Equations différentielles.

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1 Equaios différills hap : os d cours Equaios différills liéairs d ordr Défiiio : équaio différill liéair d ordr, équaio homogè associé, soluio d u ll équaio différill O appll équaio différill liéair d ordr u équaio du p : E a b c, où a, b, c so ds focios défiis coius d u irvall I d das ou s u focio icou à valurs das ou U soluio d E s u focio ϕ défii sur u sous-irvall J d I, coiu dérivabl sur J, à valurs das ou, ll qu : J, aϕ bϕ c O appll équaio différill homogè ou sas scod mmbr associé à E l équaio : EH a b Théorèm : d auch-lipschiz Soi : E a b c, où a, b, c so rois focios défiis coius d u irvall I d das ou u équaio différill liéair d ordr EH so équaio homogè associé Sur u irvall : J I, où la focio a saul pas, ls soluios d EH so ls focios : b kxp d, où k appari à ou a Ls soluios d EH sur I form doc u K-spac vcoril d dimsio oé S I EH Toujours sur u irvall où a saul pas, ls soluios d E o, lls, pour form : E H, où E s u soluio pariculièr d E, H u soluio qulcoqu d EH Ls soluios d E sur I form doc u spac affi d dimsio oé S I E Exmpl : résoluio d u équaio liéair homogè simpl du prmir ordr Résoudr l équaio différill : EH L équaio proposé s u équaio différill liéair du prmir ordr homogè Ls cofficis so ds focios défiis coius sur, doc o pu ssar d la résoudr sur Mais l héorèm d auch-lipschiz garai ds soluios qu sur * - *, irvalls où l coffici d s aul pas Sur l u d cs irvalls, ls soluios d EH so alors : xp d, avc : u cosa par irvall, sacha qu la valur absolu disparaî puisqu gard u sig cosa sur chaqu irvall, qu o pu «amalgamr» l sig d à la cosa Théorèm : méhod d variaio d la cosa Soi : E a b c, où a, b, c so rois focios défiis coius d u irvall I d das ou u équaio différill liéair d ordr EH so équaio homogè associé Soi u soluio d EH sur u irvall : J I Alors soi s la focio ull, soi ll s aul pas sur J Si s pas la focio ull, si o pos d plus : J, k, où k s u focio icou supposé défii, coiu dérivabl sur J, si a s aul pas sur J, alors s soluio d E sur J si sulm si : c J, k a, après iégraio, cla fouri u soluio pariculièr p d E sur J Ls soluios d E sur J so alors ls focios d la form : J, p, où s la focio soluio d EH précéd, supposé o idiqum ull Exmpl : résoluio d u équaio liéair du prmir ordr avc scod mmbr Résoudr l équaio différill : E O a déjà résolu l équaio homogè associé hapir : Equaios différills Nos d cours - -

2 our résoudr l équaio E, o chrch sous la form : s alors soluio d l équaio si sulm si : * ou - *, O rouv aisi : K, avc : K u cosa par irvall O pu or qu K rdo ls soluios d l équaio homogè associé Fialm, ls soluios so : K, avc dérivabl sur * ou - *, soi :, avc : K u cosa par irvall d éud Théorèm : d auch-lipschiz, vrsio «codiio iiial» Soi : E a b c, où a, b, c so rois focios défiis coius d u irvall I d das ou u équaio différill liéair d ordr EH so équaio homogè associé Soi : J I, u irvall où a s aul pas Alors pour : J, : ou, il xis u uiqu soluio d E sur J ll qu d plus : Exmpl : résoluio d u équaio liéair du prmir ordr avc codiio iiial Si o rprd l équaio précéd, avc la codiio iiial : «problèm d auch» qui s : *, Fialm : *, K, avc : K, o rouv l uiqu soluio pour c, soi la focio défii avc : K Rmarqu : pricip d suprposiio Soi : E a b c, où a, b, c so rois focios défiis coius d u irvall I d das ou u équaio différill liéair d ordr, ll qu : c c c Si so ds soluios rspcivm d : E a b c, : E a b c, sur u irvall : J I, alors s soluio d E sur J Exmpl : résoluio avc applicaio du pricip d suprposiio Soi l équaio différill : E équaio adm ds soluios sur, ls soluios d l équaio homogè associé so :, D plus : a a, avc :, s soluio d :, s soluio d :, sur,, sur, doc : a, s soluio d E sur Fialm, ls soluios d E sur so : a, avc : Théorèm 4 : raccordm d soluios Soi : E a b c, où a, b, c so rois focios défiis coius d u irvall I d das ou u équaio différill liéair d ordr Soi ]α,β[ ]β,γ[ ds irvalls iclus das I sur lsquls a s aul pas ls qu : aβ U focio d ]α,γ[ das ou défii sur ]α,γ[ s soluio d E sur ]α,γ[ si sulm si : la rsricio d à ]α,β[ s soluio d E sur ]α,β[, doc a la form aocé par l h, la rsricio d à ]β,γ[ s soluio d E sur ]β,γ[, doc a la form aocé par l h, adm u limi fii à gauch β, adm u limi fii à droi β, égals à β, la focio s dérivabl β hapir : Equaios différills Nos d cours - -

3 Exmpl : résoluio d u équaio liéair du prmir ordr avc raccordm Si o rprd l équaio précéd, qu o ssai d rouvr u ds soluios sur, u évull soluio sur sra a foriori soluio sur * sur - *, doc vaudra : *, - *, K K, avc : K,, avc : K - U ll focio doi avoir u limi fii êr coiu doc o doi prdr : Das c cas, o a : *, K K La focio aisi rouvé s la sul possibl Réciproqum, c focio s soluio d E sur * - * par cosrucio, adm u limi fii avc par xmpl u dévloppm limié qui vau, la focio aisi prologé s dérivabl sur ll s mêm d class car dévloppabl séri ièr sur Efi, o vérifi qu l prologm cor oé s soluio car : Fialm E adm u uiqu soluio sur, qui s la focio rouvé au-dssus Ssèms différils liéairs d ordr Défiiio : ssèm différil liéair d ordr, ssèm homogè associé, soluio d u l ssèm Soi I u irvall d u ir : O appll ssèm différil liéair d ordr u ssèm du p : x x x a, x a, x b S A B, ou : M A M B, ou : M, x x x a, x a, x b où A u focio maricill d I das M ou M, B u focio maricill d I das M, ou M, u focio icou à valurs das M, ou M, O appll soluio d S u focio défii d u sous-irvall : J I, das M, ou M,, coiu dérivabl sur J ll qu : J, A B O appll ssèm liéair homogè associé à S l ssèm SH : A Rmarqu : u l ssèm s équival à u équaio différill liéair vcorill d ordr du p : E x ax b, où a s u focio d I das LF, b u focio d I das F avc F u K-spac vcoril d dimsio où x s u focio icou d J das F, dérivabl sur J Théorèm : soluios d u ssèm différil homogè d ordr à cofficis cosas Soi I u irvall d u ir : Soi : SH A, u ssèm différil liéair homogè d ordr où A s u maric cosa appara à M ou M Alors l ssèm adm ds soluios sur qui form u - ou -spac vcoril d dimsio E pariculir, pour ou : x,, x ou, ou :, il xis u uiqu soluio du x ssèm S sur : M, ll qu d plus : i, x i x i x Théorèm : résoluio praiqu d u ssèm différil homogè à cofficis cosas Soi : SH A, u ssèm différil liéair homogè d ordr où A s u maric cosa appara à M ou M Si A s diagoalisabl, alors : Gl ou, D diagoal, réll ou complx, D - A Das c cas, si pour u focio d das M ou, o pos : -, alors : s coiu dérivabl sur s coiu dérivabl sur, : soluio d SH sur s soluio d : D, sur hapir : Equaios différills Nos d cours - -

4 hapir : Equaios différills Nos d cours drir ssèm éa diagoal, il s ramè à la résoluio d équaios scalairs d ordr idépdas, o obi ls soluios d SH calcula :, pour ls soluios rouvés Si A s rigoalisabl c qui s oujours l cas pour u maric complx, alors : Gl ou, T riagulair supériur, réll ou complxs, T - A Das c cas, si pour u focio d das M ou, o pos : -, alors : s coiu dérivabl sur s coiu dérivabl sur, : soluio d SH sur s soluio d : T, sur drir ssèm pu s écrir :,,,,, M O M L L, s ramè à la résoluio succssiv d équaios scalairs d ordr avc scod mmbr, commça par la drièr puis rmoa, ls soluios d SH s oba sui calcula :, pour ls soluios rouvés auparava Exmpl : résoluio d u ssèm différil homogè à maric cosa Résoudr l ssèm différil : A, avc : A uisqu l ssèm s liéair, à cofficis cosas homogè, il adm ds soluios sur La maric A s diagoalisabl car smériqu réll, o pu la diagoalisr avc :, D, : D - A E posa :, o a l équivalc : dérivabl sur dérivabl sur uis : s soluio d S si sulm si : D A, avc : L ssèm dvi alors immédia ls soluios so :,, avc :,, Efi :, Rmarqu : résoluio praiqu d u ssèm différil à pari homogè cosa Soi : S A B, u ssèm différil liéair d ordr où A s u maric cosa appara à M ou M, B u focio maricill d u irvall I d das M, ou M, Ls soluios d S so : i i i λ, où i s u bas d soluios d S I SH, u soluio pariculièr d S ls λ i so qulcoqus das ou La maric pu êr obu d la faço suiva : lorsqu A s diagoalisabl, o résou l ssèm irmédiair : D - B, lorsqu A s rigoalisabl, o résou l ssèm irmédiair : T - B

5 hapir : Equaios différills Nos d cours Exmpl : résoluio d u ssèm différil à maric cosa scod mmbr Résoudr l ssèm : B A, avc : A, : B ssèm a ds soluios sur puisqu A s cosa B s défii coiu sur Au liu d résoudr l ssèm : D, o résou : B D, soi :, c qui do :, puis : Théorèm : d auch-lipschiz, ssèms différils liairs vrsio «codiios iiials» Soi I u irvall d u ir : Soi : S A B, u ssèm différil liéair d ordr où A s u focio maricill d I das M ou M, B u focio maricill d I das M, ou M, Si A B so coius sur I, alors : I, x, x,, x ou, il xis u uiqu soluio : x x M, du ssèm S sur I ll qu d plus : i, x i x i Théorèms 4 5 : srucur dimsio d l smbl ds soluios d u ssèm différil liéair homogè Soi : SH A, u ssèm différil liéair homogè d ordr où A s u focio maricill coiu d u irvall I d das M ou M L smbl S I SH ds soluios d SH sur I pu êr mui d u srucur d - ou -spac vcoril c s u sous-spac vcoril d I,M ou d I,M D plus : dims I SH Rmarqu : our u ssèm différil homogè : SH A, où A s u focio coiu d I das M K, ls soluios d u l ssèm so : i i i λ, où,, form u bas d S I SH our u ssèm différil avc scod mmbr : S A B, où A B so ds focios coius d I das M K M, K, ls soluios d u l ssèm so : i i i λ, où,, form u bas d S I SH s u soluio pariculièr du ssèm Equaios différills liéairs d ordr Défiiio : équaios différills liéairs d ordr, équaio homogè associé, soluio d u ll équaio O appll équaio différill liéair d ordr, u équaio du p : E α β γ δ, où α, β, γ, δ so ds focios défiis coius d u irvall I d das ou, s u focio icou défii d u irvall : J I, das ou Théorèm : d auch-lipschiz, équaios différills d ordr, vrsio «codiios iiials» Soi : E a b c, u équaio différill liéair d ordr «résolu» où a, b, c so ds focios défiis coius d u irvall I d das ou

6 our ou coupl :, ou, ou valur : I, il xis u uiqu soluio ϕ d E sur I, ll qu d plus : ϕ, ϕ Théorèm : srucur d l smbl ds soluios d u équaio homogè d ordr Soi : EH a b, u équaio différill liéair homogè d ordr où a, b so ds focios défiis coius d u irvall I d das ou L smbl ds soluios d EH oé S I EH sur ou irvall iclus das I form u - ou -spac vcoril Théorèm 5 : résoluio praiqu d u équaio homogè d ordr à cofficis cosas Soi : EH a b c, u équaio différill liéair homogè d ordr où a, b, c so ds éléms d ou d O appll équaio caracérisiqu associé à c équaio différill l équaio : ar br c O disigu alors ls cas suivas : si l équaio caracérisiqu adm dux racis disics r s r rélls das ou complxs r das, EH adm pour soluios sur ls focios : ϕ α r β, où α β so ds cosas rélls ou complxs qulcoqus, si l équaio caracérisiqu adm u raci doubl r réll ou complx suiva l cas, EH adm pour soluios sur ls focios : ϕ α β r, où α β so ds cosas rélls ou complxs qulcoqus si l équaio caracérisiqu adm das l cas rél dux racis complxs cojugués ρ ± iω, EH adm pour soluios sur ls focios : ϕ [αcosω βsiω] ρ, où α β so ds cosas rélls qulcoqus Exmpl : Résoudr : L équaio s liéair, homogè du scod ordr à cofficis cosas adm ds soluios sur L équaio caracérisiqu associé s : r r, do ls racis so : ± i Ls soluios d l équaio différill so doc ls focios d la form :, α cos βsi, avc : α,β Théorèm 7 : cas pariculir d u équaio du scod ordr liéair à cofficis cosas scod mmbr produi d u polôm d u xpoill Soi : E a b c λ, u équaio différill liéair homogè scalair d ordr où a, b, c, λ so ds éléms d ou d, u polôm à cofficis das ou Il xis u soluio d E d la form k Q λ, où Q s u polôm d mêm dgré qu k s u ir égal à la muliplicié d λ comm raci évull d l équaio caracérisiqu associé à c équaio différill Exmpl d applicaio d c méhod : 6 Résoudr l équaio différill : L équaio s du scod ordr, liéair, à cofficis cosas pour la pari homogè l scod mmbr s u focio défii coiu sur Doc l équaio adm ds soluios sur Ls soluios d l équaio homogè associé so :, a b E uilisa l pricip d suprposiio : avc 6 comm scod mmbr, o chrch u soluio sous la form : λ, puisqu s pas raci d l équaio caracérisiqu associé, o rouv :,, comm scod mmbr, o chrch u soluio sous la form : avc d l équaio caracérisiqu associé, o rouv :, Fialm, ls soluios d l équaio complè so :, a b, avc : a,b λ, puisqu - s raci simpl hapir : Equaios différills Nos d cours - 6 -