Chapitre 5 : «Puissances entières d'un nombre»

Transcription

1 Chapitre 5 : «Puissances entières d'un nombre» I Rappels 1/ Multiplication de relatifs ,5 = 3 15= = = 35 Règles de signe par donne par donne etc. Lorsqu'il y a plus de deux facteurs On compte les facteurs négatifs, s'il y en a un nombre : pair, le résultat est positif, impair, le résultat est négatif. 2/ Vocabulaire Un produit est le résultat d'une multiplication. Les nombres que l'on multiplie sont appelés les facteurs. II Puissances d'un nombre relatif 1/ Activité Je transmets un mail à deux personnes, ces deux autres personnes transmettent ce même mail à deux personnes etc. 1 ère étape : 2 2 ème étape : 2 2=4 3 ème étape : 2 2 2=8 etc.

2 Prendre la puissance d'un nombre, c'est le multiplier par lui-même un certain nombre de fois : «trois puissance deux» : 3 3=9 «5 puissance deux» : 5 5 = 25 «2 puissance trois» : = 8 Pour noter «3 puissance 2», on écrit 3 2 : «on multiplie deux fois le nombre trois par luimême» : 4 2 = 4 4 = = = 64 0,1 2 =0,1 0,1=0,01 2/ À retenir Définition a représente un nombre relatif et n un nombre entier. «a puissance n» s'écrit a n et signifie que l'on va multiplier le nombre a, n fois par luimême. a n =a a a n fois le facteur a Savoir s'exprimer a n se dit «a puissance n» ou «a exposant n». a 2 se dit «a au carré» et a 3 se dit «a au cube». 5 3 = = = = =9 9=81 Remarques 2 4 est positif car on peut regrouper par deux les facteurs : = 16 = 4 Donc = 1 = 4 Lorsque la puissance est impaire, par exemple dans 2 5, si on regroupe par 2 il reste toujours un facteur négatif qui est seul : 2 5 = = = 32 = 4 = 4

3 Propriété a est un nombre positif et n représente un nombre entier. Si n est pair alors a n est positif. Si n est impair alors a n est négatif. 1,05 17 est négatif car la puissance 17 est impaire/ 4,5 7 est positif car 4,5 est positif (aucun lien avec la puissance 7 ) 1 18 =1 Attention à 4 2 = 4 4 = 16 (Attention, la puissance 2 ne concerne que le 4!) Par contre 4 2 = 4 4 = ³= = ³=8 3 =8 8 8=64 8=512 2 ³ 4= =32 Point de calcul mental A connaître par cœur : 8=2 3 32= =5 3 64=4 3 = =11 2 0,01=0,1 0,1=0,1 2 (un dixième fois un dixième donne un centième) 27= = 5 3 9= pas possible car 3 2 = 9. Rappel sur les nombres décimaux Dans 125, : 125 est la partie entière, est la partie décimale, 9 est le chiffre des dixièmes, 8 celui des centièmes, 7 celui des millièmes...

4 À connaître par cœur : 0,1= 1 est un dixième, 10 0,01= 1 est un centième, 100 0,001= 1 est un millième Dans cette idée, il faut savoir que : un centième d'euro, c'est un centime, un millième de mètre, c'est un millimètre... III Règles de calcul 1/ Multiplication Activité correspond à un produit où l'on multiplie le facteur 2 trois fois par lui-même, puis quatre fois par lui-même. En tout, on le multiplie sept fois par lui-même, donc : =2 7. Calcule de même : = =5 38 2,5 17 2,5 18 =2, ne donne rien! Propriété a, n et p sont trois nombres. n et p a n a p =a n p sont deux nombres entiers positifs = = = = = 5 14

5 Point méthode Il faut parfois faire une transformation avant d'utiliser cette règle de calcul. A= A= (On a mis les nombres sous la forme d'une puissance) A= (On regroupe) A= (On applique la règle de calcul) Notation 5=5 1 ; 7= 7 1 Attention à B= =2 21!!! Encore des exemples (au retour des vacances) 5 2 =5 5=25 ; 2 3 = = 8 ; 10 4 = = ,1 3 =0,001 ; 2 2 = = 2 2 = = =5 11 ; = = 4 9 ; / Diviser Activité = =5 2 ; = = 3 2 Propriété a représente un nombre relatif non nul. n et p n p. a n a =a n p p représente deux nombres entiers tels que =53 ; =65 ; =41 =4 ; 34 3 = =33

6 3/ Point méthode : des calculs à savoir refaire Comment simplifier l'expression A= ? A= A= A= A=3 13 4/ Avec des mêmes puissances... Activité Peut-on simplifier l'expression ? Pourquoi? = = = =35 3 On généralise... Propriété a et b représentent deux nombres relatifs. n a n b n = ab n représente un nombre entier positif = 30 7 ; =56 5 ; 1, =9 9 5/ Autre point méthode A savoir refaire... A= A= A=10 12 B= B= B= B=14 8

7 Rappels A connaître presque par cœur : 64=8 2 ; 64=4 3 ; 64=2 6 27=3 3 ; 81=3 4 ; 81= =5 3 ; =10 4 ; = ,01=0, =11 2 ; 144=12 2 IV Avec un exposant négatif 1/ Activité = = = =5 4 2 = = =53 2 = = =52 2 =5 0 =1! = =51 2 =5 1 = = =50 2 =5 2 = De même 5 3 = / Définition/Notation a représente un nombre relatif non nul. n représente un nombre entier positif. a n = 1 a n «a n est l'inverse de a n» 10 2 = = =0,01 ; 2 2 = = 1 4 =0,25

8 3/ Règles de calcul dans le cas général Activité = = =2 3 Puisque 4 7 = 3 ou tout simplement 4 7= 3, il semble qu'on peut généraliser les règles de calcul lorsqu'il y a des puissances négatives... On va l'admettre! Des règles de calcul a représente un nombre relatif non nul. n et p a n a p =a n p ; a n a p =a n p ; a n a p =a n p sont des nombres entiers =7 5 8 = = = = =8 13 Encore des exemples =3 1 ; =3 6 8 =3 14 ; =35 2 =3 5 2 =3 7 Point méthode : attention! «Il faut soustraire les puissances : 5 3 = 5 3= 2» Donc =7 2. V Conduire un calcul =4 8=12 ; =5 9= 4 ; =3 16= = =13 2 = = =2 8 1=2 8= 6

9 Ordre de priorité dans les opérations Les parenthèses, les puissances, les multiplications et divisions, les additions et soustractions. A= A= A=2 121 A=242 B= ,2 B= ,2 B=10 4,2 B=42 C= C= C= C=20 2 C=400 VI Remplacer dans une expression littérale Exemple 1 On considère A= 2 x 2 2 x 7. Calcule A pour x=5 A= A= A= A= 40 7 A= 47 Exemple 2 B=x 4 3 x 3 pour x= 2 B= B= B=16 24 B=40 Pour mardi 11 janvier Contrôle sans calculatrice Faire signer les carnets de correspondance