CINEMATIQUE C2. 1. Vitesse. Vitesse et accélération. MM' t. d s ; (S) M 1. O y (S) O y. Mécanique Cinématique Cinématique C2

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1 écanique Cinémaique Cinémaique C bjecif : Définir, décrire e calculer la iesse ou l accéléraion d un poin d un solide. 1. Viesse CINEATIQUE C Viesse e accéléraion 1.1. Noion de iesse Soi un solide en mouemen dans un repère R. Soi un poin apparenan au solide, de coordonnées (), () e () à l insan. Soi T( S/R ) la rajecoire de. T( S/% ) 1 Sur cee rajecoire, choisissons par conenion : une origine ; un sens posiif ; une unié de longueur. % n relèe, au insans, 1,, les posiions du poin apparenan à S dans le repère R. Insans 1 Posiion sur T( S/R ) 1 Abscisse curiligne s f() s s 1 1 s S arc aleur algébrique, à l insan, de l arc oriené 1.. Viesse algébrique moenne Enre 1 e : V( 1 ) mo s s1 1 s 1.3. Viesse algébrique insananée Si es rès proche de 1, alors deien infinimen pei. () d s s () (dériée de l abscisse curiligne) C_iesse e accéléraion.doc 11/4/ Veceur iesse insananée Le eceur iesse du poin dans son mouemen par rappor au repère fie R, es égal à la dériée ecorielle (par rappor au emps) du eceur posiion, dans le repère R. V( S/R ) lim Le eceur V( S/R) es el que : ' - son origine es confondue aec la posiion de à l insan ; - il es oujours angen en à la rajecoire T( S/R ) ; - il es oriené dans le sens du mouemen ; - sa norme es V( S/R) - unié : mère par seconde, ou m/s. V( S/R) d s ; % d V( S/R) T( S/ % ) 1 Viesse e accéléraion page 1/5

2 écanique Cinémaique Cinémaique C Aure epression possible : () Si () Alors V( S/R) () R d d d R. Accéléraion.1. Accéléraion angenielle moenne Si le poin se siue en 1 à l insan 1 e qu il possède une iesse insananée 1 ; s il passe à l insan en à la iesse, son accéléraion angenielle moenne enre 1 e au : a () mo 1 1 % 1 T( S/ % ) L accéléraion peu aussi êre noée Γ( S/R ) ou γ ( S/R )... Accéléraion angenielle insananée A l insan quelconque, elle correspond à la limie du rappor lorsque. a () d s ; or () d s d ; d où a() s ().3. Veceur accéléraion a(/ R ) dv(/ R) d Composanes angenielles e normales de l accéléraion : Soien : n un eceur uniaire normal en à la rajecoire T( S/R ), oriené ers l inérieur de la courbure ; un eceur uniaire angen en à T( S/R ), oriené comme la rajecoire. % T( S/ % ) n Dans cee base ( n, ), l accéléraion peu s écrire : aec : a(/ R ) a n. n + a a n accéléraion normale R (R représene le raon de courbure) d a accéléraion angenielle Viesse e accéléraion page /5

3 écanique Cinémaique Cinémaique C Aure epression possible : Si V( S/R) d d d R Alors a( S/R) 3. Cas du mouemen de ranslaion reciligne uniforme d d d R 3.1. Définiion C es le mouemen le plus simple, sans accéléraion (a) e aec une iesse consane au cours du emps. Il es noé.t.r.u. 3.. Equaions de mouemen Soien : i : insan iniial, aec ; i : le déplacemen iniial, à i ; i : la iesse iniiale ; : le déplacemen à l insan. rigine du repère Insan Insan Equaions horaires a i consane i.(- i) + i Graphe de posiion i. + i i Graphe de iesse i i e i son les condiions iniiales du mouemen. Par eemple : Soi un.t.r.u. enre les insans e 1 ; e 1 secondes m 1 m/s a m/s² i Equaions de mouemen : a 1 m/s.(- ) + 1. A l insan 1 : a 1 1 m/s m 4. Cas du mouemen de ranslaion reciligne uniformémen accéléré 4.1. Définiion Il ser de modèle à de nombreuses éudes simplifiées. Pour ces mouemens, accélérés (a>) ou décélérés (a<), l accéléraion rese consane au cours du emps. Il es noé.t.r.u.v. Viesse e accéléraion page 3/5

4 écanique Cinémaique Cinémaique C 4.. Equaions du mouemen Soien : i : insan iniial, aec ; i : le déplacemen iniial, à i ; a : l accéléraion ; i : la iesse iniiale ; : le déplacemen à l insan. i i Insan i Insan Equaions horaires a consane a.(- i) + i 1.a.(-i)² + i.(- i) + i i, i e a son les condiions iniiales du mouemen. Par eemple : Soi un.t.r.u.v. enre les insans e 1 ; e 1 4 secondes m m/s (dépar arrêé) a 3 m/s² i Graphe de posiion f() (branche de parabole) Equaions de mouemen : a 3 m/s² a.(- ) a.(-)²+.(-)+ 1,5.² i Graphe de iesse i + a. a A l insan 1 : a 3 m/s² m/s 1 1,5. 1² 1,54² 4 m 4.3. Calcul de la iesse moenne Il es fréquen que lors de ce pe de mouemen on connaisse la iesse iniiale e la iesse finale (oir figure ci-conre). Dans ce cas, le calcul de la iesse moenne es rès simple : 5. ouemen de roaion : généraliés V mo Vma+Vmin 1 V min V mo V min () Insan 5.1. Roaion d un solide La roaion d un solide es définie par son mouemen angulaire (ous les poins de ce solide on même iesse angulaire). θ θ 1 Insan 1 θ θ 1 + θ θ Viesse angulaire, ou iesse de roaion ω Viesse angulaire moenne : Viesse angulaire insananée : ω θ θ1 1 mo ω dθ θ' θ& θ Viesse e accéléraion page 4/5

5 écanique Cinémaique Cinémaique C Remarque 1 : 1 our π radian 36 Remarque : Si N es la iesse de roaion en our/min, alors : 5.3. Accéléraion angulaire α ω πn 3 dω dθ α ω' ω& ou α θ'' && θ 5.4. Viesse d un poin T V ω. ω.r V Remarque : puisque ω a même aleur pour ous les poins du solide, la iesse linéaire V( S/R) arie linéairemen aec la disance r à l ae de roaion Accéléraion a a + a n a α.r α. a n ω².r V r ω.v VN N V P P r 6. Cas du mouemen de roaion uniforme 6.1. Définiion L accéléraion angulaire α es nulle. Ce mouemen es noé.r.u. 6.. Equaions horaires de mouemen Les équaions horaires de mouemen son : α θ ω ω i consane θ ω.(- i) + θ i ω i e θ i son les condiions iniiales du mouemen. 7. ouemen de roaion uniformémen arié 7.1. Définiion L accéléraion angulaire α es consane. Ce mouemen es noé.r.u.v. 7.. Equaions horaires de mouemen Les équaions horaires de mouemen son : α consane ω α.(- i) + ω i θ 1.α.(-i)² + ω i.(- i) + θ i ω i e θ i son les condiions iniiales du mouemen. Remarque : Si α>, il a accéléraion du mouemen. Si α<, il a décéléraion du mouemen (ou freinage). Viesse e accéléraion page 5/5