1ère partie Calcul algébrique vu au collège

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1 Pour prendre un bon déprt en Seconde A Clcul lgébrique 1ère prtie Clcul lgébrique vu u collège 1. Clcul vec des frctions 1.1. Églité des frctions Règle 1 : Deux frctions sont égles lorsqu il y églité des produits en croix. Autrement dit : b = c équivut à d=b c d Règle 2 : On ne chnge ps un nombre reltif en écriture frctionnire en multiplint (ou en divisnt) son numérteur et son dénominteur pr un même nombre non nul. Autrement dit, pour tous nombres reltifs,b et k, b et k non nuls, on : b = k b k et b = k b k Ceci nous permet d obtenir différentes écritures frctionnires d un même nombre. On cherche lors l frction l plus simple. Exemples : A= 4 3,5 = ,5 10 = = = 8 7 et 8 7 est une frction simple ou irréductible Règle des signes Règle 3 : Le signe du quotient b de deux nombres reltifs est le même que le signe du produit b. On obtient l règle des signes : Le quotient de deux nombres de même signe est positif Le quotient de deux nombres de signes contrires est négtif Comprison des frctions b = b et b = b = b Règle 4 : 1 ) Si deux frctions ont le même dénominteur positif, lors on les rnge dns le même ordre que leurs numérteurs. Autrement dit, pour tous nombres reltifs et c et tout nombre reltif B > 0, on B > c équivut à >c B 2 ) Si deux frctions n ont ps le même dénominteur positif, on cherche d bord un dénominteur commun positif, puis on pplique le 1 ) Addition et soustrction Règle 5. On distingue deux cs : 1 er cs : Pour dditionner (ou soustrire) deux frctions de même dénominteur, il fut dditionner (ou soustrire) les numérteurs et conserver le dénominteur commun. B + c B = +c B et B c B = c B Pour prendre un bon déprt en 2nde G A Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges - Mssy Pge 1/9

2 Pour prendre un bon déprt en Seconde A Clcul lgébrique 2 ème cs : Pour dditionner (ou soustrire) deux frctions de dénominteurs différents, il fut chercher d bord un dénominteur commun, puis ppliquer le 1 er cs. Exemple : Clculer A= On est dns le 2ème cs. On cherche un dénominteur commun. On cherche dns l tble de 8, le premier nombre multiple de 12, ou l inverse. Tble de 8 : 8 ; 16 ; 24 est ussi un multiple de 12 ou Tble de 12 : 12 ; 24 est ussi un multiple de 8. On lors : A= = A= = A= = Multipliction des frctions Règle 6 : Pour multiplier deux nombres reltifs en écriture frctionnire, on multiplie les numérteurs entre eux et les dénominteurs entre eux, en respectnt l règle des signes. b c d = c b d Remrque : Attention! Il est vivement conseillé de décomposer le numérteur et le dénominteur pour simplifier AVANT d effectuer les clculs. Exemple : Clculer et donner le résultt sous l forme d une frction simple : A = D bord, il y trois signes «moins», donc A est négtif. Puis, on : A = 35 = = = 2 Donc : A = Inverse d un nombre reltif Définition : Deux nombres reltifs sont inverses si leur produit est égl à 1. Donc : Si x et x ' sont des nombres reltifs non nuls, lors x est l inverse de x ' si et seulement si x x'=1. L inverse d un nombre reltif non nul x est le nombre 1 x noté ussi x 1. Remrques : 0 n ps d inverse! (il n'existe ucun nombre dont le produit pr 0 donne 1.) Un nombre reltif et son inverse sont obligtoirement de même signe. Si x est un nombre reltif non nul, lors l inverse de son inverse est égl à lui-même. Si et b sont deux nombres non nuls, l inverse de b est 1 b. On lors les propriétés suivntes, pour tout nombre reltif x non nul : 1 x 1 x =1= 1 x x, 1 ( 1 = x et x ) ( b ) = b ( b ) = 1.7. Division des frctions Pour prendre un bon déprt en 2nde G A Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges - Mssy Pge 2/9

3 Pour prendre un bon déprt en Seconde A Clcul lgébrique Règle 7 : Pour diviser pr un nombre reltif (non nul), on multiplie pr son inverse. Donc, pour tous nombres reltifs et b non nuls, on b= b = 1 b En prticulier, si, b, c et d sont qutre nombres reltifs non nuls, comme l inverse de c 1 d s écrit ( c et est d ) égl à d c, on les églités suivntes : b) b c d =( ( c d ) = b 1 ( c d ) = b d c Attention à l position du «trit centrle de frction» et à l plce du signe égl Exemple : Clculer A =. On clcule d bord le numérteur, puis on multiplie pr l'inverse : A = = = Donc A = = Donc A = = Pr conséquent A = 3 2. Puissnces 2.1. Puissnces entières d'un nombre reltif. Définitions : Soit un nombre reltif non nul et n un entier nturel non nul. Alors, n se lit «élevé à l puissnce n» ou «exposnt n» et désigne le produit de n fcteurs, tous égux à. L'entier n s'ppelle «l'exposnt». n désigne l'inverse de n : n = D1 : D2 : n = 1 n n fcteurs vec, pr convention : 1 = et si 0, lors 0 =1. Enfin, 0 0 n'est ps défini. Exemples : 2 3 =2 2 2=8 et 2 3 = =1 8 Remrque : Nous vons défini les puissnces vec un exposnt positif ou négtifs, donc on peut supposer dorénvnt que les exposnts n et p sont des nombres reltifs Propriétés des puissnces Pour prendre un bon déprt en 2nde G A Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges - Mssy Pge 3/9

4 Propriétés : Pour prendre un bon déprt en Seconde A Clcul lgébrique Soient et b deux nombres reltifs non nul et n et p deux entiers reltifs. Alors, on les propriétés suivntes : P1 : n+p = n p P4 : ( b) n = n b n P2 : P3 : n p = n p P5 : ( b n p =( n ) p Exemple : Simplifier les clculs : A= )n = n b n On décompose chque puissnce, puis on regroupe et on simplifie : A= =(2 3)4 (2 2) 3 3 = = = = = = 2 3 Remrque : Nous vons défini les puissnces vec un exposnt positif ou négtifs, donc on peut supposer dorénvnt que les exposnts n et p sont des nombres reltifs Puissnces de 10 Définitions : (On pplique les mêmes définitions et propriétés que ci-dessus vec =10. Soit n un entier nturel non nul. Alors, 10 n se lit «10 élevé à l puissnce n» ou «10 exposnt n» et on : D1 : 10 n = = vec, pr convention : 10 1 =10 et 10 0 =1. Exemples : 10 2 = 100 ; 10 3 = 0,001 n fcteurs D2 : 10 n = 1 10 n=0, n zéros n zéros Tout nombre déciml positif N s'écrit d'une infinité de mnière sous l forme N = 10 n où est un (utre) nombre déciml et n un entier reltif. Exemples : 3500 = 350 x 10 1 = 35 x 10 2 = 3,5 x 10 3 = 0,35 x 10 4 =... 0,00085 = 85 x 10 5 = 8,5 x 10 4 = 850 x 10 6 =... Propriété et définition: Tout nombre déciml positif N s'écrit d'une mnière unique sous l forme N = 10 n où est un nombre déciml compris entre 0 et 1 et n un entier reltif. Le nombre s'écrit vec un seul chiffre différent de 0 vnt l virgule. Cette dernière écriture s'ppelle l nottion scientifique. Exemples : 3500 = 3,5 x ,00085 = 8,5 x x 10 8 = 3,57 x 10 2 x 10 8 = 3,57 x Rcine crrée Définition : Soit un nombre réel positif ou nul. L rcine crrée du nombre est le nombre réel positif ou nul, noté, dont le crré est égl à. Donc : ( ) 2 = Exemple : 9=3, 20=4, Pour prendre un bon déprt en 2nde G A Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges - Mssy Pge 4/9

5 Pour prendre un bon déprt en Seconde A Clcul lgébrique Remrque : L rcine crrée est l'opértion réciproque de l'opértion «élever u crré». En prticulier : L rcine crrée d'un nombre négtif n'existe ps. Propriétés : Soit et b deux nombres réels positifs, b 0. Alors, on les propriétés suivntes : P0 : 0 P1 : ( ) 2 = P2 : 2 = P3 : b= b P4 : b = b Mis ttention! Cel ne mrche ps pour l'ddition ni l soustrction. En générl, (ç ne mrche ps pour tous les nombres!) b= b et b b Simplifiction d'une rcine crrée : On dir qu'un nombre entier N est un crré prfit s'il s'écrit comme le crré d'un (utre) nombre k entier, c'est-à-dire : N = k 2. L liste des entiers crrés prfits est : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,... En combinnt les propriétés P2 et P3, on peut simplifier l'écriture de l rcine crrée d'un «grnd» nombre : Exemple :Simplifier l'écriture de 18. On décompose 18 en utilisnt l liste des entiers crrés prfits. On remrque que : 18 = 9 x 2. Donc : 18= 9 2= 9 2=3 2= Clcul littérl 4.1. Expression littérl Définition : Une expression littérl est une suite d'opértions sur les nombres dont certins sont (inconnus et) représentés pr des lettres, b, c, x, y, m, n,... qu'on ppelle des vribles. Exemple : A=3 x 2 5 x+7 est une expression littérl dépendnt de l vrible x. Il serit plus judicieux de l'ppeler A( x) qu'on lit «A de x». Dns cette expression, il y trois termes : 3 x 2 est un «terme en x 2», 5 x est un «terme en x» et «7» est un «terme constnt», 4.2. Le clcul lgébrique ) Vocbulire - Dns une ddition ; +b=s, et b s'ppellent des termes et s est l somme. - Dns une soustrction ; b=d, et b s'ppellent ussi des termes et d est l différence. Lorsqu'on utilise des nombres reltifs, soustrire revient à dditionner l'opposé. Donc, toutes les expressions de l forme +b=s ou b=d sont ppelées des sommes (sous-entendu «de nombres reltifs»). - Dns une multipliction ; b= p, et b s'ppellent des fcteurs et p est le produit. - Dns une division ; b=q, s'ppelle le dividende, b le diviseur et q est le quotient exct. - Dns une division euclidienne de pr b, le quotient q doit être un nombre entier. Il y donc un reste r qui doit être ussi un nombre entier compris entre 0 et b. On écrit : b) Propriétés élémentires du clcul lgébrique b signifie que =b q+r r q Pour prendre un bon déprt en 2nde G A Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges - Mssy Pge 5/9

6 Pour prendre un bon déprt en Seconde A Clcul lgébrique - P1 : Dns une ddition de nombres reltifs, on peut chnger l'ordre des termes et fire des groupements (judicieux), l somme ne chnge ps. Donc, si,, b et c sont des nombres reltifs, lors : +b=b+ et +b+c=(+b)+c=+(b+c) - P2 : De même, dns une multipliction de nombres reltifs, on peut chnger l'ordre des fcteurs et fire des groupements (judicieux), le produit ne chnge ps. Donc, si,, b et c sont des nombres reltifs, lors : b=b et b c=( b) c= (b c) c) Simplifiction d'écriture - Dns une suite d'opértions, l'bsence de signe signifie qu'il s'git d'une multipliction. A l plce de, On écrit b 2 x ( x+3) 2 ( x+3) (+b) ( x+3) = b = 2 x = (x+3) = 2( x+3) = (+b)( x+3) Attention! On ne supprime ps le signe de multipliction entre deux chiffres! d) Clculs simples On pplique les propriétés élémentires ci-dessus. Si et b sont des nombres reltifs, lors : +=2 +2 5b+3= b=6 5b 2 ( 3 b)=2 ( 3) b= 6 b 2 ( 3b) ( 5)=2 ( 3) ( 5) b=30 2 b e) Opposé d'une somme ou d'une différence L'opposé de tout nombre reltif x est x. L'opposé de l'opposé de tout nombre reltif x est égl à lui-même ( x)=x. Exemples : l'opposé de 3 = est ( 3). L'opposé de ( 3) est : ( 3) = + 3 = 3. L somme de tout nombre reltif x et de son opposé est égle à 0. Ainsi x+( x)=0= x+ x. Prendre l'opposé de tout nombre reltif x revient à multiplier ou diviser x pr ( 1). Ainsi : x=( 1) x= x ( 1)=x ( 1)= x ( 1) Opposé d'une somme : Opposé d'une différence : (+b)= b= +( b) ( b)= ( b)= +b On peut supprimer des prenthèses précédées d'un signe + sns rien chnger. +(b+c d )=+b+c d On peut supprimer des prenthèses précédées d'un signe à condition de chnger tous les signes à (b+c d )= b c+d Exemple : A=2 x+( x 3) ( x 7)=2 x+x 3 x+7=2 x+ x x 3+7=2 x+4. Remrque : Deux nombres opposés ont le même crré : ( x) 2 =x 2 Mis ttention pour x 0, on : x 2 ( x) 2 cr x 2 est l'opposé de x 2. Pour prendre un bon déprt en 2nde G A Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges - Mssy Pge 6/9

7 Pour prendre un bon déprt en Seconde A Clcul lgébrique 4.3. Clculer une expression Clculer une expression A( x)=3 x 2 5 x+7 pour x= 1 puis pour x= 2. Il suffit de remplcer x pr l vleur donnée dns tous les termes de l'expression donnée. Pour x= 1 Pour x= 2 A( 1)=3 ( 1) 2 5 ( 1)+7 A( 1)= A( 1)=3+5+7 A( 1)=15 A( 2)=3 ( 2) 2 5 ( 2)+7 A( 2)= A( 2)= A( 2)= A( 2)= L propriété de distributivité ) L distributivité simple Propriété de distributivité simple : Pour multiplier un nombre pr une somme ou une différence, on peut effectuer les clcules de deux mnières. On donc les églités suivntes, pour tous nombres reltifs, b et k : Développement k (+b)=k +k b k ( b)=k k b Fctoristion Définitions : Développer une expression lgébrique, revient à l trnsformer en une somme de deux ou plusieurs termes. Réduire une expression lgébrique développée, revient à l'écrire vec un minimum de termes possibles. Fctoriser une expression lgébrique, revient à l trnsformer en un produit de deux ou plusieurs fcteurs. Exemples : Ex.1 ) Développer et réduire les expressions : A( x)=2(3 x 5), B( x)=2 x(5 x 4)+7 et C (x)=3 x(2 x 4) 7(x 1). D'près l propriété de distributivité simple : A( x)=2(3 x 5) A( x)=2 3 x 2 5 A( x)=6 x 10 B( x)=2 x(5 x 4)+7 B( x)=2 x 5 x 2 x 4+7 B( x)=10 x 2 8 x+7 C (x)=3 x(2 x 4) 7(x 1) C (x)=3 x 2 x 3 x 4 7 x+7 1 C (x)=6 x 2 12 x 7 x+7 C (x)=6 x 2 19 x+7 Ex.2 ) Fctoriser les expressions : A( x)=8 x 12, B( x)=2 x 2 3 x et C (x)=15 x 2 20 x. Un fcteur commun numérique A( x)=8 x 12 A( x)=4 2 x 4 3 A( x)=4(2 x 3) A( x)=4(2 x 3) Un fcteur commun littérl B( x)=2 x 2 3 x B( x)= x 2 x x 3 B( x)= x(2 x 3) B( x)= x(2 x 3) Un fcteur commun numérique et un littérl C (x)=15 x 2 20 x C (x)=5 x x 5 4 x C (x)=5 x(x 4) C (x)=5 x(x 4) Pour prendre un bon déprt en 2nde G A Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges - Mssy Pge 7/9

8 Pour prendre un bon déprt en Seconde A Clcul lgébrique b) L distributivité double Propriété de distributivité simple : Pour tous nombres reltifs, b, c et d, on : En respectnt l règle des signes (+b)(c+d )= c+ d +b c+b d (+b)(c d )=c d +bc b d Ex.3 ) Développer et réduire les expressions : A( x)=(2 x 3)(3 x 4) A( x)=(2 x 3)(3 x 4) A( x)=2 x 3 x 2 x x+3 4 A( x)=6 x 2 8 x 9 x+12 A( x)=6 x 2 17 x Identités remrqubles Propriété : Pour tous nombres reltifs et b, on : Développement (+b) 2 = 2 +2b+b 2 ( b) 2 = 2 2b+b 2 ( b)(+b)= 2 b 2 I.R.n 1 I.R.n 2 I.R.n 3 Fctoristion Ex.4 ) Développer et réduire les expressions : A( x)=(2 x 3) 2 et B( x)=(3 x+2) 2 3 x(x 1) A( x) est une IR n 2, donc : A( x)=(2 x) x A( x)=4 x 2 12 x+9 B( x) contient une IR n 1, donc : B( x)=(3 x) x x x+3 x 1 B( x)=9 x x+4 3 x 2 +3 x B( x)=6 x x+4 Ex.5 ) Fctoriser les expressions : A( x)=4 x 2 9, B( x)=4 x 2 12 x+9 et C (x)=(4 x 3) 2 (2 x+2) 2 A( x) Contient deux termes et un signe. C'est une IR n 3, donc : A( x)=4 x 2 9 A( x)=(2 x) A( x)=(2 x 3)(2 x+3) B( x) Contient trois termes et un signe. Elle ressemble à une IR n 2, donc : B( x)=4 x 2 12 x+9 B( x)=(2 x) x B( x)=(2 x 3) 2 C (x) Est une différence de deux crrés. Elle ressemble à une IR n 3, vec =(4 x 3) et b=(2 x+2), donc : C (x)=[(4 x 3) (2 x+2)][(4 x 3)+(2 x+2)] Les crochets jouent le rôle de «grndes prenthèses». On supprime les prenthèses pour réduire à l'intérieur des crochets. Attention ux signes. C (x)=(4 x 3 2 x 2)(4 x 3+2 x+2) C (x)=(2 x 5)(6 x 1) C'est une expression fctorisée! CQFD! Pour prendre un bon déprt en 2nde G A Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges - Mssy Pge 8/9

9 4.6. Chngement de registre Pour prendre un bon déprt en Seconde A Clcul lgébrique L figure suivnte est formée de trois prties identiques formées chcune d'un crré et d'un rectngle juxtposé (collé) ynt un côté de longueur 2. Exprimer l'ire de l figure en trois couleurs. x x x x 2 x 2 x 2 Une expression lgébrique peut être écrite de différentes fçons. On dit dns différents registres : - Le registre du lngge cournt : Si on choisit un nombre, «A est égle u triple de l somme du crré du nombre choisi et du double de ce nombre». - Le registre du lngge formel : A est exprimé vec des formules, c'est du clcul littérl! Si on ppelle x le nombre choisi, lors A( x)=3( x 2 +2 x). - Le registre de l'lgorithmique : C'est un petit progrmme qui permet d'fficher l vleur de A pour chque vleur choisie du nombre. Choisir un nombre Élever ce nombre u crré Ajouter le double du nombre Multiplier le résultt obtenu pr 3 Afficher le résultt Bien évidemment, il y d'utres mnières de trouver le même résultt. Donc, d'utres progrmmes,... - Le registre grphique : A prtir de l'expression lgébrique, on construit une courbe vec un logiciel ou sur une clcultrice. On peut lire A(x) pour chque vleur de x. On peut psser d'un registre à un utre, comme un trducteur qui trnscrit un texte d'une lngue à une utre. Pour prendre un bon déprt en 2nde G A Abdelltif ABOUHAZIM. Lycée Fustel de Coulnges - Mssy Pge 9/9