EQUATIONS DIFFERENTIELLES 4 ème Mathématiques

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1 EQUATIONS DIFFERENTIELLES 4 ème Mathématiques Exercice 1 Résoudre dans R les équations différentielles suivantes : 1) 2 = 0 2) = 0 3) = 0 4) = 0 5) = 0 6) = 0. Exercice 2 Soit l équation différentielle : = + 3 1) Résoudre l équation différentielle = 0. 2) Soit = + +, déterminer les réels, et tel que soit solution de. 3) Montrer que est solution de si et seulement si est solution de. 4) En déduire les solutions de. Exercice 3 On considère l équation différentielle : = 1. 1) Soit la fonction définie sur R par : = + +. Déterminer les réels, et pour que soit une solution de l équation. 2) Déterminer les solutions de l équation différentielle : = 0. 3) Montrer que est une solution de si et seulement si est une solution de. 4) Déterminer alors les solutions de. Exercice 4 Soit l équation différentielle : + 2 = 5cos 1) Résoudre l équation différentielle : + 2 = 0. 2) Soit = cos + sin. Déterminer les réels et pour que soit une solution de l équation. 3) Montrer que est une solution de si et seulement si est une solution de. 4) En déduire les solutions de. Exercice 5 Soit l équation différentielle : + =. 1) Résoudre l équation différentielle : + = 0. 2) Soit la fonction = + où et sont deux réels. Déterminer et pour que g soit une solution de. 3) a) Montrer que est une solution de si et seulement si est une solution de. b) Expliciter sachant que $ % courbe représentative de dans un repère orthonormé &,'(,)(. passe &. * Calculer 1 2 Kooli Mohamed Hechmi

2 Exercice 6 1) Résoudre les équations différentielles : ln2ln2 et : E 0 2) On donne ci-dessous les représentations graphiques de deux fonctions et solutions respectivement des équations et. a) Reconnaitre la courbe de et celle de. b) Expliciter et. 3) Calculer l aire 3 de la partie du plan colorée sur la figure 2. Exercice 7 fig 1 On considère l équation différentielle : 1) a) Résoudre l équation 4. b) Vérifier que la solution de l équation différentielle 4 telle que 000 est : : :;< 2) Aux bornes d une bobine de résistance? (exprimé en ohms) et d inductance G (exprimée en henrys), on branche, à l instant =0, un générateur de force électromotrice (exprimée en volts). L unité de temps est la seconde. L intensité du courant dans le circuit (exprimé en ampères ) est une fonction dérivable du temps, notée >.A l instant t=0 l intensité est nulle. Au cours de l établissement du courant, la fonction > est solution de l équation différentielle : G>?> Dans toute la suite, on prend?5,g ;,3. a) Déduire des questions précédentes l expression de >= pour =H0. b) Déterminer lim A C >= Exercice 8 A l instant =0 ( t exprimé en heures ) un médecin injecte à un patient une dose de 1.4I d une substance médicamenteuse qui n est pas présente dans le sang. Cette substance se répartit instantanément dans le sang, ensuite elle est progressivement éliminée. On note D= la quantité de substance (en ) présente dans le sang à l instant =, On admet que la fonction D:= D= vérifie l équation différentielle : ) Résoudre l équation. 2) a) Justifier que D=1,49 :.;;8 ;;8A ; = H 0 fig 2 4 : 10 6 où désigne une fonction dérivable sur IR. = H0.

3 b) Donner le sens de variation de la fonction D. c) Résoudre dans J0,+ J l équation D= = 0.7 ; la solution sera arrondie à l unité. 3) Pour une efficacité optimale de ce médicament, sa quantité présente dans le sang doit être comprise entre 0.7 I et 1.4I. Expliquer pourquoi le médecin prescrit à ce patient une injection de 0.7I chaque six heures. Exercice 9 1) Résoudre l équation différentielle + = 0 2) Soit l ensemble des fonctions définies et deux fois dérivables sur R telles que pour tout M? ; + N O P = 0 où désigne la fonction dérivée de. a) Soit la fonction définie sur M? par = cos. Vérifier que est un élément de. b) Soit un élément de. Vérifier que, pour tout réel, = N O P c) En déduire que si est un élément de alors est une solution de l équation différentielle : + = 0. d) Déterminer alors l ensemble. Exercice 10 1) Résoudre dans R l équation différentielle :9 + E = 0. 2) On désigne par la solution particulière de et soit $ % sa représentation graphique dans un repère orthonormé &,'(,)(. Déterminer sachant que le point 4Q1, 2S $ % et que $ % admet au point 4 une tangente parallèle à l axe des abscisses. 3) Montrer que pour tout réel, = 2cosT O + 2U. 7 4) Calculer la valeur moyenne de sur l intervalle J 2, 1V. Exercice 11 Soit la fonction définie sur R par : = + 29 :< et soit $ % sa représentation graphique dans un repère orthonormé &,'(,)(. 1) Soit l équation différentielle : + = 9 :< et h la solution de qui prend la valeur 2 en 0. On pose = h 9 :<. a) Calculer 0. b) Vérifier que est une solution sur R de l équation + = 0. c) Expliciter alors pour tout R et en déduire que R ; h =. 2) soit Y la fonction définie sur R par Y = ; N +5 + ;7 P9:<. a) Montrer que Y est dérivable sur R et calculer Y. b) En déduire le volume Z en unité de volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l axe des abscisses de la partie de $ % pour 2 0

4 Exercice 12 Soit l équation différentielle : 9 < + 1 = 0. On pose \ = 9 < 1. 1) a) Montrer que \ vérifie l équation différentielle :\ = \. b) Déterminer alors \ en fonction de. 2) Déduire que la fonction définie sur R par : = 19 < + 1 est la solution de qui vérifie 0 = 0. 3) Soit $ la courbe représentative de dans en repère orthonormé &,'(,)(. a) Calculer lim et déduire une asymptote à $. < :] b) Etudier la position relative de la courbe $ par rapport à son asymptote. c) Calculer lim et étudier la branche infinie de $ au voisinage de +. < C] 4) a) Vérifier, en utilisant la question 2, que pour tout réel on a : 1 = 9 <. b) Calculer l aire 3 de la partie du plan limitée par la courbe $, la droite et les droites d équations = 0 et = 1. Exercice 13 Soit l équation différentielle : 2 = 29 < 1. 1) Résoudre dans R l équation différentielle : 2 = 0 2) Montrer que la fonction h définie sur R par h = 29 < + 1 est une solution de. 3) Soit une fonction dérivable sur R. a Montrer que est une solution de si et seulement si h est une solution de. b) En déduire les solutions de. 4) Soit la solution de qui s annule en 0 et soit $` sa représentation graphique dans un repère orthonormé &,'(,)(. a) Expliciter. b) Calculer N ; P et montrer que pour tout ; on a : 1. 5) Calculer l aire 3 de la partie du plan limitée par la courbe $`, l axe des abscisses et les droites d équations = 0, = ; et = 1. Exercice 14 Soit l équation différentielle : + 3 = 10cos 1) Résoudre l équation différentielle : +3 = 0. 2) Vérifier que la fonction définie sur R par = 3cos + sin est une solution de 3) Montrer que est une solution de si et seulement si est une solution de. 4) Déterminer alors la solution de l équation tel que 0 = 4. 5) Déduire une solution de l équation ; +3 = 10cos. Exercice 15 On se propose de résoudre l équation différentielle : = abc ;Ca c

5 1) Déterminer la solution de l équation : 0 qui prend la valeur 1 en 0. 2) Soit et deux fonctions dérivables sur R tel que 0 ln 2 et 9 <. a) Calculer 0. b) Calculer en fonction de et de. 3) a) Montrer que est une solution de si et seulement si ac b) En déduire l expression de puis celle de de telle sorte que soit une solution de. Exercice 16 Soit la fonction définie sur R par : d 9:< 39 :7< et soit $ % sa représentation graphique dans un repère orthonormé &,'(,)(. ;Ca c On considère les équations différentielles : : 239 :7< et 1) a) Résoudre l équation différentielle. 20. b) En déduire que la fonction W définie sur R par : W d 9:< est solution de. c) Vérifier que la fonction définie sur R par : 39 :7< est solution de. 2) a) En remarquant que W, montrer que est solution de. b) Montrer que R ; 39 :< N 7 9:< P. c) Dresser le tableau de variation de. 3) a) Déterminer l intersection de $ % avec les axes du repère. b) Calculer 1 et tracer l allure de la courbe $ %. 4) Calculer l aire 3 de la partie du plan limité par $ %, les axes du repère et la droite d équation 1. Exercice 17 On considère les équations différentielles C : 30 et 3 et la courbe C ci-contre contre d une solution de définie sur M?. 1) Résoudre l équation. 2) Vérifier que la fonction définie par 9 <C; est une solution de. 3) Montrer que est une solution de si et seulement si est une solution de. 4) En déduire les solutions de. 5) a) Expliciter alors. b) Calculer l aire 3 de la partie du plan colorée sur la figure. Exercice 18 On considère les fonctions dérivables sur R,, admettant une dérivée seconde et vérifiant : 00 ; 01 et R : ) On pose R : 9 <. a) Calculer 0 et 0 9 <C; b) Montrer que admet sur R une dérivée seconde et que R :.

6 c) En déduire que est solution de l équation différentielle : 1 d) Exprimer alors en fonction de. 2) Montrer qu il existe une et une seule fonction vérifiant les hypothèses de l exercice et expliciter. Exercice 19 Soit l équation différentielle : ac V0, J b et la courbe C ci-contre contre d une solution de définie sur V0, J < 1) a) Résoudre l équation différentielle : 0 C b) On donne V0, J <C; Montrer que est une solution de 2) Montrer que est solution de si et seulement si est une solution de. 3) En déduire les solutions de sur V0, J 4) Expliciter alors. Exercice 20 On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l'intervalle V0, J vérifiant l'équation différentielle ) a) Démontrer que si est solution de alors la fonction définie sur l'intervalle V0, J par : = %< < est solution de l'équation différentielle : 2 8. b) Montrer que si h est solution de alors la fonction définie par W est solution de (E). 2) Résoudre et en déduire toutes les solutions de 3) Existe-t-il une fonction solution de l'équation différentielle dont la représentation graphique dans un repère donné &,'(,)( passe par le point 4ln2,0? Si oui la préciser. Exercice 21 On considère les équations différentielles : :1 9 < 0 et :1 1 9 < 9 < 1) Soit la fonction définie sur M? 2) Soit une fonction dérivable sur M?. Montrer que est une solution de si est seulement si est une solution de. 3) On pose \1 9 < a) Montrer que si est une solution de sur M? alors \ est une solution d une équation différentielle que l on précisera. < 9<. b) En déduire que les solutions de sur M? sont les fonctions définies par : fac Ca bc ; g M?. ;Ca c 4) Soit la fonction définie par : abc :7a c Etudier les variations de. c 5) Soit W la restriction de à l intervalle J0, J. par : abc ;Cac Montrer que est une solution de sur M?. ;Ca

7 a) Montrer que W réalise une bijection de J0,+ J sur un intervalle h que l on précisera. b) Soit h :; la fonction réciproque de h, expliciter h :; pour tout h. 6) a) Tracer dans le même repère orthonormé &,'(,)( les courbes de et de h :;. b Calculer 1 lnn3 + + j P2 :; Kooli Mohamed Hechmi

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