Introduction La cinématique étudie le mouvement des solides, indépendamment des causes qui le produisent.

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1 Introducton La cnématque étude le mouvement des soldes, ndépendamment des causes qu le produsent I Poston d un pont d un solde Solde de référence La noton de mouvement est relatve On étude toujours le mouvement d un solde (ou d un pont) par rapport à un solde de référence Par exemple un voyageur asss dans un concorde est mmoble par rapport à l avon, alors qu l se déplace à plus de 2 kmh - par rapport à la terre Solde de référence = Concorde Solde de référence = Terre Tout mouvement met donc en parte deux soldes : - un solde dont on étude le mouvement - un solde de référence Dans l étude des mouvements, on attachera à chaque solde un z r repère z r y r S O O y r S x r Remarque : Les repères sont orthonormés drects r r r x = y = z = r r r r r x y x y = z r r r r r x z z x = y r r r r r y z y z = x x r 2 Noton de temps En mécanque classque, le temps est consdéré comme absolu et unforme Chaque fragment de temps (seconde, mnute, ) est dentque au suvant Le chox d une échelle de temps et d'une orgne défnt une chronologe des événements t= t t2 Passé Avenr t 2 -t est la de l événement commencé au temps t et fn au temps t 2 2-Poston Vtesse Acceleraton S-B Page sur 6

2 3 Référentel L assocaton d un solde de référence et d un repère de temps défnt un référentel 4 Vecteur poston d un pont d un solde par rapport à un repère z r x(t) z(t) O M S y(t) y r x r Sot un pont M appartenant à (S) Les coordonnées cartésennes de M dans R sont M (x(t) ; y (t) ; z(t)) Dans le repère R, on appelle vecteur poston de M (S) le vecteur O M(t ) O + M(t) = x(t)*x + y(t)*y z(t)* z Remarque: D'autres systèmes de coordonnées sont souvent utlsés (sphérque, cylndrque) 5 Trajectores a- Noton de pont coïncdent Sot M un pont de S A l nstant t on peut consdérer qu en M se superposent deux ponts M S géométrquement dstncts : M R M R = pont coïncdent de M S à t b- Noton de trajectore S nous traçons les postons successves du pont ponts appartenant àr Ce sont les ponts coïncdents de M S dansr M S dansr, nous obtenons un ensemble de Cette courbe défne dans R est la du pont M appartenant à S par rapport à R : M S / R ) 2-Poston Vtesse Acceleraton S-B Page 2 sur 6

3 La trajectore dépend du repère chos : y M y x M S / R ) x M S / R ) S = roue avant du vélo R = Repère lé à la terre R = Repère lé au vélo M S / R M S / R ) est un cercle ) est une cycloïde c- Equaton cartésenne de la trajectore Dans le cas des mouvements plans (z (t) = t), l est ntéressant d élmner le temps entre les coordonnées de l abscsse et de l ordonnée pour obtenr une relaton du type y=f(x) Le temps n apparaît plus explctement 6 Vecteur déplacement Sot M la poston du pont M à l'nstant t=t Sot M 2 la poston du pont M à l'nstant t=t 2 Le vecteur MM 2 défnt le déplacement du pont M entre les nstants t et t 2 pendant la durée (t 2 -t ) Remarques: * MM 2= MO + OM2 = OM2 OM Chasles * S la trajectore du pont M dans R est rectlgne entre les nstants t et t 2, alors M M2 mesure la parcourue par le pont M pendant la durée (t 2 -t ) 7 Exercces d applcaton Exercce Pour le système belle manvelle suvant (par exemple un moteur de moto), tracer la trajectore, dans le repère R des ponts A, B et C Pour le pont C, une constructon pont par pont sera utlsée 2-Poston Vtesse Acceleraton S-B Page 3 sur 6

4 A C B Exercce 2 Dans le repère orthonormé drect R, la poston du pont M appartenant à S est défne à chaque nstant par le vecteur poston OM (t) = x(t)*x + y(t)*y + z(t)* z Avec x(t)=2t y(t)=3t-5 z(t)= * Montrer que le pont M se déplace dans un plan que l on précsera * Détermner les valeurs de x(t), y(t) et z(t) pour les valeurs de t={,,2,3,4,5} Construre la trajectore M S / R) * En élmnant le temps, détermner l équaton de la trajectore M S / R ) De quelle courbe s agt-l? * Détermner la longueur parcourue par le pont M entre les nstants t=s et t=5s 2-Poston Vtesse Acceleraton S-B Page 4 sur 6

5 II Vtesse d'un pont d'un solde par rapport à un repère 2 Vtesse moyenne La vtesse moyenne de M par rapport au repère R entre les nstants t et t 2 est défne par: V moy (M S/ R ) = MM 2 2 t t = R MM 2 t R avec t= t2 t 22 Vtesse nstantanée S t 2 se rapproche de t, alors t tend vers On défnt le vecteur vtesse de M appartenant à S par rapport à R par: M V(M S/ ) M2 R =lm t t Proprétés: * Prop : Le vecteur vtesse est toujours en M à la trajectore * Prop 2: Orgne: Poston de M à l'nstant t Support: Tangente en M à la trajectore Sens: Celu du mouvement Norme: V(M S/ R) * Prop 3: La défnton du vecteur vtesse donne: V (M S/ R ) = dom dt R S OM (t) = x(t)*x + y(t)*y + z(t)* z alors dx(t) dy(t) dz(t) V (M S/ R ) = *x+ *y+ *z= x(t)*x & + y(t)*y & + z(t)*z & dt dt dt Unté: L'unté de vtesse est m/s 23 Exercce d'applcaton Dans le repère orthonormé drect R, la poston du pont M appartenant à S est défne à chaque nstant par le vecteur poston OM (t) = x(t)*x + y(t)*y + z(t)* z x(t)=4t 2 y(t)= z(t)= 2t 2 + * Donner les coordonnées du vecteur vtesse aux nstants t={,,2,3}, ans que son expresson générale en foncton du temps 2-Poston Vtesse Acceleraton S-B Page 5 sur 6

6 III Accélératon d'un pont d'un solde par rapport à un repère 3- Vecteur accélératon L'accélératon de M par rapport au repère R est défne par: S OM (t) = x(t)*x + y(t)*y + z(t)* z alors a (M S/ R ) = & x(t)*x + && y(t)*y + & z(t)* z Unté : L'unté d'accélératon est m/s 2 a (M S/ R ) = dv(m S/ R) dt R 32- Composantes normale et tangentelle du vecteur accélératon On démontre que : a (M S/ R ) = a n *n+ a t * t Les expressons de a n et a t seront cherchées dans des cas smples 33 Exercce d'applcaton Dans le repère orthonormé drect R, la poston du pont M appartenant à S est défne à chaque nstant par le vecteur postonom (t) = x(t)*x+ y(t)*y+ z(t)* z Avec x(t)=4t 2 y(t)= z(t)= 2t 2 + * Donner les coordonnées du vecteur accélératon aux nstants t={,,2,3}, ans que son expresson générale en foncton du temps 2-Poston Vtesse Acceleraton S-B Page 6 sur 6

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