( ) = e x. x x x 1 2. lim 10e = Étudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variations.

Transcription

1 Corrigé Parie A La foncion f es définie sur l inervalle [ ; + [ par f ( ) ( ) = + e On noe C la courbe représenaive de la foncion f dans un repère orhonomal ( Oi,, j) cm) (unié graphique Éudier la limie de la foncion f en + Soi un réel de [ ; + [, ( ) = + = f( ) e 4 e + e X On pose X = donc lim X = e lim X e = donc par composiion, lim 4 e = De plus, Par somme, lim f ( ) = lim e = Éudier les variaions de la foncion f e dresser son ableau de variaions f es le produi d une foncion affine e d une foncion eponenielle ; ces deu foncions son dérivables sur R + donc par produi de foncions dérivables, f es dérivable sur R Soi un réel de [ ; + [, f '( ) = e e = e = e ( ) f '( ) = 5 e Pour ou réel posiif, e Le signe de f dépend donc du signe de 5 f es donc croissane sur Tableau de variaion de la foncion f ; e f es décroissane sur ; + + f f () + ( ) = ( + ) e = 4e f 4e 4 4 Éablir que l équaion f () = adme une unique soluion sricemen posiive α dans l inervalle ] ; + [ Donner une valeur décimale approchée à près de α

2 D après le ableau de variaions précéden, pour ou réel de ;, f es sricemen croissane e f () = donc f( ) > f es coninue e sricemen décroissane sur l inervalle ; + E f 5 > e lim f ( ) = D après le héorème de la bijecion, l équaion f() = adme une unique soluion a dans l inervalle ; + a es donc sricemen posiive D après la calcularice, a 4,67 4 Tracer la courbe C dans le repère ( Oi,, j ) ( voir ci après ) 5 On pose I ( ) = f d a Inerpréer graphiquemen I Pour ou réel de [ ;], f() > E < Donc I représene l aire comprise enre la courbe C, l ae des abscisse, e les droies d équaion = e = b Calculer I ( ) ( ) I = f d= + e d Soi u e v les foncions définies sur [ ; ] par u ( ) = + e u e v son dérivables donc coninues sur [ ; ] e u'( ) = e Par inégraion par paries, v'( ) = e v ( ) =e ( ) ( 4 ) e 4e ( 4 ) e 4e I = f d= d= + d= ( ) = = + + = 4 e I 8e 4e 8e 8 e + Donc I = e ua

3 j o i,5 Parie B On noe y( ) la valeur, en degrés Celsius, de la empéraure d une réacion chimique à l insan, éan eprimé en heures La valeur iniiale, à l insan =, es y() = On adme que la foncion qui, à ou réel apparenan à l inervalle [ ; + [ associe y( ), es soluion de l équaion différenielle (E) : y'( ) + y( ) = e Vérifier que la foncion f éudiée dans la parie A es soluion de l équaion différenielle (E) sur l inervalle [ ; + [ Soi f la foncion de la parie A On sai que f() = + Soi un réel posiif, ( 5 ) e + e = ( ) e = e Aussi, f es soluion de l équaion différenielle (E) On se propose de démonrer que cee foncion f es l unique soluion de l équaion différenielle (E), définie sur l inervalle [ ; + [, qui prend la valeur à l insan

4 a On noe g une soluion quelconque de l équaion différenielle (E), définie sur [ ; + [ vérifian g () = Démonrer que la foncion g f es soluion, sur l inervalle [ ; + [, de l équaion différenielle : (E ) y'( ) + y( ) = Soi g une soluion quelconque de l équaion différenielle (E), définie sur [ ; + [ vérifian g () = Donc pour ou posiif, g'( ) + g( ) = e La foncion f es soluion de l équaion (E) donc pour ou posiif, f '( ) + f( ) = e Aussi, par sousracion, f '() g'() + ( f() g() ) = E donc g f es soluion, sur l inervalle [ ; + [, de l équaion différenielle (E ) La réciproque n es pas demandée ici Je la raie pour une fois prochaine Réciproquemen, g f es soluion, sur l inervalle [ ; + [, de l équaion différenielle (E ) donc f '() g'() + ( f() g() ) = donc f '() + f () = g'() + g() Or pour ou posiif, quelconque de (E) f '( ) + f( ) = e donc b Résoudre l équaion différenielle (E ) Toues soluions de l équaion différenielle dérivables sur R de la forme Or y() = = ke = k y () = ke, k R Aussi, pour ou k R, f( ) = e g'( ) + g( ) = e e g es une soluion y'( ) + y( ) = son les foncions définies e c Conclure D après la quesion a, g f es soluion, sur l inervalle [ ; + [, de l équaion différenielle (E ) Pour ou de [ ; + [, e k R, Déerminons la consane k ( g f) ( ) = ke f( ) g( ) = ke Or pour =, g()=f() donc f () g() = k e k = Donc pour ou de [ ; + [, f () g() = Donc f = g Au bou de combien de emps la empéraure de cee réacion chimique redescend-elle à sa valeur iniiale? Le résula sera arrondi à la minue

5 D après la parie A, f() = pour = a Or 4,67 heures correspond à 4, 67 6 = 85, 78minues soi 4 h e 4 minues Au bou de 4 h e 4 minues la empéraure de cee réacion chimique redescend à sa valeur iniiale 4 La valeur θ en degrés Celsius de la empéraure moyenne à cee réacion chimique duran les rois premières heures es la valeur moyenne de la foncion f sur [ ; ] Calculer la valeur eace de θ, puis donner la valeur approchée décimale de θ arrondie au degré D après la quesion 5b de la parie A, θ = ( ) = e f d donc θ 7 C