Statistique descriptive

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1 Présentation d une série statistique simple Chapitre 1 : Séries statistiques simples Télécom Saint-Étienne janvier 20

2 Sommaire 1 Présentation d une série statistique simple Série à valeurs isolées Série à valeurs classées 2 3

3 Plan 1 Présentation d une série statistique simple Série à valeurs isolées Série à valeurs classées 2 3

4 Définition Présentation d une série statistique simple Série à valeurs isolées Série à valeurs classées On a observé sur n individus d une population un caractère quantitatif x dont on note les valeurs observées : x 1,,x n.

5 Définition Présentation d une série statistique simple Série à valeurs isolées Série à valeurs classées On a observé sur n individus d une population un caractère quantitatif x dont on note les valeurs observées : x 1,,x n. Définition (x 1,,x n ) est appelée une série statistique simple.

6 Présentation d une série statistique simple Série à valeurs isolées Série à valeurs isolées Série à valeurs classées Les séries statistiques simples à valeurs isolées sont utilisées pour les caractères quantitatifs discrets. On regroupe les valeurs égales de la série, on note l effectif de chaque valeur isolée et on les range par ordre croissant. On suppose qu il y a r valeurs différentes : y 1,,y r.

7 Présentation d une série statistique simple Série à valeurs isolées Série à valeurs isolées Série à valeurs classées Les séries statistiques simples à valeurs isolées sont utilisées pour les caractères quantitatifs discrets. On regroupe les valeurs égales de la série, on note l effectif de chaque valeur isolée et on les range par ordre croissant. On suppose qu il y a r valeurs différentes : y 1,,y r. Table : Série à valeurs isolées Valeurs isolées y 1 y 2 y i y r Effectifs n 1 n 2 n i n r Fréquences f 1 = n 1 n f 2 = n 2 n f i = n i n f r = nr n

8 Exemple Proposition D abord, r n. Ensuite : r n i = n et i=1 r f i = 1. i=1 Ici, f i est la proportion d éléments de la série égaux à y i.

9 Exemple Proposition D abord, r n. Ensuite : r n i = n et i=1 r f i = 1. i=1 Ici, f i est la proportion d éléments de la série égaux à y i. Table : Exemple de série à valeurs isolées x i n i (effectifs) f i (fréquence) N i F i

10 Diagramme en bâtons des effectifs On représente cette série par le diagramme en bâtons des effectifs (ou des fréquences) : Figure : Effectifs d une série statistique simple

11 Diagramme en bâtons des effectifs On représente cette série par le diagramme en bâtons des effectifs (ou des fréquences) : Figure : Effectifs d une série statistique simple Les points où l on a un maximum relatif (ou local) de l effectif (ou de la fréquence) sont appelés des modes. Dans le Tableau, les modes sont en et 40.

12 Présentation d une série statistique simple Effectifs cumulés - 1 Série à valeurs isolées Série à valeurs classées On calcule les effectifs cumulés et les fréquences cumulées (l équivalent de la fonction de répartition) : N i := n 1 + +n i, et F i := f 1 + +f i = N i n. N i est le nombre d éléments de la série qui sont inférieurs ou égaux à x i. Et, F i est la proportion de tels éléments. Ainsi, douze éléments de la série sont inférieurs ou égaux à 40.

13 Présentation d une série statistique simple Effectifs cumulés - 2 Série à valeurs isolées Série à valeurs classées On construit ensuite le diagramme en bâtons des effectifs cumulés (ou des fréquences cumulées) : Figure : Effectifs cumulés d une série statistique simple

14 Présentation Présentation d une série statistique simple Série à valeurs isolées Série à valeurs classées Les séries à valeurs classées sont utilisées pour les caractères quantitatifs continus. On regroupe les éléments de la série dans des intervalles semi-ouverts [z i ;z i+1 [ appelés classe. Et, on note l effectif (et la fréquence de chaque classe). On considère s classes.

15 Présentation Présentation d une série statistique simple Série à valeurs isolées Série à valeurs classées Les séries à valeurs classées sont utilisées pour les caractères quantitatifs continus. On regroupe les éléments de la série dans des intervalles semi-ouverts [z i ;z i+1 [ appelés classe. Et, on note l effectif (et la fréquence de chaque classe). On considère s classes. Table : Série à valeurs classées Classes [z 0 ;z 1 [ [z 1 ;z 2 [ [z i 1 ;z i [ [z s 1 ;z s [ Effectifs n 1 n 2 n i n s Fréquences f 1 = n 1 n f 2 = n 2 n f i = n i n f s = ns n

16 Exemple Proposition D abord, s n. Ensuite : s n i = n et i=1 s f i = 1. i=1

17 Exemple Proposition D abord, s n. Ensuite : s n i = n et i=1 s f i = 1. i=1 On donne un exemple avec n = : Table : Exemple de série à valeurs classées [z i 1 ;z i [ n i f i z i z i 1 k i n i k i (effectifs corrigés) F i [100; 120[ [120; 130[ [130; 140[ [140; 0[ [0; 170[

18 Histogramme des effectifs On regarde maintenant l histogramme des effectifs (ou des fréquences). En abscisse, on met les bornes des classes et en ordonnée les effectifs par unité de longueur de classe (effectifs corrigés) : Figure : Aire du rectangle d un histogramme L aire du rectangle est A i = (z i z i 1 ) n i k i = k i u n i k i = n i u.

19 Présentation d une série statistique simple Exemple d histogramme Série à valeurs isolées Série à valeurs classées Figure : Histogramme des effectifs corrigés

20 Présentation d une série statistique simple Classes modales et modes Série à valeurs isolées Série à valeurs classées Définition Les classes pour lesquelles on a un maximum relatif ou local de l effectif corrigé sont appelées classes modales. On prend pour modes les milieux des classes modales.

21 Présentation d une série statistique simple Classes modales et modes Série à valeurs isolées Série à valeurs classées Définition Les classes pour lesquelles on a un maximum relatif ou local de l effectif corrigé sont appelées classes modales. On prend pour modes les milieux des classes modales. Ici, la classe modale est [130;140[ et le mode est 135. Les effectifs cumulés et les fréquences cumulées sont calculés de la même manière que pour les séries statistiques simples à valeurs isolées. Ainsi, 50 éléments sont strictement inférieurs à 140. N i (respectivement F i ) représente le nombre (respectivement la proportion) d éléments de la série strictement inférieurs à z i.

22 Présentation d une série statistique simple Courbe des effectifs cumulés Série à valeurs isolées Série à valeurs classées On obtient la courbe des effectifs cumulés (ou celle des fréquences cumulées) en joignant par des segments de droite les points (z i,n i ) (ou (z i,f i )). Ici, on a : Figure : Courbe des effectifs cumulés

23 Par convention, on posejulian N 0 Tugaut = F 0 = Statistique 0. descriptive Présentation d une série statistique simple Courbe des effectifs cumulés Série à valeurs isolées Série à valeurs classées On obtient la courbe des effectifs cumulés (ou celle des fréquences cumulées) en joignant par des segments de droite les points (z i,n i ) (ou (z i,f i )). Ici, on a : Figure : Courbe des effectifs cumulés

24 Plan 1 Présentation d une série statistique simple 2 3

25 Présentation d une série statistique simple On se donne une série statistique simple (x 1,,x n ).

26 Présentation d une série statistique simple On se donne une série statistique simple (x 1,,x n ). Définition On appelle moyenne arithmétique de cette série le nombre égal à la somme des éléments de la série divisé par l effectif n. On note x cette moyenne arithmétique : x = ni=1 x i n.

27 Présentation d une série statistique simple On se donne une série statistique simple (x 1,,x n ). Définition On appelle moyenne arithmétique de cette série le nombre égal à la somme des éléments de la série divisé par l effectif n. On note x cette moyenne arithmétique : x = ni=1 x i n. Cette quantité correspond à l espérance dans le cas d une variable aléatoire réelle discrète.

28 Présentation d une série statistique simple On se donne une série statistique simple (x 1,,x n ). Définition On appelle moyenne arithmétique de cette série le nombre égal à la somme des éléments de la série divisé par l effectif n. On note x cette moyenne arithmétique : x = ni=1 x i n. Cette quantité correspond à l espérance dans le cas d une variable aléatoire réelle discrète. Remarque La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes (qui peuvent être aberrantes) de la série.

29 Calcul dans le cas d une série à valeurs isolées x i n i (effectifs) f i (fréquence) N i F i

30 Calcul dans le cas d une série à valeurs isolées x i n i (effectifs) f i (fréquence) N i F i Alors, la moyenne arithmétique est égale à x = 2 39, ,5+2 39, , ,5 = 39..

31 Calcul dans le cas d une série à valeurs isolées x i n i (effectifs) f i (fréquence) N i F i Alors, la moyenne arithmétique est égale à x = 2 39, ,5+2 39, , ,5 = 39.. On remarque par ailleurs : x = r f i x i. i=1

32 Calcul dans le cas d une série à valeurs classées On peut faire l approximation consistant à supposer que pour toute classe [z i 1 ;z i [, les éléments de la série à l intérieur de cette classe sont égaux à z i 1+z i 2. On est alors ramené au cas précédent.

33 Calcul dans le cas d une série à valeurs classées On peut faire l approximation consistant à supposer que pour toute classe [z i 1 ;z i [, les éléments de la série à l intérieur de cette classe sont égaux à z i 1+z i 2. On est alors ramené au cas précédent. [z i 1 ;z i [ n i f i z i z i 1 k i n i k i (effectifs corrigés) F i [100; 120[ [120; 130[ [130; 140[ [140; 0[ [0; 170[

34 Calcul dans le cas d une série à valeurs classées On peut faire l approximation consistant à supposer que pour toute classe [z i 1 ;z i [, les éléments de la série à l intérieur de cette classe sont égaux à z i 1+z i 2. On est alors ramené au cas précédent. [z i 1 ;z i [ n i f i z i z i 1 k i n i k i (effectifs corrigés) F i [100; 120[ [120; 130[ [130; 140[ [140; 0[ [0; 170[ x = =

35 Plan 1 Présentation d une série statistique simple 2 3

36 Définitions Présentation d une série statistique simple Définition On appelle variance de la série statistique simple x la moyenne des carrés des écarts des éléments de la série à leur moyenne arithmétique x : sx 2 = 1 n (x i x) 2. n i=1

37 Définitions Présentation d une série statistique simple Définition On appelle variance de la série statistique simple x la moyenne des carrés des écarts des éléments de la série à leur moyenne arithmétique x : sx 2 = 1 n (x i x) 2. n i=1 Définition On appelle écart-type de la série la racine carrée de la variance : s x : s x = 1 n n (x i x) 2. i=1

38 Exemples Présentation d une série statistique simple Exemple On considère la série x := (9,11). Sa moyenne est 10 et sa variance est s 2 x = 1 2 [ (9 10) 2 +(11 10) 2] = 1.

39 Exemples Présentation d une série statistique simple Exemple On considère la série x := (9,11). Sa moyenne est 10 et sa variance est s 2 x = 1 2 [ (9 10) 2 +(11 10) 2] = 1. Exemple On considère la série x := (5,). Sa moyenne est 10 et sa variance est s 2 x = 1 2 [ (5 10) 2 +( 10) 2] = 25.

40 Présentation d une série statistique simple Formule de calcul Proposition Soit une série statistique simple x := (x 1,,x n ). On note x 2 la série statistique simple : x 2 := ( x 2 1,,x2 n). On a alors s 2 x = x 2 x 2.

41 Présentation d une série statistique simple Formule de calcul Proposition Soit une série statistique simple x := (x 1,,x n ). On note x 2 la série statistique simple : x 2 := ( x 2 1,,x2 n). On a alors s 2 x = x 2 x 2. Cette formule est à rapprocher de Var[X] = E[X 2 ] E[X] 2.

42 Présentation d une série statistique simple Calcul dans le cas d une série à valeurs isolées x i n i (effectifs) f i (fréquence) N i F i

43 Présentation d une série statistique simple Calcul dans le cas d une série à valeurs isolées x i n i (effectifs) f i (fréquence) N i F i Ici, x = 39.. Et la variance est sx 2 = 1 [2 ( ) ( ) 2] =

44 Calcul dans le cas d une série à valeurs classées [z i 1 ;z i [ n i f i z i z i 1 k i n i k i (effectifs corrigés) F i [100; 120[ [120; 130[ [130; 140[ [140; 0[ [0; 170[

45 Calcul dans le cas d une série à valeurs classées [z i 1 ;z i [ n i f i z i z i 1 k i n i k i (effectifs corrigés) F i [100; 120[ [120; 130[ [130; 140[ [140; 0[ [0; 170[ On fait l approximation consistant à supposer que pour toute classe [z i 1 ;z i [, les éléments de la série à l intérieur de cette classe sont égaux à z i 1+z i 2. On est alors ramené au cas précédent.

46 Calcul dans le cas d une série à valeurs classées d où l écart-type est s x [z i 1 ;z i [ n i f i z i z i 1 k i n i k i (effectifs corrigés) F i [100; 120[ [120; 130[ [130; 140[ [140; 0[ [0; 170[ On fait l approximation consistant à supposer que pour toute classe [z i 1 ;z i [, les éléments de la série à l intérieur de cette classe sont égaux à z i 1+z i 2. On est alors ramené au cas précédent. Ainsi, on a déjà vu que l on avait x = Et, la variance est sx 2 = = ,

47 Présentation d une série statistique simple Coefficient de dispersion Le coefficient de dispersion mesure la dispersion de la série en tenant compte de sa moyenne arithmétique. Il s agit de s x x. Ce coefficient ne dépend pas de l unité de mesure choisie.