Chapitre 1.3 La vitesse instantanée
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- Romain Blanchette
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1 Chapire.3 La iesse insananée La iesse dans un graphique de posiion On peu obenir une iesse moyenne en foncion du emps en effecuan un calcul de pene. Puisqu une pene es une rappor enre une ariaion selon l ae des ordonnées (la posiion : ) e une ariaion selon l ae des absisses (le emps : ), la iesse moyenne peu s obenir de la façon suiane : où éfiniion de la iesse moyenne : : Viesse moyenne (m/s) : Variaion de la posiion (m) : Variaion du emps (s) à l aide d un graphique de posiion ( m) La iesse insananée à l aide de la droie angene La iesse moyenne n es pas oujours une informaion précise, car la iesse d un obje n es pas oujours consane. Lorsque la iesse arie dans le emps, il fau éaluer la iesse à chaque insan pour bien éaluer l éoluion de la posiion dans le emps., on peu calculer une iesse insananée à un emps donné à parir de la pene d une droie angene ouchan le graphique de posiion à l insan. Cee définiion es alide, car la pene d une droie dans un graphique de posiion correspond à une informaion de iesse. ans un graphique de posiion où éfiniion de la iesse insananée : droie angene : Viesse insananée (m/s) : Variaion de la posiion (m) : Variaion du emps (s) ( m) Une droie angene es une droie qui ouche qu à un seul poin d un graphique. Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume Page
2 Siuaion 3 : Une planche à roulees (m) sur un plan incliné. Sur une pise en 3 béon légèremen inclinée (3 o par C B rappor à l horizonale), on lance aec la main une planche à roulees ers le hau de la pise (schéma ci-dessous, à gauche). On obsere que la planche raleni en monan, puis redescend en 0 allan de plus en plus ie En plaçan une règle graduée à côé de la pise e en filman le mouemen, on obien le graphique ci-dessous, à droie. (On a commencé à filmer un peu après aoir lancé la planche e on a noé à chaque insan la posiion du poin le plus à droie de la planche). À correspondan. parir du graphique, on désire obenir le graphique 0 3,8 (m) C B En raçan la angene au poin, on peu éaluer la iesse à s. La pene de cee droie sera la iesse insananée de l obje à s, car la pene effecue le calcul / : eu poins sur la angene :, m, à 0 s (Poin ),0 m, à,8 s (Poin ) 3 (Remplacer ( 3) (,) (,8 ) ( 0) e ) (Remplacer aleurs numériques) 0,5 m/s (Éaluer ) On peu effecuer plusieurs de ces calculs pour ous les emps enre 0 e 5 secondes (faire plusieurs droies angenes) e obenir le graphique de la iesse en foncion du emps : (m/s) (Consrucion d un graphique à parir d un graphique e des droies angenes) Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume Page
3 La iesse insananée en an que limie Pour éaluer la iesse insananée, il n es pas oujours nécessaire de racer une droie angene. On peu approimer une droie angene à parir de deu posiions sur le graphique () e effecuer le calcul de pene suian : Si les deu posiions sur la courbe (poins noirs) son rop éloignées dans le emps, la iesse insananée (poin rouge) sera imprécise. ( m) Si les deu posiions sur la courbe (poin noir) son près dans le emps, la iesse insananée (poin rouge) sera précise. ( m) ec la définiion de la limie en mahémaique, le calcul de la iesse insananée s effecue de la façon suiane : Pour effecuer le calcul de, il s agi de : lim 0 ) Prendre la posiion au momen où l on eu éaluer la iesse ) Prendre la posiion après un emps supplémenaire de ( + ) 3) Plus le choi de es pei, plus la iesse insananée sera précise. ( m) ( + ) lim 0 ( + ) + + lim 0 ( + ) Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume Page 3
4 Siuaion : Une planche à roulees sur un plan incliné : calcul aec limie. À parir de l équaion de la posiion 0,5 + +, 75 associée au mouemen de la planche à roulees de la siuaion 3, on désire éaluer la iesse insananée à 5 s aec une précision de 0,00 s. fin d éaluer la iesse insananée à l aide de la limie, éaluons la posiion e ( + ) à 5 s : : ( 5) 0,5( 5) + ( 5) +,75 0,5 m ( 5 ) 0,5 m ( + ) : ( 5,00) 0,5( 5,00) + ( 5,00) +, 75 ( 5,00) 0,985 m Éaluons mainenan la iesse à lim 0 5 s : lim 0,00 ( + ) ( 0,985) ( 0,5) ( 0,00) (pproimaion aec 0, 00) ( 5) lim (Remplacer aleurs numériques) 0,00 ( 5),5 m/s (Éaluer la iesse) On réalise que ce calcul es eac si l on compare nore résula au résula du graphique de la Siuaion 3 (oir graphique ci-conre, le poin rouge). (m/s) 0 -, Eercice Eercice : Viesse insananée aec rois. La posiion (, en mère) dans le emps (, en seconde) d une paricule es donnée par l équaion suiane : 6 a) Éaluez la iesse insanané à s lorsque 0, s. b) Éaluez la iesse insanané à s lorsque 0,0 s. c) Éaluez la iesse insanané à s lorsque 0,00 s. Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume Page
5 Soluion Eercice : Viesse insananée aec rois. Nous aons l équaion de la posiion suiane : a) À s aec 0, s : ( ) m (,) (,) 6(,) 3366 m 6 ( 3366) ( 308) ( ) 380 m/s 0, b) À s aec 0,0 s : ( ) 6 308,0 m (,0) (,0) 6(,0) 3078,8 m ( 3078,8) ( 308,0) ( ) 3080 m/s 0,0 c) À s aec 0,00 s : ( ) 6 308,00 m (,00) (,00) 6(,00) 305,07 m ( 305,07 ) ( 308,00) ( ) 3070 m/s 0,00 ec une echnique plus aancée (oir.3), nous pouons éaluer la iesse insananée eace à l aide du calcul différeniel : m/s 3066 Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume Page 5
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