moynn. 3. Fair l graphiqu ds fréquncs cumulés croissants. En déduir la médian. Solution : x = 63,10 On lit sur l graphiqu M = Ls quartils L prmir quartil st la plus ptit valur d la séri statistiqu tll qu'au moins 5 % ds donnés soint infériurs ou égals à ctt valur. Il s not Q 1. L troisièm quartil st la plus ptit valur d la séri statistiqu tll qu'au moins 75 % ds donnés soint infériurs ou égals à ctt valur. Il s not Q. 3 5

6 Méthod On rang d'abord la séri d n valurs par ordr croissant ds valurs : l rang du prmir quartil st 0,5 ffctif total, arrondi si nécssair toujours par xcès. l rang du troisièm quartil st 0,75 ffctif total, arrondi si nécssair toujours par xcès. 4. Ls indicaturs d disprsions L étndu d un séri statistiqu st la différnc ntr la plus grand t la plus ptit valur d ctt séri. L intrvall[ Q; Q ] st applé intrvall intrquartil. 1 3 L'écart Q3 Q st applé l écart intrquartil. 1 Exrcic 5 On rlèv ls dépnss d 15 clints d'un magasin lors d'un journé sans promotion : 10 ; 18 ; 11 ; 40 ; 14 ; 15 ; 67 ; 0 ; 7 ; 7 ; 34 ; 4 ; 44 ; 51 ; Qul st l'étndu d la séri?. Détrminr l'intrvall intrquartil. Exrcic 6 On s'intérss à la séri statistiqu suivant : valur du caractèr [ 5;10 [ [ 10;15 [ [ 15;0 [ [ 0;30 [ Effctif Fair l graphiqu ds fréquncs cumulés croissants.. En déduir l intrvall intrquartil. (RéponsQ 1 = 1, Q 3 = 5). 6

7 III. Echantillonnag Il st parfois impossibl ou trop coûtux d rcuillir ds donnés sur l nsmbl d un population. On étudi alors un échantillon d ctt population à l aid d un sondag. 1. Fluctuation d échantillonnag Echantillon Lancr 100 fois un dé t notr la list ds résultats obtnus. Prélvr 100 ampouls d un chaîn d fabrication. La tstr, puis notr à chaqu fois si ll st conform ou non. Intrrogr 100 prsonns au hasard t notr à chaqu fois lur coulur préféré. Cs 3 situations consistnt à notr ls résultats obtnus n répétant 100 fois, d manièr indépndant, la mêm xpérinc. On dit qu on a constitué, à chaqu fois, un échantillon d taill 100. Lorsqu on étudi un parti d la population, on dit qu on étudi un échantillon. L nombr d individus formant l échantillon st applé taill d l échantillon. Echantillon d Brnoulli On appll épruv d Brnoulli un xpérinc qui n a qu dux issus possibls : l succès ou l échc. Exmpls Obtnir pil ou fac, répondr oui ou non un sondag, gagnr ou prdr à un ju. Intrvall d fluctuation On étudi un échantillon d épruvs d Brnoulli, t on s intérss à l un ds dux issus «succès». On not p la probabilité qu ll s réalis. Propriété Si on analys un grand nombr d échantillons ( n 5 ), t qu l on obsrv à chaqu fois la fréqunc d apparition f d l issu choisi, on s aprçoit qu pour un probabilité p compris ntr 0, t 0,8, au moins 95 % ds fréquncs appartinnnt à l intrvall I = p 1 n ; p + 1 n, applr intrvall d fluctuation. 7

8 Exmpls On lanc un pièc équilibré t on s intérss ou fait obtnir pil : p = 0,5. Pour 100 échantillons, on a I = [ 0,4;0,6], c Pour 400 échantillons, on a I = [ 0,45;0,55], qui signifi qu dans plus d 95 % ds cas la c qui signifi qu dans plus d 95 % ds cas fréqunc d apparition du pil st compris la fréqunc d apparition du pil st ntr 0,4 t 0,6. compris ntr 0,45 t 0,55. Pris d décision Si f I, on accpt la condition fait sur p au suil 0,95. Si f I, on rjtt la condition fait sur p au suil 0,95. Exrcics 7 Au Casino Cartouch, sur 500 lancrs d dé, 1150 ont donné un nombr pair. Ls dés smblnt-ils truqués? Répons : I = 0, 48;0,5 [ ], f = 0,46 I, un nquêt s impos. Exrcics 8 Ls mployés d'un ntrpris doivnt êtr consultés sur la nouvll coulur du sigl d l'ntrpris : vrt ou roug. Inquièt du résultat, la dirction, qui a fait campagn pour l roug, a intrrogé un échantillon d 100 mployés sur lur choix t 54 % ont répondu roug. Qu put-on n conclur? Répons : p 0,44;0,64 [ ], on n put rin conclur). Exrcics 9 On souhait savoir si un ntrpris xrc un discrimination à l mbauch vis-à-vis du prsonnl féminin. S il n y a pas d discrimination, la proportion d fmms dans ctt ntrpris dvrait êtr rprésntativ d la proportion d fmms dans la population activ. On admt qu la proportion d fmms dans la population activ st 0,5. 1. En utilisant l intrvall d fluctuation au suil 0,95, détrminr si un ntrpris contnant 1183 fmms sur 540 salariés xrc un discrimination à l égard ds fmms.. Qul doit êtr l nombr minimal d fmms dans ctt ntrpris pour qu la proportion p d fmms appartinn à l intrval1 d fluctuation? Répons : 1. I = 0,48;0,5 [ ], f = 0,466 I.. On vut qu f 0,48 cad x 0,48, d où x