SCHEMA DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE. EXEMPLES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "SCHEMA DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE. EXEMPLES"

Transcription

1 SCHEMA DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE EXEMPLES Nveau : termale Pré-requs : Espace probablsé Varable aléatore réelle sur u espace probablsé f Lo de probablté de X Espérace mathématque Varace O se place das u espace probablsé (, T, I Lo et épreuve de Beroull Ω () Défto : O appelle épreuve de Beroull ue expérece aléatore ayat deux ssues possbles, le succès S de probablté p et l échec E de probablté p Défto : O appelle lo de Beroull de probablté p otée B(, p ) (ou B( p ) ) la lo de probablté, assocée à la varable aléatore otée X sur Ω, à valeur das [ 0, ] et défe par p( X = ) = p et p( X = 0) = p L évéemet { X = } est appelé «succès» L évéemet { X = 0} est appelé «échec» X est appelée varable de Beroull Exemple : jeu de dé équlbré O cosdère l évéemet S = {l as sort} :, 0, O a la varable aléatore X { S E} { } où S = { } et {,3,4,5,6 } 6 5 p E = 6 p ( S ) = et ( ) X sut la lo Proposto : B, 6 E = Sot X ue varable aléatore suvat ue lo B(, p ) Alors E ( X ) ( ) = ( ) V X p p Preuve : ( ) ( ) 0 ( 0) ( ) E X = x p X = x = p X = + p X = = p = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) V X = E X E X = E X E X () = p et

2 = = + = = doc V ( X ) = p p = p ( Or ( ) 0 ( 0) ( ) E X p X p X p La varable aléatore de Beroull est ue varable aléatore dcatrce, elle dque la réalsato évetuelle de l évéemet de probablté p II Schéma de Beroull et lo bomale Défto : O appelle schéma de Beroull la répétto de épreuves de Beroull ( N ) detques et dépedates Proposto : (3) Sot X la varable aléatore comptat le ombre de succès après épreuves de X : Ω 0,, Beroull de paramètre p : { } Alors pour tout 0, : p( X = ) = p ( p ( p ) = (formule du bôme) = Défto : Sot X la varable aléatore comptat le ombre de succès après épreuves de Beroull de paramètre p O dt que X est ue varable aléatore bomale qu sut ue lo bomale de paramètres et p et telle que p( X = ) = p ( O la ote B(, p ) Exemples : O lace u dé ordare 0 fos de sute et o ote, à chaque lacer, le ombre marqué par le dé O suppose que le résultat de chaque lacer est dépedat des résultats précédemmet obteus Quelle est la probablté d obter 4 fos u as? X sut la lo B 0, p( X = 4) = 0, Proposto : Sot X ue varable aléatore suvat ue lo B(, p ), alors o a E ( X ) ( ) = ( ) V X p p = p et Preuve : O a X = X + + X où les X sot les épreuves de Beroull Elles sot dépedates et V X V X V X p p p p = = = ( ) = = ( ) = ( ) = ( )

3 III Applcatos O effectue des trages au hasard das ue ure coteat boules rouges et 6 boules blaches A chaque trage, o regarde la couleur de la boule trée pus o remet cette boule das l ure avat de fare u ouveau trage Sot X la varable aléatore égale au «ombre de boules rouge trées au cours de 5 trages» Doer la lo de probablté de X Que valet l espérace et la varace de X? 3 Combe de trages dot-o effectuer pour que la probablté d obter au mos ue boule rouge sot plus grade que 0,95? (4)

4 COMPLEMENTS ) Ω est u esemble quelcoque, appelé uvers Ses élémets sot des évetualtés T est ue famlle o-vde de partes de Ω dot les élémets sot appelés des évéemets L esemble T a ue structure de σ a lg èbre ou de trbu : Il cotet Ω et Il est stable par passage au complémetare Il est stable pour toute réuo ou tersecto déombrables Ω, A forme u espace probablsable ou mesurable Le couple ( ) p est ue probablté sur l espace ( Ω, A), c'est-à-dre ue applcato de T à valeurs das l tervalle [ 0, ] tel que : p( Ω ) = Pour toute sute d évéemets ( A ) deux à deux dsjots : p A = p ( A ) ) Preuve Motros que ( ) ( ) ( ) ( ( )) E X E X = E X E X E utlsat la proprété de léarté de l espérace mathématque : ( ) ( ) = ( ) + ( ) V X E X XE X E X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( E ( X )) = E X E X E X + E X = E X = = 3) Preuve La probablté d avor succès et échec est p ( Or l y a faços de chosr parm les évéemets Doc pour tout 0,, p ( X = ) = p ( Défto : X X est ue sute de varable de Beroull défes sur le même espace de S ( ) probablté, dépedates, de même lo p( X ) = = p, pour tout, la varable X = X + + X est appelée varable aléatore bomale de paramètres et p X compte le ombre de succès lors de l expérece

5 4) Soluto X sut la lo B 5, 4 p( X ) ( = ) p X = = pour = = 4 6 p A > avec A = «obter au mos ue boule rouge» E ( X ) = p = et V ( X ) p ( 3 ( ) 0,95 ( ) = p( X = 0) Or p( X 0) p ( p A Or o cherche tel que ( ) 0, = = = 0 p A > 3 > 0,95 3 < 0,05 3 l < l 0, 05 l ( 0, 05) > 3 l 4 > 0, 4 ( ) Or est u eter Doc l faut effectuer trages pour que p( A ) > 0,95

Cours (Terminale) Probabilités (révisions 1 ère )

Cours (Terminale) Probabilités (révisions 1 ère ) Cours (Termale) Probabltés (révsos ère ) Quelques rappels et complémets sur les esembles Uo de deux esembles O appelle «uo de deux esembles E et F» l esemble oté E F dot les élémets sot costtués des élémets

Plus en détail

Partie 1. Corrigé de CCIP 2000 par Pierre Veuillez

Partie 1. Corrigé de CCIP 2000 par Pierre Veuillez Corrgé de CCIP 2000 par Perre Veullez Das tout le problème, désge u eter aturel o ul. O cosdère ue ure U coteat boules umérotées de à. O tre ue boule au hasard das U. O ote k le uméro de cette boule. S

Plus en détail

I. Qu est-ce qu une variable aléatoire?

I. Qu est-ce qu une variable aléatoire? I. Qu est-ce qu ue varable aléatore?. Défto : Sot ue expérece aléatore dot l esemble des résultats possbles (l uvers est oté Ω. Ue varable aléatore est ue focto X allat de Ω sur R, c est-à-dre que c est

Plus en détail

Probabilités : Loi binomiale

Probabilités : Loi binomiale Probabilités : Loi biomiale Christophe ROSSIGNOL Aée scolaire 204/205 Table des matières Répétitio d expérieces idetiques et idépedates 2. Défiitio................................................. 2.2

Plus en détail

Une urne contient 5 boules rouges, 5 boules blanches et 6 boules bleues.

Une urne contient 5 boules rouges, 5 boules blanches et 6 boules bleues. Lycée Paul Gaugu CPGE-EC Aée 04/05 Exercces «basques» Fche N : Exercces sur les varables aléatores réelles dscrètes Exercce. : O cosdère deux dés dscerables be équlbrés. O ote X la varable aléatore égale

Plus en détail

PRO 1 EXPRO010 EXPRO019

PRO 1 EXPRO010 EXPRO019 Exercces résolus de mathématques. PRO 1 EXPRO010 EXPRO019 http://www.matheux.be.tf Jacques ollot 1 avrl 03 www.matheux.be.tf - PRO 1-1 - EXPRO010W Ue ure cotet boules blaches ( 4) et 10 boules ores. O

Plus en détail

Enoncés. b) Déterminer la loi de Z et montrer que Z suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

Enoncés. b) Déterminer la loi de Z et montrer que Z suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. Eocés Eercce Soet * lîn et p Î ],[. Sot N la varable aléatore égale au ombre de clets d'u marchad de fruts et légumes u jour doé. O suppose que N sut ue lo de Posso de paramètre l et que chaque clet achète

Plus en détail

Juin 2014 MATHEMATIQUES

Juin 2014 MATHEMATIQUES Jui 014 1 ères S MATHEMATIQUES Voici ue série d exercices sur différets thèmes abordés e classe de première S. Ils vous permettrot de repredre cotact avec les mathématiques avat d aborder la classe de

Plus en détail

Lois de probabilités liées aux tirages de boules dans une urne Approche sondage : échantillonnage et estimation dans une population finie

Lois de probabilités liées aux tirages de boules dans une urne Approche sondage : échantillonnage et estimation dans une population finie Los de probabltés lées aux trages de boules das ue ure Approche sodage : échatlloage et estmato das ue populato fe Das le ouveau programme de secode, retrée 2009, sot scrtes les otos d'tervalle de fluctuato

Plus en détail

3- LES TIRAGES PROBABILISTES D'ECHANTILLONS

3- LES TIRAGES PROBABILISTES D'ECHANTILLONS 3- LES TIRAGES PROBABILISTES D'EHATILLOS Das de ombreuses alcatos ratques du calcul des robabltés, o retrouve u ou luseurs des schémas de trages robablstes d'échatllos que ous allos exoser. Le cadre gééral

Plus en détail

Exercices sur le conditionnement : corrigé

Exercices sur le conditionnement : corrigé Exercces sur le codtoemet : corrgé ECE Lycée Kastler mars 008 Exercce * Pour be compredre commet ça se passe le meux est de commecer par retradure claremet l'éocé e utlsat les otatos esemblstes vues e

Plus en détail

BTS BLANC Mai ; on pose A. en fonction de an. puis écrire an

BTS BLANC Mai ; on pose A. en fonction de an. puis écrire an BTS BLANC Ma 0 Epreuve : Mathématques Géérales et Applquées Flère : DA / ARLE Durée: heures NB : Chaque parte dot être tratée sur des copes dfféretes I- MATHEMATIQUES GENERALES Exercce a b Sot le Sot la

Plus en détail

INITIATION AUX PROBABILITES

INITIATION AUX PROBABILITES INITIATION AUX PROBABILITES. Vocabulare.. Expérence aléatore Une expérence aléatore est une expérence dont les résultats sont lés au hasard. Exemple : le trage d'une carte à jouer... Evènement Un événement

Plus en détail

PRINCIPES DES STATISTIQUES INFERENTIELLES

PRINCIPES DES STATISTIQUES INFERENTIELLES Chaptre 3 PRINCIPES DES STATISTIQUES INFERENTIELLES Bases de la statstque féretelle PLPSTA0 0 Chaptre 3 1. Problématque. Objectfs des statstques féretelles.1 Estmato poctuelle. Estmato par tervalles.3

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Lois de probabilité

Synthèse de cours (Terminale S) Lois de probabilité Sythèse de cours (Termiale S) Lois de robabilité Elémets de déombremet Factorielle d u etier aturel Soit u etier aturel. Si est o ul, o aelle «factorielle» ou «factorielle de», l etier, oté!, égal au roduit

Plus en détail

LEÇON N 6 : Loi de Poisson, loi normale.

LEÇON N 6 : Loi de Poisson, loi normale. LEÇON N 6 :. Pré-requs : Probabltés : défto, calculs et probabltés codtoelles ; Lo bomale cf. leço o 5) ; Noto de varables aléatores dscrètes et cotues cf. leços o 4 et 7), et proprétés assocées : espérace,

Plus en détail

Statistiques II Sc. Éco. & Gestion (S3) Pr. M. El Merouani 3-Notation ensembliste des événements :

Statistiques II Sc. Éco. & Gestion (S3) Pr. M. El Merouani 3-Notation ensembliste des événements : wwwelmerouajmdocom Statstques II Sc Éco & Gesto S r M El Meroua Chaptre : roaltés I Itroducto : -Epreuve ou expérece : O appelle épreuve ou expérece ue certae acto que l o peut répéter pluseurs fos ar

Plus en détail

Probabilités. est la i ième valeur possible. L ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x

Probabilités. est la i ième valeur possible. L ensemble des issues auxquelles on associe la même valeur x Probabltés A) Varable aléatore et lo de probablté Varable aléatore Défto : O cosdère l'esemble E des ssues d'ue expérece aléatore Défr ue varable aléatore X sur cet esemble, c est assocer u ombre à chaque

Plus en détail

On applique le théorème de Pythagore au triangle AIE est rectangle en I AI 2 IE 2 AE 2 IE IE 1 2

On applique le théorème de Pythagore au triangle AIE est rectangle en I AI 2 IE 2 AE 2 IE IE 1 2 Exercce Lba 6 4 pots O cosdère u solde ADECBF costtué de deux pyramdes detques ayat pour base commue le carré ABCD de cetre I. Ue représetato e perspectve de ce solde est doée e aexe (à redre avec la cope).

Plus en détail

Probabilité conditionnelle 4 ème Sciences Avril 2010

Probabilité conditionnelle 4 ème Sciences Avril 2010 Probabilité coditioelle 4 ème Scieces vril 200 LTOUI Raels { e e e } Ω=, 2,, est l uivers des ossibles (esemble des évetualités) associé à ue éreuve, exériece, u jeu, Exemles : Lacer d ue ièce de moaie

Plus en détail

Probabilités conditionnement et partition

Probabilités conditionnement et partition Probabltés codtoemet et partto A) Varables aléatores dscrètes 1 Lo de probablté d ue varable aléatore Défto : Défr ue lo de probablté P d'ue varable aléatore X, c est assocer à chaque valeur x, de la varable

Plus en détail

2. On présente ensuite une proposition : l'équiprobabilité à chaque étape entraîne l'équiprobabilité sur l'ensemble des résultats.

2. On présente ensuite une proposition : l'équiprobabilité à chaque étape entraîne l'équiprobabilité sur l'ensemble des résultats. rbre de déombremet et arbre de probablté Pla du documet. O présete tout d'abord la règle du produt pour les arbres de déombremet avec, e cas partculer, le cardal d'u produt cartése d'esembles fs.. O présete

Plus en détail

Cours 4 SUITES DE NOMBRES RÉELS

Cours 4 SUITES DE NOMBRES RÉELS Cours 4 SUITES DE NOMBRES RÉELS A/ GÉNÉRALITÉS 1. Défiir ue suite de ombres réels Ue suite u de ombres réels, est ue foctio défiie sur N qui, à chaque etier aturel, associe u ombre oté u. Ce ombre u s

Plus en détail

Terminales S Exercices sur les nombres complexes Page 1 sur 6

Terminales S Exercices sur les nombres complexes Page 1 sur 6 Termales S Exercces sur les ombres complexes Page sur 6 Exercce : ) Calculer, et 5 6 7 ) E dédure, et ) Détermer les eters pour lesquels est a) u réel, b) est u magare pur, c) égal à Exercce : Ecrre sous

Plus en détail

Statistique. 3 ème Maths Mai 2010 A. LAATAOUI. I. Introduction :

Statistique. 3 ème Maths Mai 2010 A. LAATAOUI. I. Introduction : Statstque 3 ème Maths Ma 00 A LAATAOUI I Itroducto : La statstque est ue scece ayat pour objet l étude des phéomèes socau surtout ceu doat leu à des varatos ou ceu e pouvat être suffsammet maîtrsés que

Plus en détail

1 + ln x + 1 2. MA + MB + MC + MD. AMERIQUE DU SUD Novembre 2000

1 + ln x + 1 2. MA + MB + MC + MD. AMERIQUE DU SUD Novembre 2000 MERIQUE DU SUD Novembre 000 EXERIE U sac cotiet trois boules umérotées respectivemet 0, et, idiscerables au toucher. O tire ue boule du sac, o ote so uméro et o la remet das le sac ; puis o tire ue secode

Plus en détail

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 3 : Variables aléatoires réelles

L2 Mention Informatique. UE Probabilités. Chapitre 3 : Variables aléatoires réelles L Meto Iformatque UE Probabltés Chaptre 3 : Varables aléatores réelles Notes de cours rédgées par Rége Adré-Obrecht, Jule Pquer, Serge Solovev Sot (, A, P) Ω et X : Ω R ue varable aléatore. I. Varable

Plus en détail

Chapitre I : Series statistiques à une variable.

Chapitre I : Series statistiques à une variable. Dael Abécasss. Aée uverstare 200/20 Prépa- L. Cours de bo-statstques. Chaptre I : Seres statstques à ue varable. I.. Objectfs. Pour défr le sujet que ous allos trater, je me permets de me référer au mathématce

Plus en détail

I. Moyenne, variance et écart-type d une série statistique

I. Moyenne, variance et écart-type d une série statistique I Moyee, varace et écart-type d ue sére statstque Sére statstque dscrète : Eemple d ue sére statstque dscrète : Preos le cas d ue classe de élèves qu réalset u devor oté sur 5 La sére statstque dscrète

Plus en détail

Variables aléatoires, Estimation ponctuelle, Principes généraux sur les tests

Variables aléatoires, Estimation ponctuelle, Principes généraux sur les tests Variables aléatoires, Estimatio poctuelle, Pricipes gééraux sur les tests Mémo 215-216 1 Rappels sur les variables aléatoires Défiitio 1.1 (Loi de Beroulli B(π)) C est ue ue variable aléatoire discrète

Plus en détail

1. Test d indépendance du KHI-2

1. Test d indépendance du KHI-2 1. Test d dépedace du HI- Ecrre ue focto qu réalse le test d dépedace du kh-. Etrée : x et y, deux vecteurs, de type factor Sorte : statstque de test, degrés de lberté, p-value Idcatos : Vous devez vérfer

Plus en détail

EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES

EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES EXERCICES SIMULATION LOIS DISCRETES EXERCICE 1 : 1) Ecrire u programme qui revoie le lacer d u lacer de dé équilibré 2) Trasformer le programme précédet pour qu il simule ue série de 100 lacers d u dé

Plus en détail

Programmation linéaire en nombres entiers

Programmation linéaire en nombres entiers Programmato léare e ombres eters Itroducto Problème de programmato léare e ombres eters (P) M Suet à = = c a = b =,, m 0, eter =,, Eemple M z = Suet à, + 0 5 0 0, eter F(P) = domae réalsable de P Itroducto

Plus en détail

MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE OUI NON

MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE OUI NON BAC BLANC MATIERE : MATHEMATIQUES OBLIGATOIRE CLASSE de : Termale S SALLE : Grade Permaece PROFESSEUR : Mle GUIHENEUF ATE : Vedred javer 6 HEURE ébut : 8 h HEURE f : h MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE

Plus en détail

Probabilités - Exercices corrigés

Probabilités - Exercices corrigés Probabilités - Exercices corrigés Y. Morel Exercice 1 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [ 5; ]. Calculer : a P X La fonction densité de probabilité de la loi uniforme sur [ 5;

Plus en détail

Informatique quantique IFT6155. Algorithmes simples

Informatique quantique IFT6155. Algorithmes simples Iformatique quatique IFT6155 Algorithmes simples 1 Calcul de foctios À chaque foctio f : X Y o peut associer ue opératio uitaire F x y := x y f(x) clairemet F = F, F F = I et F x 0 := x f(x) Si f est ue

Plus en détail

Lorsqu on effectue plusieurs épreuves de Bernoulli successives, indépendantes les unes des autres, on dit qu il s agit d un schéma de Bernoulli.

Lorsqu on effectue plusieurs épreuves de Bernoulli successives, indépendantes les unes des autres, on dit qu il s agit d un schéma de Bernoulli. Chapitre 7 Loi binomiale. Échantillonnage I Schéma de Bernoulli I - 1) épreuve de Bernoulli * lorsque, dans une expérience aléatoire, on s intéresse uniquement à la réalisation d un certain événement S

Plus en détail

Méthode du simplexe: préliminaires. 2. Programmation linéaire. Solution de base. Méthode du simplexe: préliminaires. b. Méthode du simplexe

Méthode du simplexe: préliminaires. 2. Programmation linéaire. Solution de base. Méthode du simplexe: préliminaires. b. Méthode du simplexe Méthode du smplee: prélmares Modèles de recherche opératoelle (RO). Programmato léare b. Méthode du smplee Das le cas où l y a ue fté de solutos, la méthode d élmato de Gauss-Jorda permet d detfer tros

Plus en détail

Quelques inégalités classiques

Quelques inégalités classiques Quelques iégalités classiques O se propose de motrer, sous forme d exercices, quelques iégalités classiques. Les preuves de ces iégalités e écessitet que quelques coaissaces élémetaires.. Exercices classiques

Plus en détail

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

EPREUVE DE MATHEMATIQUES Sesso févrer 009 BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR «COMPTABILITE ET GESTION DES ORGANISATIONS» EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée : heures Coeffcet : Matérel et documets autorsés : L usage des strumets de calcul

Plus en détail

= P (X k)p (Y k) = (1 α) k (1 β) k = [(1 α)(1 β)] k.

= P (X k)p (Y k) = (1 α) k (1 β) k = [(1 α)(1 β)] k. Aée 25/26 Semaie 2 Classe de PC*, lycée Louis le Grad Exercice Soiet (Ω, F, P ) u espace probabilisé, X et Y deux variables idépedates suivat des lois géométriques (à valeurs das N) de paramètre α et β

Plus en détail

Problème 1 : continuité uniforme

Problème 1 : continuité uniforme SESSION 0 CAPES EXTERNE MATHÉMATIQUES Problème : cotiuité uiforme f est pas uiformémet cotiue sur I si et seulemet si ε > 0/ η > 0, x,y I / x y η et fx fy > ε Soit f ue foctio -lipschitziee sur I avec

Plus en détail

c) représentation graphique T est la tangente à C exp au point A d abscisse 0. Une équation de T est de la forme : y = x + 1.

c) représentation graphique T est la tangente à C exp au point A d abscisse 0. Une équation de T est de la forme : y = x + 1. Chapitre VI : Foctio expoetielle I. La foctio expoetielle a) Défiitio La foctio expoetielle, otée exp, est la foctio défiie sur! par exp(x) = e x, e x état l uique ombre réel strictemet positif dot le

Plus en détail

Introduction aux matrices et au calcul matriciel

Introduction aux matrices et au calcul matriciel Chapitre 2 : Itroductio aux matrices et au calcul matriciel Das le premier chapitre, ous avos vu la résolutio par la méthode du pivot de systèmes d équatio du type : x + 2y z 1 (S) x y + z 3 x + y 2z 3

Plus en détail

Evaluation des méthodes d analyse appliquées aux sciences de la vie et de la santé. Statistique. Variables aléatoires

Evaluation des méthodes d analyse appliquées aux sciences de la vie et de la santé. Statistique. Variables aléatoires UE 4 Evaluato des méthodes d aalyse applquées au sceces de la ve et de la saté Statstque Varables aléatores Frédérc Mauy - 27 septembre et 3 octobre 2013 1 Pla du cours 1. Varable aléatore 1. Défto 2.

Plus en détail

Chapitre 5 - Probabilités

Chapitre 5 - Probabilités Chapitre 5 - Probabilités 1 Rappels 1.1 Probabilités d évènements Définition 1 ensemble des issues d une expérience aléatoire est appelé univers. On le note souvent Ω ( ou E mais nous utiliserons Ω ) et

Plus en détail

arlesrcomplexesraurbacr2014r==corriges=z

arlesrcomplexesraurbacr2014r==corriges=z arlesrcomplexesraurbacr0r==corriges= Nouvelle-Calédoe ovembre 0 5 pots Proposto : Pour tout eter aturel : ( + ) = () VRAI! ( ) doc d où ( ) ( ) ( ) ( ) Sot (E) l équato ( )( + 8) = 0 où désge u ombre complexe

Plus en détail

< p 2. b a a = bq et r = 0 r 0 bq < a < b(q+1)

< p 2. b a a = bq et r = 0 r 0 bq < a < b(q+1) DIVISIBILITE DANS Z - DIVISION DES ENTIERS - b divise a lorsqu il existe u etier k tel que a = kb O dit que a est multiple de b ; b est diviseur de a. Pour tout etier relatif (Z) a, b, c o a : -, a, -

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * *

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites. * * * SESSION 003 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MAHEMAIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatrces sot terdtes * * * NB : Le caddat attachera la plus grade mportace à la clarté, à la précso et à la cocso de la

Plus en détail

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet.

Contrôle du mardi 27 janvier 2015 (3 heures) 1 ère S1 D P C. Le barème est donné sur 40. On répondra directement sur la copie fournie avec le sujet. ère S Cotrôle du mard 7 javer 05 ( heures) D C N Le barème est doé sur 0 O répodra drectemet sur la cope foure avec le sujet U certa ombre de questos écesste ue recherche préalable au broullo O e rédgera

Plus en détail

Ajustement de données expérimentales à une loi équirépartie (1)

Ajustement de données expérimentales à une loi équirépartie (1) o 465 Ajustemet de doées expérmetales 545 Ajustemet de doées expérmetales à ue lo équréparte () Mchel Hery Itroducto Les programmes de termale S et de termale ES e vgueur à la retrée 00 comportet u paragraphe,

Plus en détail

IREM Section Martinique Groupe Lycée. QCM pour la classe de Terminale S

IREM Section Martinique Groupe Lycée. QCM pour la classe de Terminale S IREM Secto Matque Goupe Lycée QCM pou la classe de Temale S QCM : Calculatce o autosée Pou chaque questo, seules ou popostos sot vaes. Recope la ou les popostos vaes. Sot f la focto défe su IR pa f ( )

Plus en détail

Terminales S BAC BLANC Mathématiques Sujet

Terminales S BAC BLANC Mathématiques Sujet Sujet Durée 4 heures. La calculatrice graphique est autorisée. Le barème est fouri à titre idicatif. Eercice 1 (commu) [5 poits] 3 Soit la foctio f défiie sur + par f ( ) =. O appelle C, la courbe représetative

Plus en détail

Interprétation des variables d écart

Interprétation des variables d écart Iterprétato des varables d écart IFT575 Modèles de recherche opératoelle (RO). Programmato léare b. Méthode du smplexe c. Dualté d. Aalyse de sesblté Das la soluto optmale du problème Wydor Glass, o a

Plus en détail

Annexe 1. Estimation d un quantile non-paramétrique par la méthode de Hazen

Annexe 1. Estimation d un quantile non-paramétrique par la méthode de Hazen Aexe. Estmato d u quatle o-paramétrque par la méthode de Haze La probablté cumulée emprque d ue doée au se d u échatllo est pas u cocept parfatemet déf : pluseurs estmatos sot possbles ; l e est de même

Plus en détail

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3.

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3. T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l ure : Si la boule

Plus en détail

Loi Binomiale. 1 dénombrement et coefficients binomiaux 2 1.1 activité... 2 1.2 a retenir... 3 1.3 exercices... 4 1.4 corrigés exercices...

Loi Binomiale. 1 dénombrement et coefficients binomiaux 2 1.1 activité... 2 1.2 a retenir... 3 1.3 exercices... 4 1.4 corrigés exercices... Loi Binomiale Table des matières 1 dénombrement et coefficients binomiaux 2 1.1 activité............................................... 2 1.2 a retenir............................................. 3 1.3

Plus en détail

Espaces vectoriels (et affines).

Espaces vectoriels (et affines). Esaces vectorels (et affes) Cha 04 : cours comlet Esaces vectorels réels ou comlexes (Su) Défto : K-esace vectorel Défto 2 : K-algèbre Théorème : exemles Défto 3 : combaso léare de vecteurs Défto 4 : sous-esace

Plus en détail

Pondichéry Avril 2014 Série S Exercice.

Pondichéry Avril 2014 Série S Exercice. Podchéry Avrl 04 Sére S Exercce Le pla complexe est mu d u repère orthoormé ( O; uv, ) Pour tout eter aturel, o ote A le pot d affxe z déf par : O déft la sute ( ) z z 0 = et + = + z 4 4 r par r = z pour

Plus en détail

Introduction aux tests statistiques

Introduction aux tests statistiques Itroductio aux tests statistiques Philippe Boeau 27 septembre 2006 Chapitre 1 Élémets de probabilités Exercice 1 O ote E l esemble des etiers aturels iférieurs ou égaux à 12 et A (respectivemet B et C)

Plus en détail

Ch.6ÊPROBABILITÉS _ partie 1

Ch.6ÊPROBABILITÉS _ partie 1 LFA / remère S COURS Gesto de doées Mme MAINGUY I Raels / Lo de robablté Ch6ÊPROBABILITÉS _ arte ere S défto O aelle exérece aléatore toute exérece ayat luseurs ssues (ou évetualtés) ossbles et dot o e

Plus en détail

Probabilité - schéma de Bernoulli - loi binomiale

Probabilité - schéma de Bernoulli - loi binomiale Probabilité - schéma de Bernoulli - loi binomiale 1. Probabilités Considérons une urne contenant des boules de 4 couleurs différentes : bleues (B), ivoires (I), rouges (R) et noires (N). Chaque boule porte

Plus en détail

MA401 : Probabilités TD3

MA401 : Probabilités TD3 MA : Probabilités Exercice Ue compagie aériee étudie la réservatio sur l u de ses vols. Ue place doée est libre le jour d ouverture de la réservatio et so état évolue chaque jour jusqu à la fermeture de

Plus en détail

CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS TD ADP1 SEANCE 4

CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS TD ADP1 SEANCE 4 page1/6 CORRIGE EXERCICES FACULTATIFS TD ADP1 SEANCE 4 Dosser "Défcece" 1) = 30 pour les groupes. Les classes sot d'ampltudes dfféretes doc...utlser la desté (rappel : desté = effectf/ampltude). Durée

Plus en détail

Nombres complexes Sessions antérieures

Nombres complexes Sessions antérieures ème aée Maths Nombres complexes Sessos atéreures Aée scolare 9 - A LAATAOUI Exercce N (SP) Das le pla complexe P rapporté à u repère orthoormé ( Ouv ; ; ) o cosdère les pots A et B d affxes respectves

Plus en détail

Contrôle du mercredi 20 janvier 2016 (50 minutes) TS2 spécialité. II. (4 points) n n sont premiers entre eux.

Contrôle du mercredi 20 janvier 2016 (50 minutes) TS2 spécialité. II. (4 points) n n sont premiers entre eux. TS spécialité Cotrôle du mercredi 0 javier 016 (50 miutes) II. (4 poits) Démotrer que pour tout etier relatif, 1 et 1 sot premiers etre eux. Préom : Nom : Note :. / 0 Écrire très lisiblemet, sas rature

Plus en détail

Série d'exercices *** 3 ème M Lycée Secondaire Ali Zouaoui Dénombrement " Hajeb Laayoun "

Série d'exercices *** 3 ème M Lycée Secondaire Ali Zouaoui Dénombrement  Hajeb Laayoun Série d'exercices *** 3 ème M Lycée Secodaire Ali Zouaoui Déombremet " Hajeb Laayou " I / -ulet : Défiitio : Soit E u esemble o vide et * ;O aelle -ulet d élémet de E toute écriture de la forme : a a a

Plus en détail

Estimation par intervalle de conance

Estimation par intervalle de conance SQ20 - ch7 Page 1/6 Estimatio par itervalle de coace Pricipe de costructio : Das le chapitre précédet, ous avos déi les estimateurs, et l'estimatio poctuelle d'u paramètre θ. Soit : X ue variable aléatoire

Plus en détail

Schéma de Bernoulli Loi binomiale

Schéma de Bernoulli Loi binomiale Schéma de Bernoulli Loi binomiale I) Epreuve et loi de Bernoulli 1) Définition On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre, toute expérience aléatoire admettant deux issues exactement : L une appelée

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires»

Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Araud de Sait Julie - MPSI Lycée La Merci 2015-2016 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Variables aléatoires» Exercice 1 (Recostitutio de paires) O fixe deux etiers aturels 1 r. U placard cotiet

Plus en détail

Suites numériques : définition générale.

Suites numériques : définition générale. 1 Suites arithmétiques Suites umériques : défiitio géérale.... Le pricipe de récurrece... 3 Suites arithmétiques... 4 Formule 1 des suites arithmétiques... 5 Appreos à compter... 6 Formule des suites arithmétiques...

Plus en détail

Préparation concours Sciences-Po

Préparation concours Sciences-Po Lycée Féelo Saite-Marie Préparatio cocours Scieces-Po Cocours blac de Mathéatiques Mai 0 Durée : 4 heures Tout docuet iterdit La calculatrice graphique type «lycée» est autorisée Toute répose doit être

Plus en détail

Ift Chapitre 7. Introduction. aux valeurs propres et aux vecteurs propres

Ift Chapitre 7. Introduction. aux valeurs propres et aux vecteurs propres Ift 4 Chaptre 7 Itroducto au valeurs propres et au vecteurs propres Ift4 Chaptre 7 Défto : S A est ue matrce de, alors u vecteur o ul est dt vecteur propre de A s A est appelé valeur propre de A, et vecteur

Plus en détail

NOTION DE PROBABILITÉ Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

NOTION DE PROBABILITÉ Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako I Itroductio : NOTION DE PROBABILITÉ Site MathsTIE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako ) Exemple : O lace fois e l air u dé o pipé (ormal), x et y fot u pari Si 66 apparaît alors x gage 600Frs Si ou

Plus en détail

Loi faible des grands nombres

Loi faible des grands nombres SQ20 - ch5 Page 1/7 Convergences et approximations Dans tout ce chapitre, (Ω, T, P ) est un espace probabilisé. I Loi faible des grands nombres I.1 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Théorème 1 Soit X :

Plus en détail

Chapitre 3 RÉGRESSION CORRÉLATION

Chapitre 3 RÉGRESSION CORRÉLATION Chapitre 3 RÉGRESSION CORRÉLATION Les doées se présetet sous la forme d ue suite de couples de valeurs umériques(x i, y i ), umérotés de à i =. O ote m x, s x ², m y, s y ² les moyees et les variaces des

Plus en détail

Devoir de contrôle n 1. 4 ème Maths 1 Radès. Répondre par Vrai au Faux aux questions propositions suivantes. Aucune justification n est demandée.

Devoir de contrôle n 1. 4 ème Maths 1 Radès. Répondre par Vrai au Faux aux questions propositions suivantes. Aucune justification n est demandée. Lycée Ib Khaldou Devor de cotrôle ème Maths Radès ( heure) Mr ABIDI Fard Mathématques Mercred 9 Novembre 0 Exercce : ( pots) Répodre par Vra au Faux aux questos propostos suvates Aucue justfcato est demadée

Plus en détail

Loi Binomiale. I) Répétition d'expériences identiques et indépendantes

Loi Binomiale. I) Répétition d'expériences identiques et indépendantes Loi Binomiale I) Répétition d'expériences identiques et indépendantes La répétition d'expériences identiques consiste à répéter plusieurs fois de suite la même expérience aléatoire. Ces expériences aléatoires

Plus en détail

Master Ingénierie mathématique, Univ. Nantes Option Mathématiques et applications, ECN. Statistique Inférentielle.

Master Ingénierie mathématique, Univ. Nantes Option Mathématiques et applications, ECN. Statistique Inférentielle. Master Igéierie mathématique, Uiv. Nates Optio Mathématiques et applicatios, ECN Statistique Iféretielle. Ae Philippe Uiversité de Nates, LMJL Adresses email : Ae.Philippe@uiv-ates.fr Pages web : Iformatio

Plus en détail

Terminale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites numériques» Page 1 sur 5

Terminale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites numériques» Page 1 sur 5 Termiale S Exercices sur le chapitre 5 «Suites umériques» Page sur 5 Gééralités sur les suites ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Exercice

Plus en détail

est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences.

est la fréquence empirique des succès lors des 10 premières expériences. Pierre Veuillez Statistiques iféretielle Sources, et pour e savoir plus : http://www.math-ifo.uiv-paris5.fr/smel 1 Problématique : Exemple ue ure cotiet des boules rouges et blaches dot o e coaît pas la

Plus en détail

BTS C.G. 1996. B) Retour au problème concret: Le nombre d'appartements commercialisé est nécessairement un entier entre 2 et 20.

BTS C.G. 1996. B) Retour au problème concret: Le nombre d'appartements commercialisé est nécessairement un entier entre 2 et 20. BTS CG 996 Eercce : (0 pots) Ue agece mmoblère evsage de commercalser u programme de costructo d'appartemets Deu projets lu sot soums: Projet P : Le coût de producto de appartemets ( eter et 0 )est doé

Plus en détail

5. Variables aléatoires simultanées

5. Variables aléatoires simultanées 5. Varables aléatores smultaées 5.1 Coule de varables aléatores Défto 1 Pour tout dce das 1, sot X ue varable aléatore. O dt que X X 1 X est ue varable aléatore de dmeso. Nous ous téresseros rcalemet aux

Plus en détail

Université Paris-Dauphine Année 2008-2009 U.F.R. Mathématiques de la décision L3 - Statistique Mathématique. Examen

Université Paris-Dauphine Année 2008-2009 U.F.R. Mathématiques de la décision L3 - Statistique Mathématique. Examen Uiversité Paris-Dauphie Aée 28-29 U.F.R. Mathématiques de la décisio L3 - Statistique Mathématique Exame Durée 2h. Le barême est doé à titre idicatif. Exercice : 5 poits) Soit X,...,X ) u échatillo de

Plus en détail

COUPLES VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES

COUPLES VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES COUPLES VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES EERCICE : U sac cotiet six jetos, u ortat le uméro, deux ortet le uméro et trois ortet le uméro Ces jetos sot idiscerables au toucher. Deux jetos sot rélevés de ce

Plus en détail

Questions pour un champion en ligne

Questions pour un champion en ligne Questios pour u champio e lige Le jeu télévisé QPUC préseté sur FR3 et aimé par Julie Lepers existe aussi e variate «e lige». U jeu «e lige» se déroule aisi : Six iterautes disputet ue première mache dite

Plus en détail

Serie statistique double

Serie statistique double Sere statstque double Dstrbutos margales Actvté U relevé statstque des talles (e cm) et des pods Y (e kg) d u échatllo de 00 élèves a perms de costrure le tableau suvat : Y [0, 5[ [5, 50[ [50, 55[ [55,

Plus en détail

Loi binomiale. Loi de Bernoulli

Loi binomiale. Loi de Bernoulli Loi biomiale Loi de Beroulli O s itéresse ici à la réalisatio ou o d u évéemet. Autremet dit, o étudie les expérieces aléatoires qui ot que deux issues possibles : Obteir Pile ou Face Doer aissace à u

Plus en détail

Chapitre III : Les caractéristiques de dispersion

Chapitre III : Les caractéristiques de dispersion Chaptre III : Les caractérstques de dsperso Les caractérstques de tedace cetrale e sot pas toujours suffsates pour caractérser ue sére statstque, car séres peuvet avor Mo= Me = x alors qu elles sot dstrbuées

Plus en détail

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR INFORMATIQUE DE GESTION

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR INFORMATIQUE DE GESTION BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR INFORMATIQUE DE GESTION Optios : - Développeur d applicatios - Admiistrateur de réseaux locaux d etreprise SESSION 2011 SUJET ÉPREUVE E2 MATHÉMATIQUES I Durée : 3 heures

Plus en détail

IR homogène de degré α ( α IR ). (0.5 pt.)

IR homogène de degré α ( α IR ). (0.5 pt.) Javer 05 ( heures et 0 mutes) a) Sot IN 0 \ {} Défr : sous-esemble boré de IR sous-esemble covee de IR b) Soet les sous-esembles suvats de IR : A [-4,0] [0,] B {(,y) IR : + y 9} Représeter graphquemet,

Plus en détail

f(t) g(t)dt f²(t)dt g²(t) dt a a a

f(t) g(t)dt f²(t)dt g²(t) dt a a a PCSI Chatre 4 : Produts scalares-résumé Das ce chatre E est u -ev. Produts scalares. Défto et exemles de référeces Def: O aelle rodut scalare sur E toute alcato de E² das est bléare. est symétrque: x,ye,

Plus en détail

Exercices sur les variables aléatoires discrètes

Exercices sur les variables aléatoires discrètes Exercces sur les varables aléatores dscrètes U QCM est costtué de c uestos déedates avec our chaue uesto réoses ossbles Il y a ue réose exacte et ue seule ar uesto ) U caddat réod au hasard Chaue boe réose

Plus en détail

Sommaire. Prérequis. Probabilités : répétitions d expériences

Sommaire. Prérequis. Probabilités : répétitions d expériences Probabilités : répétitions d expériences Stéphane PASQUET, 8 décembre 04 C Sommaire Arbre pondéré......................................... Expériences indépendantes................................. Schématisation

Plus en détail

DERNIÈRE IMPRESSION LE 27 février 2017 à 16:47. Dénombrement. En utilisant la notation factorielle, donner une autre écriture des nombres suivants

DERNIÈRE IMPRESSION LE 27 février 2017 à 16:47. Dénombrement. En utilisant la notation factorielle, donner une autre écriture des nombres suivants DERNIÈRE IMPRESSION LE 7 février 07 à 6:47 Déombremet Calcul sur les factorielles EXERCICE Simlifier les écritures sas utiliser la calculette. )! 0! ) 7! 5! 3) 6! 5! 5! 4) 6 4! 5! 5) 7! 5! 0! 6) 7) 8)

Plus en détail

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice Mots de logueur doée à base de lettres, et foctio géératrice Cosidéros les mots de logueur à base de lettres, avec etier positif. ) Combie existe-t-il de tels mots? La première lettre du mot est l ue des

Plus en détail

Exercice 1 : Analogie entre équilibres acido-basiques et équilibres de complexation (Application du Principe de Le Châtelier).

Exercice 1 : Analogie entre équilibres acido-basiques et équilibres de complexation (Application du Principe de Le Châtelier). Bla UE 1C G. EXERCICES BILAN Exercce 1 : Aaloge etre équlbres acdo-basques et équlbres de complexato (Applcato du Prcpe de Le Châteler). Objectfs de l'exercce - Coassaces/Compéteces testées das cet exercce

Plus en détail

Le loto : on tire, au hasard, 6 boules parmi 49. Combien de tirages possibles?

Le loto : on tire, au hasard, 6 boules parmi 49. Combien de tirages possibles? B1 ESH Exercices de déombremet Corrigé Exercice 1 A la catie du lycée, o a le choix etre 3 etrées, 2 plats et 4 desserts. Combie de meus (composés d'ue etrée, d'u plat et d'u dessert) sot possibles? Soit

Plus en détail

SUITES (Partie 1) Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également.

SUITES (Partie 1) Dans l'exemple, si on suppose qu'un domino (k) tombe alors le domino suivant (k+1) tombe également. SUITES (Partie ) I. Raisoemet par récurrece ) Le pricipe C'est au mathématicie italie Giuseppe Peao (858 ; 93), ci-cotre, que l'o attribue le pricipe du raisoemet par récurrece. Le om a probablemet été

Plus en détail

Le raisonnement par récurrence, un outil puissant de démonstration

Le raisonnement par récurrence, un outil puissant de démonstration TS Le raisoemet par récurrece, u outil puissat de démostratio I. Itérêt ) Exemple 0 0 u est la suite défiie par u u 2u (suite récurrete ; suite «arithmético-géométrique» ; o e coaît pas l expressio du

Plus en détail