Equations différentielles

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1 Equaions différenielles Généraliés Une équaion différenielle es une relaion enre une variable réelle (par eemple ), une foncion qui dépend de cee variable (par eemple y) e un cerain nombre de ses dérivées successives Lorsque la dérivée de plus hau degré de la foncion (qui apparaî réellemen) es la n ième (n À*), on di que l'équaion différenielle es d'ordre n Eemples yy" = y' es une équaion différenielle d'ordre où y es une foncion de la variable On peu aussi l'écrire y = y y " ' + = es une équaion différenielle d'ordre où es une foncion de la variable ' + = es une équaion différenielle d'ordre où es une foncion de la variable s Une équaion différenielle d'ordre n peu donc s'écrire sous la forme : φ(,y,y',y",,y (n) ) = 0 ou encore φ(,y(),y'(),y"(),,y (n) ()) = 0 où y es donc une foncion qui dépend de e φ es une foncion des n + variables,y,y',y",,y (n) Nous nous inéresserons au foncions y à valeurs dans Á ou  dy Il nous arrivera de renconrer à la place de y' e nous pourrons avoir des équaions de la forme d d = y dy Résoudre (ou inégrer) une équaion différenielle φ(,y,y',y",,y (n) ) = 0 sur un inervalle I de Á ou Á ou enier, c'es rouver oues les foncions f elles que : a f soi n fois dérivable sur I b I, φ(,f(),f'(),f"(),,f (n) ()) = 0 Une foncion qui vérifie les condiions (a) e (b) es appelée soluion (ou inégrale) pariculière de l'équaion différenielle e sa courbe représenaive es appelée courbe inégrale de l'équaion différenielle On appelle soluion (ou inégrale) générale de l'équaion l'ensemble de oues les foncion soluions On appelle courbes inégrales d'une équaion différenielle l'ensemble des courbes représenaives de oues les soluions de cee équaion différenielle Francis Wlazinski

2 s En praique, on suppose souven que I es un inervalle ouver de Á Si Id I désigne l'applicaion idenié de Á resrein à I, on peu aussi écrire φ(id I,y,y',y",,y (n) ) = 0 où 0 designe la foncion nulle sur I Dans cerains cas, à parir de la soluion générale d'une équaion différenielle, on peu rechercher une soluion pariculière saisfaisan à ceraines condiions appelées condiions iniiales En général, ces condiions concernen les valeurs prises par la foncion ou ceraines dérivées en une valeur 0 Eemples La foncion f définie sur Á par f() = es une soluion pariculière de l'équaion différenielle y" + y' 5y = 3 Les courbes inégrales de l'équaion différenielle y" = 0 son les droies du plan non parallèles à l'ae des ordonnées y = ˆ d = es la soluion pariculière de l'équaion différenielle y' = qui vérifie la condiion iniiale y() = 0 Une foncion f définie sur I es die une soluion maimale d'une équaion différenielle (E) s'il n'eise pas d'inervalle J Š I e de foncion g elle que g I = f qui soi aussi soluion de (E) On appelle équaion simplifiée oue équaion différenielle qui peu se mere sous la forme φ(,y (n) ) = 0 Méhode de résoluion Si on peu mere l'équaion sous la forme y (n) = g() alors il suffi d'inégrer n fois la foncion g E : On cherche à résoudre l'équaion différenielle y' = 0 A priori, cee équaion es définie sur Á Touefois, si = 0, alors aucune foncion ne convien On peu donc la résoudre soi sur ] ;0[ soi sur ]0;+ [ Pour simplifier, on prend ]0;+ [ On obien y' = e donc y = ln + a où a Á Les courbes inégrales de l'équaion s'obiennen de celle de ln par une ranslaion parallèlemen à l'ae des ordonnées Equaions différenielles du premier ordre Equaions à variables séparables On appelle équaion à variables séparables oue équaion différenielle qui peu se mere sous la forme a() + b(y)y' = 0 où a e b son des applicaions coninues sur des inervalles à préciser Francis Wlazinski

3 Méhode de résoluion Soien A e B des primiives respecivemen de a e de b sur un inervalle I où a e b son coninues En inégran l'égalié, on obien A() + B(y) = cse Si B adme une applicaion réciproque B, on a y = B ( A() + cse) E : On cherche à résoudre l'équaion différenielle y' = e y Si = 0, alors aucune foncion ne convien On peu donc la résoudre soi sur ] ;0[ soi sur ]0;+ [ On a y'e y = e en inégran e y = + c où c Á Donc y = ln + c où c Á L'ensemble de définiion de la foncion y dépend de c Pour avoir une soluion sur ]0;+ [, il fau que c > 0 Il n'y pas de soluion sur ] ;0[ ou enier, car il fau + c > 0 c'es-à-dire c > 0 e F c ; 0 Il arrivera que l'on ne puisse pas obenir y en foncion de Equaions non linéaires homogènes On appelle équaion homogène oue équaion différenielle qui ne change pas lorsque l'on remplace par λ e y par λy pour ou réel λ y Une équaion homogène peu se mere sous la forme φ(y', ) = 0 e parfois sous la forme y' = F y () Méhode de résoluion Nous nous bornerons au équaions homogènes que l'on peu mere sous la forme () Dans ce cas, on pose y = où es donc une foncion de On obien alors une équaion à variables séparables E : On veu résoudre l'équaion différenielle y' y = + y sur ]0;+ [ On peu mere cee équaion sous la forme () en effe, on a y' = + y + y = + y y + On pose donc y = e y' = ' + (' + ) = + ' + = + ' = + ln + + = ln k où k Á + ou argsh = ln + c où c Á + + = k où k Á + ou argsh = ln k où k Á+ + = k où k Á + ou = eln(k) e ln(k) où k Á+ k + = k k + où k Á + ou = k où k Á+ = k où k Á + k E donc y (= ) = où k Á k k + Francis Wlazinski 3

4 3 Equaions linéaires du premier ordre On appelle équaion linéaire du premier ordre oue équaion différenielle qui peu se mere sous la forme a()y' + b()y + c() = 0 où a,b e c son des applicaions coninues sur des inervalles à préciser L'équaion es die normalisée si a() = () c'es-à-dire si elle es de la forme y' + b()y + c() = 0 Lorsque l'équaion n'es pas normalisée, on peu se ramener à une équaion normalisée en divisan par a() sur ou inervalle où a ne s'annule pas Puis on "raccorde" les soluions suivan l'inervalle demandé Méhodes de résoluion a Equaions linéaires du premier ordre sans second membre Nous nous inéressons dans un premier emps au équaions de la forme y' + b()y = 0 C'es une équaion à variables séparables don la soluion générale es y = ke B() où k Á e B es une primiive de b E : On cherche à résoudre ( + )y' + 4y = 0 sur Á On a y' + 4 y = 0 + Une primiive de es + ln( + ) = ln( + ) D'où la soluion générale es y = ke ln(+ ) où k Á C'es-à-dire y = k où k Á ( + ) b Equaions linéaires du premier ordre avec second membre Soien y e y deu soluions de a()y' + b()y + c() = 0 () On a donc a()y ' + b()y + c() = 0 a()y ' + b()y + c() = 0 D'où a()y ' a()y ' + b()y b()y = 0 a()(y y )' + b()(y y ) = 0 Donc y y es une soluion de l'équaion sans second membre associée : a()y' + b()y = 0 (3) b() ou y' + a() y = 0 (3') sur ou inervalle où a ne s'annule pas D'où la méhode : # On résou d'abord l'équaion (3) # On déermine ensuie une soluion pariculière de () # Les soluions générales de () s'obiennen en ajouan les soluions de (3) e la soluion pariculière rouvée de () Déerminaion de la soluion pariculière de () : Méhode die de la variaion de la consane b() Sur un inervalle où a ne s'annule pas, soi D es une primiive de a() Les soluions de (3') son de la forme y = ke D() où k Á Francis Wlazinski 4

5 On suppose que la soluion pariculière y 0 de () es de la forme y 0 = ke D() où k cee fois-ci es une foncion de c'es-à-dire y 0 = k()e D() b() D'où y' 0 = k'()e D() a() k()e D() b() a()y 0 ' + b()y 0 = a()[k'()e D() a() k()e D() ] + b()k() e D() = a()k'()e D() = c() E donc k'() = c() a() e D() Il suffi de déerminer une primiive F() de c() a() e D() e alors y 0 = F()e D() E : On cherche à résoudre ( + )y y = 3 # L'équaion sans second membre associée (appelée aussi équaion linéaire du premier ordre homogène) es ( + )y y = 0 Elle es définie sur Á Elle es équivalene à y + y = 0 Une primiive de es + ln ( + ) = ln + D'où les soluions de l'équaion sans second membre son y = k + où k Á # Recherche d'une soluion pariculière : On pose y 0 = k() + y' 0 = k'() k() ( + )y 0 y 0 = k () ( + ) k() k() + ( + )y 0 y 0 = k () ( + ) 3 = 3 D'où k () = 3 = 3( + ) 3/ e k() = 3 ( + ) 3 ( ) ( + ) / Enfin y 0 = 3 # Les soluions de l'équaion avec second membre son donc y = k + 3 où k Á 4 Equaions de Bernoulli On appelle équaion de Bernoulli oue équaion différenielle qui peu se mere sous la forme : a()y' + b()y + c()y α = 0 où a,b e c son des applicaions coninues sur des inervalles à préciser e α es un réel fié avec α 0 e α Dans un cadre quelconque, il fau y > 0 Méhode de résoluion y On pose = y α On obien ' = ( α)y'y α = ( α) y a()y' + b()y + c()y α = 0 a() y y + b() y y + c() = 0 a() + b() + c() = 0 On obien donc une équaion linéaire du premier ordre en Francis Wlazinski 5

6 E : On cherche à résoudre y y = 5 y 5 On peu inégrer l'équaion sur ] ;0[ ou sur ]0;+ [ y On a α = 5 On divise par y 5 : y 5 y = 5 4 On pose = y 4 d'où ' = 4y'y 5 On obien c'es-à-dire 4 = 5 + = 0 C'es une équaion linéaire du premier ordre e l'équaion sans second membre es + = 0 Elle es définie sur Á ou Á Une primiive de + es ln( ) D'où les soluions de l'équaion sans second membre son = c où c Á Recherche d'une soluion pariculière : On pose 0 = c() ' 0 = c () c() 3 On obien : = c () c() + 3 D'où c () = 0 4 c() = c () = 0 E c() = 4 5 e 0 = 4 3 La soluion générale es donc = c 4 où c Á On obien donc y = où c Á c Aenion : Ensemble de définiion e soluion maimale 5 Equaions de Ricai On appelle équaion de Ricai oue équaion différenielle qui peu se mere sous la forme : y' = a()y + b()y + c() où a,b e c son des applicaions coninues sur des inervalles à préciser On ne sai résoudre ce ype d'équaion que si l'on connaî déjà une soluion pariculière y Méhode de résoluion On pose y = y + On a y' = y' y' = a()y + b()y + c() y = a() y + + b() y + = a() y + a() + b() + (a()y + b()) = a() avec y ' = a()y + b()y + c() e ne s'annulan pas sur l'inervalle de résoluion + c() On obien une équaion linéaire du premier ordre en E : On cherche à résoudre y = ( )(y ) + y sur ]0;+ [ On peu mere l'équaion sous la forme : y = y + y y = es une soluion pariculière Francis Wlazinski 6

7 On pose y = + où es une foncion qui ne s'annule pas sur ]0;+ [ On a y' = On obien = ( ) = ( ) = ( ) + + = + + = + + = + = La soluion de l'équaion sans second membre es = ce où c Á Une soluion pariculière es 0 = D'où la soluion générale es : = ce où c Á E y = + où k Á ce = + ce = c e + ce = ke + ke Danger : Ensemble de définiion 6 Equaions de Lagrange On appelle équaion de Lagrange oue équaion différenielle qui peu se mere sous la forme : y = f(y') + g(y') où f e g son des applicaions coninûmen dérivables sur des inervalles à préciser Méhode de résoluion y On pose = y' = L'équaion devien y = f() + g() = ()f() + g() y On la dérive par rappor à : '()f() + ()f'() + g'() = y or = y = () Donc () = ()f() + ()f () + g () Equaion que l'on peu considérer comme une équaion linéaire de premier ordre en prenan pour la variable e pour la foncion E : On cherche à résoudre y + y + y = 0 On pose y' = L'équaion devien y = () D'où () () = y e = () () + () = L'équaion sans second membre es + = 0 ou encore + sur ou inervalle où ne = 0 s'annule pas La soluion générale es = ke ln = k = k où k Á On cherche mainenan une soluion pariculière de + = du ype 0 = a + b 0 = a e a + a + b = Francis Wlazinski 7

8 D'où b = 0 e a = C'es-à-dire 3 0 = 3 La soluion générale de () + () = es donc = k avec k Á 3 Or y = = k 3 On a donc y = k avec k Á 3 On obien uniquemen un paramérage des courbes inégrales Il aurai éé plus "inéressan" d'obenir en foncion de 7 Equaions de Clairau On appelle équaion de Clairau oue équaion différenielle qui peu se mere sous la forme : y = y' + f(y') où f es une applicaion coninûmen dérivable sur des inervalles à préciser C'es un cas pariculier des équaions de Lagrange Méhode de résoluion On pose y' = L'équaion devien y = + f() On la dérive par rappor à : y' = ' + + 'f'() = ( es une foncion de ) D'où ' + 'f() = 0 = '( + f'()) # Si ' = 0, alors = c Á D'où y = c + f(c) car y = + f() # Si + f'() = 0 e si f' es inversible, alors = (f') ( ) y E : On cherche à résoudre y = y' + sur ] f;0[ y + On pose y' = L'équaion devien y = + + ( + ) D'où y' = ' + + = ( + ) + ( + ) = 0 # Si ' = 0, alors = c avec c Á D'où y = c + c avec c Á c + # Si + = 0, alors = ( + ) D'où y = + = + = + + Francis Wlazinski 8

9 3 Equaions différenielles linéaires du second ordre à coefficiens consans 3 Equaions sans second membre On appelle équaion différenielle linéaire du second ordre à coefficiens consans sans second membre oue équaion différenielle qui peu se mere sous la forme : (4) ay'' + by' + cy = 0 où a, b e c Á (a 0 sinon nous sommes dans le cas du linéaire premier ordre) s On appelle polynôme caracérisique de l'équaion (4), le polynôme P = ax + bx + c On appelle discriminan de l'équaion (4), le réel = b 4ac On se bornera au foncions réelles Propriéé Avec les noaions précédenes, Si > 0 e si r e r son les racines de P alors les soluions de (4) son de la forme : y = λ e r + µ e r où λ,µ Á Si = 0 e si r es la racine double de P alors les soluions de (4) son de la forme : y = (λ + µ) e r où λ,µ Á Si < 0 e si r = α + β i e r = α β i son les racines de P alors les soluions de (4) son de la forme : y = e α ( λcos β + µsin β) où λ,µ Á s E : L'ensemble des soluions d'une équaion linéaire du second ordre à coefficiens consans es un Á-ev de dimension On peu éendre ces résulas quand a,b,c  Dans ce cas, le polynôme caracérisique possède une ou deu racines complees e on obien les résulas correspondans au deu premiers poins On veu résoudre les équaions différenielles suivanes e déerminer la soluion pariculière saisfaisan au condiions iniiales données a y" + y' 3y = 0 y 0 () = e y 0 '() = b y" + 4y' + 4y = 0 y 0 ( ) = e y 0 '( ) = c y" + y' + 5y = 0 y 0 (0) = 0 e y 0 '(0) = a = 6 > 0 r = 3 e r = D'où la soluion générale es y = c e + c e 3 où c e c son des consanes réelles Les condiions iniiales nous amènen au sysème : c e + c e 3 = c e 3c e 3 = D'où c = 0, c = e e y 0 = e Francis Wlazinski 9

10 b = 0 r = D'où la soluion générale es y = (c + c ) e où c e c son des consanes réelles Les condiions iniiales nous amènen au sysème : ( c + c )e = (3c c )e = D'où c = 4, c = 5 e e y 0 = (4 + 5)e e c = 6 < 0 r = + i e r = i D'où la soluion générale es y = e (c cos + c sin ) où c e c son des consanes réelles Les condiions iniiales nous amènen au sysème : c = 0 c = D'où c = 0, c = e y 0 = e sin 3 Equaions avec second membre de ype eponenielle-polynôme On appelle équaion différenielle linéaire du second ordre à coefficiens consans avec second membre de ype eponenielle-polynôme oue équaion différenielle qui peu se mere sous la forme : (5) ay'' + by' + cy = f() où a, b e c  (a 0) e f es une somme de foncions de la forme Q() e m où m  e Q Â[X] Ce ype de foncion f comprend les foncions f rigonomériques e les produis de foncions eponenielles par des foncions cosinus ou sinus Méhode de résoluion De la même façon que les équaions linéaires du premier ordre, si y e y son deu soluions de l'équaion (5) alors y y es soluion de l'équaion sans second membre ay'' + by' + cy = 0 (6) D'où la méhode : # On résou d'abord l'équaion (6) # On déermine ensuie une soluion pariculière y 0 de (5) # Les soluions générales de (5) s'obiennen en ajouan les soluions de (6) e la soluion pariculière rouvée de (5) Déerminaion de la soluion pariculière de (5) Si f() = f () + f () alors une soluion pariculière de (5) es y 0 = y + y avec y une soluion pariculière de ay'' + by' + cy = f () y une soluion pariculière de ay'' + by' + cy = f () Si f() = Q() avec Q polynôme de degré n alors une soluion pariculière de (5) es de la forme y 0 = R() où R es un polynôme de deg R = n si c 0, deg R = n + si c = 0 e b 0, deg R = n + si c = 0 e b = 0 (Cas pariculier du suivan) Francis Wlazinski 0

11 Si f() = Q() e m avec Q polynôme de degré n alors une soluion pariculière de (5) es de la forme y 0 = R() e m avec deg R = n si m n'es pas racine du polynôme caracérisique deg R = n + si m es une racine simple du polynôme caracérisique deg R = n + si m es une racine double du polynôme caracérisique Si nous avons l'équaion ay'' + by' + cy = f() avec f() = Q() alors on peu écrire f() = Q() e 0 P = ax + bx + c 0 n'es pas racine de P P(0) 0 c 0 0 es racine simple de P P(0) = 0 e P'(0) 0 c = 0 e b 0 En posan = y', on obien une équaion linéaire premier ordre 0 es racine double de P P(0) = 0 e P'(0) = 0 c = 0 e b = 0 L'équaion es une équaion simplifiée E : On chercher à résoudre : y'' y' + y = cos = 4 = (i) r = + i e r = i D'où les soluions de l'équaion sans second membre son y = e (λ cos + µ sin ) où λ,µ Á cos = ei e i e donc cos = e i + e i On cherche des soluions pariculières de y'' y' + y = e i e y'' y' + y = e i # i n'es pas soluion de l'équaion caracérisique On cherche une soluion du ype y = k e i k  On a y' = ik e i y'' = k e i y '' y ' + y = ( k ik + k) e i = (k ik) e i = e i D'où k = i = + 5 i # i n'es pas soluion de l'équaion caracérisique On cherche une soluion du ype y = k e i k  On a y' = ik e i y'' = k e i y '' y ' + y = ( k + ik + k) e i = (k + ik) e i = e i D'où k = + i = 5 i y + y = + i e i + i e i = cos 4 sin Les soluions générales son donc e (λ cos + µ sin ) + cos 4 sin où λ,µ Á 5 5 Francis Wlazinski

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