Cinématique du point Vecteur vitesse Vecteur accélération

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1 Cinématique du point Vecteu vitesse Vecteu accéléation 1. Vecteu vitesse 1.1. Vecteu vitesse moyenne Soit un mobile M se déplaçant su une taectoie (C). Le même déplacement de M ente deux positions peut se faie pendant des duées difféentes. Pou caactéise un mouvement, il peut ête intéessant de connaîte la distance pacouue pa unité de temps, c'est-à-die la vitesse moyenne. Si la position du point M à l instant t 1 coespond au point M(t 1 ) = M 1 et à l instant t 2 au point M(t 2 ) = M 2, le vecteu vitesse moyenne se définit pa : M1M2 OM2 OM1 Vm = = Δt Δt [3.1] Exemple : Un cycliste conduit son vélo su 200 m, puis evient su son chemin su 40 m. S il a mis 60 s pou effectue son pacous, touvez sa vitesse moyenne V m. Solution La distance totale pacouue Δd = = 240 m Le temps de pacous : Δt = 60 s La vitesse moyenne : V m Δ d 240 = = = 4 m.s Δ t N. FOURATI_ENNOURI

2 1.2. Vecteu vitesse instantané Losqu on considèe une duée Δt infiniment petite, le mobile passe d un point M à un point M infiniment poche. La vitesse moyenne tend ves la vitesse instantanée losque Δt tend ves zéo. Le vecteu position OM = OM () t est une fonction du temps et la vitesse instantanée coespond alos à la déivée pa appot au temps du vecteu position : V t () OM ( t +Δt) OM ( t) dom = lim = Δt 0 Δt dt [3.2] Losque le point M tend ves le point M, la code MM tend ves la tangente à la taectoie au point M. Le vecteu vitesse est donc un vecteu tangent à la taectoie au point considéé (Figue. 1) z' O k M M(t) M(t+dt) s(t) dm s(t+dt)=s(t)+ds T v y' i x' Figue. 1 Nous désigneons pa : T= T(t) ; T = 1 le vecteu unitaie tangent à la taectoie à chaque instant : T = V V 2 N. FOURATI_ENNOURI

3 1.3. Expession en coodonnées catésiennes A pati de l expession du vecteu position [2.1] et de la définition du vecteu vitesse [3.2], on obtient : d v x i y zk dt = = + + [3.3] La valeu V de la vitesse coespond à la nome de ce vecteu : V= v = x + y + z [3.4] 1.4. Expession en coodonnées polaies A pati de l expession du vecteu position [2.2] et de la définition du vecteu vitesse [3.2], on obtient : dom d d du v = = ( u) = u + dt dt dt dt [3.5] Losque le point M est en mouvement, l angle polaie = (t) est une fonction du temps. Le vecteu unitaie u toune et est donc fonction du temps pa l intemédiaie de l angle. Pou le déive pa appot au temps, il faut applique les ègles de déivation des fonctions composées. Dans note cas : du du d = = du dt d dt d [3.6] La quantité caactéise la vaiation de l angle polaie au cous du temps et coespond à la définition de la vitesse angulaie. Elle est souvent notée ω et s expime en ad.s -1. Dans le epèe choisi : du u = cos i + sin = sin i + cos = u d 3 N. FOURATI_ENNOURI

4 Pa conséquent : v = u + u = V u + V u [3.7] V et V sont espectivement les composantes adiales et othoadiales du vecteu vitesse dans la base polaie. La nome de ce vecteu est : = = + [3.8] 2 V v ( ) Expession en coodonnées cylindiques Les coodonnées cylindiques coespondent aux coodonnées polaies dans le plan (o, x, y) auxquelles on aoute une coodonnée z suivant un axe pependiculaie au plan. La base et du vecteu u z (3eme vecteu de associée est donc composée de la base tounante ( u,u ) la base catésienne qui est un vecteu fixe dans le éféentiel d étude. En déivant le vecteu position [2.7], on obtient : dom d v = = u + zu dt dt ( z) [3.9] En tenant compte des ésultats du paagaphe pécédent, l équation [3.9] peut s écie sous le fome de : d OM v = = u + u + zu z [3.10] dt Et : V= v = + + z ( ) [3.11] 4 N. FOURATI_ENNOURI

5 1.6. Vecteu vitesse angulaie En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaie ω, aussi appelée féquence angulaie ou pulsation, est une mesue de la vitesse de otation. Elle s'expime dans le système intenational en adians pa seconde (ad.s -1 ), ou plus simplement en s -1 puisque les angles sont des gandeus sans dimension ; elle este de manièe couante donnée en tous pa minute (t/min). Une évolution complète est égale à 2π adians, donc : d 2π ω = = = 2π f dt T [3.12] T est la péiode de otation (en s) et f est la féquence (en s -1 ou Hz). L'utilisation de la vitesse angulaie au lieu de la féquence odinaie est patique dans maintes applications ca elle pemet d'évite l'appaition excessive de π. Elle est utilisée, ente autes, dans de nombeux domaines de la physique comme la mécanique quantique et l'électomagnétisme. Le vecteu vitesse angulaie est un vecteu : nomal au plan de otation, oienté de sote que le mouvement se fasse dans le sens positif, dont la nome vaut ω. On a donc : ω =ω u = u [3.13] z z 5 N. FOURATI_ENNOURI

6 2. Vecteu déplacement élémentaie A pati de la elation [3.2], on peut défini le vecteu déplacement élémentaie dom= dl, en coodonnées catésiennes, pa : V () t dt = d l = dxu + dy u + dz u x y z Pou obteni l expession du vecteu déplacement en coodonnées polaies, on epend l expession [3.7] : dl d d = u + u dl = d u + d u dt dt dt 6 N. FOURATI_ENNOURI

7 3 - Vecteu accéléation 3.1. Définition La vitesse évalue la vaiation de la position pa appot à celle du temps. De la même façon, la vaiation de la vitesse pa appot au temps est nommée accéléation: 2 def d dv a = = = = v 2 dt dt [3.14] 3.2. Expession en coodonnées catésiennes En coodonnées catésiennes le vecteu accéléation s'écit : a = x i + y + z k [3.15] 3.3. Expession en coodonnées polaies A pati de l expession du vecteu vitesse en coodonnées polaies [3.10] et de la définition du vecteu accéléation a on obtient : dv d a = = ( + d ) = ( + ) = ( + ) du u u u u u u u u dt dt dt dt Rappelons que, comme u, le vecteu unitaie u toune et qu il est fonction du temps pa l intemédiaie de l angle. Pou le déive pa appot au temps, il faut applique les ègles de déivation des fonctions composées. Dans note cas : du du d = = du dt d dt d Dans le epèe choisi : du u = sin i + cos = cos i sin d du = ( cos i + sin ) = u d 7 N. FOURATI_ENNOURI

8 Pa conséquent : a = ( + ) du u u u u dt = ( ) ( u ) ( u u u u) L expession finale de a est : Le pemie teme ( = 2 ) second a = ( 2 + ) a = u + u + u = a u + a u [3.16] 2 ( ) ( 2 ) a coespond à la composante adiale de l accéléation, le à l accéléation othoadiale Expession en coodonnées cylindiques A pati de l expession [3.10] du vecteu vitesse et des ésultats obtenus en coodonnées polaies [3.7], on touve : v 2 a = d = d ( u + + ) = ( ) + ( 2 + u zu u z ) u + z u [3.17] z dt dt 3.5. Vecteu accéléation et la base de Fenet Tiède de Seet-Fenet Dans le cas d un mouvement plan, et en définissant en tout point M un vecteu unitaie T tangent à la taectoie et oienté comme celle-ci, le vecteu vitesse, lui-même tangent à la taectoie au point M (Figue. 1) peut s écie : V t v T avec V v [3.18] ()= = La notation v coespond à la valeu algébique de la vitesse. Le signe de v indique dans quel sens le point M se déplace su la taectoie : v est positif pou un déplacement dans le sens positif et négatif dans le sens contaie. 8 N. FOURATI_ENNOURI

9 Pou obteni une nouvelle base dans le plan, il suffit de défini un vecteu unitaie N pependiculaie à T et touous touné ves la concavité (Figue 2). z' plan osculateu ϖ M N T a(t) k (t) v(t) O y' i taectoie x' C Figue 2 ( N, T ) s appelle la base de Fenet. Elle est mobile dans le éféentiel d étude puisque la diection des vecteus de base dépend du point considéé su la taectoie Expession du vecteu accéléation dans la base de Fenet Dans la base de Fenet, le vecteu accéléation peut s écie sous la fome de : a t a T a N [3.19] ()= + t n La composante a t est la composante tangentielle et a n est la composante nomale centipète. La déivée du vecteu vitesse dans cette base conduit à : dv d( VT) dv dt a = = = T + V dt dt dt dt 9 N. FOURATI_ENNOURI

10 y ρ dφ dφ N T Φ O i x Soit ρ le ayon de coubue de la taectoie. Figue. 3 Expimons T et N en fonction de i et : T = cos( Φ ) i + sin( Φ) N = sin( Φ ) i + cos( Φ) En difféenciant T pa appot à t on obtient : dt dφ dφ = sin( Φ ) i+ cos( Φ) dt dt dt d où : dt dt = dφ N dt En utilisant cette elation dans l expession de a, on touve : dv Φ = + T d a T VT N dt dt avec : dφ dφ dl 1 = = V dt dl dt ρ T Enfin : 2 dv V a = T + N dt ρ [3.20] 10 N. FOURATI_ENNOURI