Les sinistres graves en assurance automobile : Une nouvelle approche par la théorie des valeurs extrêmes

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1 Les sstres graves e assurace automoble : Ue ouvelle approche par la théore des valeurs extrêmes Nouredde Belagha (*, Mchel Gru-Réhomme (*, Olga Vasecho (** (* Uversté Pars 2, ERMES-UMR78-CNRS, 2 place du Pathéo, Pars, Frace E-Mal: E-Mal: (** Research Isttute of Statstcs, 3 Shota Rustavel str., 0023 Kyv, Urae E-Mal : Résumé La costructo des classes de rsque e assurace automoble est stratégque pour que le prcpe de mutualsato sot foctoel das cet evroemet cocurretel. Ces classes, costtuées à partr de caractérstques de l assuré et du véhcule, sot supposées homogèes e termes de sstralté. La présece de sstres graves (rares das ue classe vet perturber cette hypothèse d homogéété des classes et de stablté des dcateurs de rsque comme la prme pure. E gééral, face à de tels évéemets, les assureurs effectuet des écrêtemets et répartsset la charge sur l esemble du portefeulle, mas la questo se pose de détermer ce qu est u sstre grave pour ue classe de rsque doée af d assurer ue certae stablté des dcateurs de sstralté et doc ue adéquato etre la prme de référece et la sstralté. La théore des valeurs extrêmes permet d obter des estmatos fables d évéemets rares. Tros méthodes classques (valeurs record, moyee des excès, approxmato par la lo de Pareto gééralsée sot proposées pour la détermato d u seul d écrêtemet au-delà duquel u évéemet est cosdéré comme atypque. A pror, cette démarche a pas été utlsée e assurace automoble. Ces méthodes sot comparées sur des doées du portefeulle d ue mutuelle d assurace fraçase, pus ue ouvelle méthode basée sur ue combaso covexe des précédetes, qu mmse la varace, est proposée, permettat as de décder etre ces dfféretes stratéges. Mots clés : Gesto des rsques, valeurs extrêmes, écrêtemet, dstrbuto de Pareto gééralsée, assurace automoble. JEL: C, C6, G22 Revue MODULAD, Numéro 39

2 ABSTRACT I a compettve evromet, the developmet of rate classes car surace s strategc, so that the prcple of mutualsato s more fuctoal. These classes, based o dfferet characterstcs of the polcyholder ad the vehcle, are supposed homogeeous term of clam costs. The presece of large clam costs (rare a group comes to dsrupt ths hypothess of homogeety of the classes ad the stablty of the dcator ad thus a adequacy betwee the referece premum ad the clams. The extreme value theory allows obtag relable estmatos of rare evets. Three classc methods (record values, mea of excesses, ad the geeralzed Pareto estmate are proposed for the determato of a threshold from whch a evet s cosdered atypcal. Ths step has ever bee used before car surace studes. These methods are compared o a Frech mutual surace portfolo. The, we propose a ew method for the determato of a threshold based o a covex combato of these methods, whch mmzes the varace. Key words: Rs maagemet, Extreme values, data trmmg, Geeralzed Pareto Dstrbuto, car surace. Revue MODULAD, Numéro 39

3 . Itroducto Les Assuraces dovet fare face à des flux facers ter temporels et dvdualsés, et de ce fat très ombreux. Face à cet evroemet certa, lé à la sstralté, dfférets mécasmes de gesto des rsques peuvet être proposés. Le prcpe de mutualsato des rsques e assurace automoble est e gééral reteu, l permet de dmuer les cotrates dvduelles sur les assurés, mas peut provoquer u phéomèe d aléa moral. Cette mutualsato s avère opératoelle pusque les rsques sot dspersés. La costructo des classes de rsque est stratégque pour que le prcpe de mutualsato sot foctoel das u evroemet cocurretel. Ces classes, costtuées à partr de caractérstques de l assuré et du véhcule, possèdet doc des caractérstques smlares et sot supposées homogèes e terme de sstralté. Cette homogéété s eted doc relatvemet à u esemble de varables explcatves coveablemet sélectoées, e gééral à l ade de modèles léares gééralsés. Cette homogéété peut se mesurer par des dcateurs de rsque, à savor la fréquece et le coût moye des sstres qu permettet de détermer la prme pure (produt de ces deux dcateurs. D ue maère géérale, les rsques des dvdus d ue classe homogèe de rsque dépedet de deux varables aléatores dépedates et équdstrbuées: ue varable structurelle qu caractérse l hétérogéété terdvduelle acceptée au se de la classe et ue varable edogèe qu correspod au rsque collectf de la classe. C est cette derère que l assureur cherche à prévor. Ue certae stablté temporelle de ces dcateurs est doc écessare pour avor ue boe adéquato etre la sstralté et la tarfcato. La présece de sstres graves das ue classe vet perturber cette hypothèse d homogéété des classes et de stablté des dcateurs. E gééral, face à de tels évéemets, les assureurs répartsset la charge sur l esemble du portefeulle. Toutefos la questo se pose de détermer ce qu est u sstre grave das ue classe de rsque pour assurer la stablté des dcateurs et doc la hérarche de ces classes. Des approches par la théore des valeurs extrêmes ot été applquées e face pour le calcul de mesures de rsque comme la Value at Rs (Ferades, 2003 et das d autres domaes (Ress, 997, 200. A otre coassace, cette démarche a pas été utlsée e assurace automoble. Après avor rappelé les fodemets de la théore de valeurs extrêmes et e partculer la méthode basée sur la dstrbuto de Pareto gééralsée (GPD, tros méthodes d estmato (valeurs record, moyee des excès, approxmato GPD sot proposées pour la détermato d u seul à partr duquel u évéemet est cosdéré comme atypque. Ces méthodes sot comparées sur des doées du portefeulle d ue mutuelle d assurace fraçase. Elles permettet de prévor des sstres graves pour ue probablté d occurrece doée (très fable et u tervalle de coface fxé. Ue aalyse comparatve est effectuée etre ces méthodes et ue ouvelle méthode qu mmse la varace d ue combaso covexe des seuls obteus par les méthodes précédetes. Cette démarche permet de décder etre ces dfféretes stratéges. Revue MODULAD, Numéro 39

4 2. De la théore classque des valeurs extrêmes à la méthode de dépassemet de seul La théore des valeurs extrêmes est à la fos acee et modere, elle cocere l étude du maxmum d ue dstrbuto et de sa lo. L œuvre mathématque d Emle Gumbel (89-966, résumée das ses travaux de 954 et 958, est souvet detfée à la théore statstque des valeurs extrêmes. Mas l faut auss cter les travaux de Bortewcz (922, Fréchet (927, Fsher et Tppett (928, Fett (932. Les applcatos de la théore des valeurs extrêmes, as que les avacées théorques, sot de plus e plus ombreuses et touchet des domaes varés, comme la météorologe (Jeso, 955, l hydrologe (Gumbel, 955, Berardara et al., 2005, Gullou et al., 2006, la face (Bouler et al., 998, l assurace (Ress, 997, Embrechts et al., O peut auss cosulter les ouvrages gééralstes récets suvats : Embrechts et al. (999, Kotz et al. (2000, Coles (200, Berlat et al. (2004, de Haa et Ferrera (2006. La revue «Extremes» a été créée e 999 et trate des travaux sur ces questos. La théore des valeurs extrêmes, développée pour l estmato de la probablté d occurrece d évéemets rares, permet d obter des estmatos fables des valeurs extrêmes, pour lesquelles les observatos sot peu ombreuses. L utlsato des los des valeurs extrêmes repose sur des proprétés des statstques d ordre et sur des méthodes d extrapolato. Plus précsémet, elle repose sur les covergeces e lo des maxma ou des mma de varables aléatores dépedates coveablemet re-ormalsées. Les los lmtes sot coues et sot appelées les los des valeurs extrêmes. 2. Dstrbuto des extrema das le cas d u échatllo de talle fe O déft la varable aléatore réelle M, qu tradut le maxmum d u -échatllo d ue varable aléatore réelle X (les varables aléatores X sot dépedates et suvet la même lo que X, par : M max( ( = X O pourrat auss s téresser au mmum et utlser la relato : m ( X. = max ( X E théore des valeurs extrêmes, le but vsé est de détermer la lo lmte ormalsée que sut le maxmum (ou le mmum e focto de celle de la varable aléatore X. Notos F X la focto de répartto de la varable X de lo de probablté P, à savor F X ( x = P( X < x. La focto de répartto de M est alors défe par: ( x = P( M < x = P( X < x, L, X < x FM = P( X = [ F (x] X < x LP( X < x (2 De ces résultats, ous tros la cocluso que le maxmum focto de répartto est égale à. F X M est ue varable aléatore dot la Revue MODULAD, Numéro 39

5 La focto de répartto de X état souvet coue, l est gééralemet pas possble de détermer la dstrbuto du maxmum à partr de ce résultat. Comme les valeurs extrêmes se trouvet, à drote et à la f du support de la dstrbuto, tutvemet le comportemet asymptotque de M dot permettre de redre compte de la f de la dstrbuto. Notos xf = sup { x R : FX ( x < } le pot termal à drote (rght-ed pot de la focto de répartto F X. Ce pot termal peut être f ou f (Embrechts et al., 997, exemple , p.39. O s téresse alors à la dstrbuto asymptotque du maxmum e fasat tedre vers l f. O a : 0 s x < xf lm FM = [ X ] = (3 ( x lm F ( x s x xf O costate que la dstrbuto asymptotque du maxmum doe ue lo dégéérée, ue masse de Drac e xf, pusque pour certaes valeurs de x, la probablté peut être égale à das le cas où x F est f. Ce fat e fourt pas assez d formatos, d où l dée d utlser ue trasformato af d obter des résultats plus explotables pour les los lmtes des maxma M. La trasformato la plus smple est l opérato de stadardsato. 2.2 Dstrbutos asymptotques du maxmum Comme la lo lmte de la focto de répartto précédete est dégéérée, o recherche ue lo o dégéérée pour le maxmum de ( X,..., X. La théore des valeurs extrêmes permet de doer ue répose à cette problématque. Les premers résultats sur la caractérsato du comportemet asymptotque de la lo du maxmum ormalsé ot été obteus par Fsher et Tppett e 928. Le théorème suvat explcte ces résultats. Défto Sot X,..., X ue sute de varables aléatores réelles d, de somme S. O dt que X (ou FX appartet au domae d attracto d ue focto de répartto o dégéérée H s l exste ue sute de réels ( a et ue sute ( b à termes strctemet postfs telles que : S a coverge fablemet (ou e dstrbuto vers H. b S a d Das ce cas, o ote : H b Théorème (Fsher et Tppett, 928, Gedeo,943 Sot X,..., X ue sute de varables aléatores réelles d de lo cotue P et M = max( X,..., X. S l exste deux sutes réelles ( a et ( b avec b > 0, et ue focto de répartto odégéérée G telle que, G lorsque ted vers l f, alors G est écessaremet de M a d b l u des tros types suvat : Revue MODULAD, Numéro 39

6 G G, α G 2, α 0 ( x = exp( exp( x < x < + 0 ( x = α exp( x exp( ( x ( x = α x < 0 x 0, α > 0 x < 0, α < 0 x 0 O appelle G lo de Gumbel, G lo de Fréchet et lo de Webull. 0, α G 2, α (4 F X O dt alors que X (ou appartet au domae d attracto maxmum de G ou au max-domae d attracto et o ote X MDA(G. Ue démostrato détallée de ce théorème est doée das Resc (987 et avec des développemets das Embrechts et al. (997, p. 52. Les sutes a et b dépedet des paramètres de la lo de X. ( ( Par exemple, pour ue sute ( X de varables aléatores qu suvet la lo expoetelle stadard, x la focto de répartto est doée par F( x = e. Pour a = log( et b = (Embrechts et al., 997, p. 55, o obtet par applcato de ce théorème : P M log( x = P( M x log( ( + x = P( X x + = F x + = ( log( ( ( log( e qu ted vers exp( exp( x quad ted vers l f. O a doc c u résultat de même type que celu du théorème cetral lmte. Jeso (955 a proposé ue écrture ufée des tros types de dstrbuto lmte du maxmum. E trodusat les paramètres de localsato μ et de dspersoσ, qu dépedet des sutes ( a e t ( b, das l expresso des dstrbutos extrêmes, o obtet la forme la plus géérale de la dstrbuto des valeurs extrêmes, otée GEV (Geeralzed Extreme Value Dstrbuto. Elle correspod à : / ξ x μ G μ, σ, ξ ( x = exp + ξ (5 σ où ξ est u paramètre de forme (shape parameter ecore appelé dce des valeurs extrêmes ou dce de queue qu e déped que de la lo de X. Plus cet dce est élevé e valeur absolue, plus le pods des extrêmes das la dstrbuto tale est mportat. O parle alors de dstrbutos à «queues épasses». Pour ξ o ul, o a ξ = et le sge de ξ ous resege sur le type de la lo asymptotque du α maxmum. La focto de répartto G est das le domae d attracto maxmum, μ, σ, ξ respectvemet, de Fréchet, Gumbel ou Webull selo que ξ > 0, ξ = 0 ou ξ < 0 (Galambos, 987, pp.53-54, Embrechts et al., 997, p.52. Revue MODULAD, Numéro 39

7 Pour smplfer, o ote G ξ = G 0,,ξ. La coassace de ξ permet, à elle seule, de caractérser à u chagemet d échelle près, le comportemet asymptotque du maxmum ormalsé. 2.3 Dstrbuto codtoelle des excès Ce secod volet de la théore des valeurs extrêmes, appelé méthode à dépassemet de seul ou méthode POT (Peas Over Threshold cosste à utlser les observatos qu dépasset u certa seul suffsammet élevé et plus partculèremet les dfféreces etre ces observatos et le seul, appelées excès (cf. Davso et Smth, 990. Cette méthode a été d abord développée pour le tratemet de doées hydrologques (par exemple, le volume et la durée des défcts e eau af d établr des bases théorques des modèles de dépassemet ou o dépassemet d u certa seul. Les premers développemets systématques se trouvet das les travaux de Todorovc et Zelehasc (970 et Todorovc et Rousselle (97. L approche basée sur la lo de Pareto gééralsée a été trodute par Pcads (975 et reprse par de Haa et Rootze (993. O peut auss se référer aux travaux sur les foctos à varatos régulères (Bgham et al., 987. Pour ue comparaso plus fe etre ces deux approches o peut se référer aux travaux de Mc Nel et Frey (2002, Katz (2002 qu recommadet l utlsato de la méthode à dépassemet de seul pour l estmato des quatles extrêmes. E effet, l approche classque de la théore des valeurs extrêmes a été fortemet crtquée das le ses où l estmato des paramètres de la dstrbuto GEV est ue estmato dte «Bloc compoet-wse», ce qu veut dre qu à partr des doées tales, o extrat des blocs (sous populatos de même talle, pus o cosdère la dstrbuto formée par les maxma de chacu de ces blocs (ue seule valeur maxmale par bloc. Cette méthode mplque doc ue perte d formatos. E partculer, certas blocs peuvet coter pluseurs valeurs extrêmes pour la dstrbuto tale, alors que d autres peuvet e pas e coter. Le problème a été résolu, e cosdérat toutes les valeurs au-delà d u seul doé. Défto 2 Sot X,..., X varables aléatores réelles d de focto de répartto commue F et u u réel suffsammet grad, féreur au pot termal x F, appelé seul. Notos E u = { j {,2,... } / X j > u}. O déft les excès au-delà du seul u comme l esemble des varables aléatores Y j défes par : Y = X u pour j E. j j u O cherche à partr de la dstrbuto F de X à défr ue dstrbuto codtoelle F u par rapport au seul u pour les varables aléatores dépassat ce seul. Défto 3 La dstrbuto codtoelle F u des excès au-delà du seulu est défe par : Revue MODULAD, Numéro 39

8 F( u + y F( u Fu ( y = P( X u y X > u = pour 0 y xf u. (6 F( u Ce qu équvaut à : F( x F( u F u ( x = P( X < x X > u = pour x u. (7 F( u L objectf de la méthode POT est de détermer par quelle lo de probablté o peut approcher cette dstrbuto codtoelle. Balema et de Haa (974, Pcads (975, ot proposé le théorème c-après qu précse la dstrbuto codtoelle des excès lorsque le seul détermste ted vers le pot termal. Le paragraphe 3.3 llustre l térêt de cette méthode das l estmato des quatles extrêmes. Théorème 2 (Pcads, 975; Balema et de Haa, 974 Sot F u la dstrbuto codtoelle des excès au-delà d u seulu (cf. Théorème, assocée à ue focto de répartto coue F. Cette focto F appartet au domae d attracto maxmum de (cf. théorème s et seulemet s l exste ue focto postve σ telle que F ξ, σ GPD lm Sup Fu ( y Fξ, σ ( u ( y = 0, u xf 0< y< xf u GPD où est la focto de répartto de la lo de Pareto gééralsée (GPD, défe par : G ξ pour [ ] y 0, ( x u s 0 F F GPD ξ, σ / ξ ( + ξ y σ s ξ 0, ( y = exp( y σ s ξ = 0, y 0, M( σ ξ, x u s ξ < 0. ξ et [ ] F Ce théorème établt le le etre le paramètre de la lo du domae d attracto maxmum et le comportemet lmte des excès au-delà d u seul assez grad. E partculer, l dce de queue ξ, obteu das l étude du maxmum, est detque au paramètre de la lo de Pareto gééralsée. Cec permet de dstguer les los à queue épasse qu apparteet au domae d attracto de Fréchet des los à queue fe ou légère qu apparteet au domae d attracto de Gumbel. Ue queue de dstrbuto est d autat plus épasse qu elle se dstgue de la lo ormale e s étalat plus letemet, et doc avec u coeffcet d aplatssemet (urtoss supéreur à celu de la lo ormale (égal à tros. La lo de Pareto gééralsée peut auss s écrre sous la forme : F GPD ξ, σ ( y = + logg( y (8 où G( y correspodat à la lo GEV (Geeralzed Extreme Value avec μ = 0 (cf. Théorème. E effet, pour les excès, l effet du paramètre de localsato est prs e compte das les sutes a (cf. Théorème. ( Das la lttérature, dfféretes méthodes ot été proposées pour estmer les paramètres ( σ, ξ de la lo GPD : la méthode du maxmum de vrasemblace, la méthode des momets, la méthode Revue MODULAD, Numéro 39

9 bayésee, l estmateur de Pcads (975 et l estmateur de Hll (975. Notos que ces deux derers estmateurs e sot utlsables que pour l dce de la queue de la dstrbuto (ξ. Les travaux de Hosg et Walls (987 doet des comparasos etre les dfféretes méthodes d estmato. Lors de l estmato des paramètres de la lo GPD, o se trouve devat u problème d estmato du seul u. Pluseurs méthodes de détermato du seul au-delà duquel les observatos sot extrêmes ot été proposées. 3. Les méthodes d estmato du seul La théore des valeurs extrêmes, selo l approche reteue, propose dfféretes méthodes pour estmer u seul au-delà duquel ue observato sera cosdérée comme valeur extrême. O peut dstguer les valeurs record, la focto moyee des excès et l approxmato GPD (par la dstrbuto de Pareto gééralsée. Ce seul dot être suffsammet grad pour pouvor utlser les résultats précédets, mas pas trop af de dsposer d u ombre suffsat d observatos pour obter des estmatos de qualté. Présetos rapdemet ces dfféretes méthodes qu serot utlsées das les classes de rsque. 3. Les valeurs record La méthode cosste e ue comparaso etre les valeurs record et les valeurs atcpées de ces records ssues d ue sute de varables aléatores réelles d. Sot ue sute de varables aléatores réelles d, u record X (comme das les compéttos sportves, Emahl et Magus, 2006 est attet s X > M avec M = max( X, X 2,..., X. Le processus de comptage (9 est déf comme sut ; N =, N = + I = 2 { X > M }, 2 s X > M où la focto dcatrce I { X > M est défe par : } I{ X > M } = 0 so Avec la méthode des valeurs record, le seul correspod à ue valeur de la dstrbuto. Il est possble de calculer la moyee et la varace du processus de déombremet (9 des records N (Embrechts et al., 997, p. 307 : E ( N =, Var( N =. 2 (0 = = La démostrato se trouve das l aexe. Le Tableau présete les valeurs de E ( N et V ( N calculées e focto de dverses valeurs de, à partr de (0. X (9 Revue MODULAD, Numéro 39

10 E( N V ( N 000 7,48 5, ,7 6, ,09 7, ,78 8, ,48 8, ,37 9, ,09 0, ,49 0, ,78,3 Tableau : Calcul de l espérace et de la varace d u processus de comptage e focto de la talle de l échatllo Pour grad, l espérace de N vare comme l (, plus précsémet EN ( = l( + γ, = où γ est la costate d Euler, à savorγ 0, 577. Pour = 000, l erreur est féreure au cetème. L espérace de N permet doc d estmer le ombre de valeurs extrêmes, pus d e dédure le seul au-delà duquel les observatos sot extrêmes à partr de la statstque d ordre. 3.2 La focto moyee des excès La focto moyee des excès (FME, qu permet de décrre la prédcto du dépassemet du seul u lorsqu u excès se produt, est défe par : e ( u = E [ X u / X > u]. ( Cette focto moyee des excès est estmée par la somme des excès dépassat u certa seul élevé u, dvsé par le ombre d observatos qu dépasset ce seul (FME emprque. + où ( X u = Sup ( X u,0 + ( X u = ê ( u =. (a I = { X > u} Cette approche pratque vsat à chosr le seul u cosste à tracer l estmateur emprque de l espérace résduelle de X et à chosr u de maère à ce que eˆ ( u sot approxmatvemet léare pour tout x u. E effet, comme la focto d espérace résduelle d ue lo GPD de paramètre ξ < est affe (proprété coue des réassureurs depus le début du sècle, o peut cosulter Schrmacher, 2005, o cherchera u u auss pett que possble sous cotrate que l estmateur emprque de l espérace résduelle des excès au-delà de u sot approxmatvemet léare. La focto moyee des excès emprque sous la forme affe s écrt, pour u < x F, comme sut (Davso et Smth, 990, p. 396, Embrecht et al., 997, p.65: Revue MODULAD, Numéro 39

11 ˆ σ + ˆ ξ u eˆ ( u =, avec ˆ σ + ˆ ξ u > 0. (b ˆ ξ Le seul u est doc détermé à partr du momet où le graphe de la focto ê (u présete ue parte affe stable (Fgure. Tros cas peuvet alors se préseter : S à u certa seul, la focto moyee des excès emprque est marquée par ue pete postve, alors les doées suvet ue dstrbuto de Pareto gééralsée avec u paramètre ξ postf. U deuxème cas peut se préseter, lorsque la focto moyee des excès emprque présete ue pete horzotale, les doées suvet ue dstrbuto expoetelle. U derer cas peut se recotrer lorsque la FME emprque est décrossate, o a ue dstrbuto borée à drote. Les doées suvet alors ue dstrbuto à queue légère. La fgure suvate (Fgure présete la FME emprque d ue dstrbuto GPD avec u paramètre ξ postf. O costate que la FME devet stable pour u seul de l ordre de Fgure : La focto moyee des excès L estmato graphque du seul u ˆ cosste à repérer les plages de léarté. Nous avos ue premère plage de u ˆ = 3000 à uˆ = 4500, cette plage est pas acceptable car par la sute, o observe u chagemet de pete alors que le ombre d observatos reste mportat. Ue deuxème plage de léarté cocere le segmet [ 5500,9000] dot la pete est légèremet postve. C est ue estmato graphque qu se base sur la vsualsato des pots qu se présetet sous la forme d ue drote. Cette secode plage de léarté, qu doe ue stablté à la focto moyee des excès de l échatllo étudé, permet d estmer le seul, u ˆ = Revue MODULAD, Numéro 39

12 La valeur de u ˆ pour chaque classe est détermée à l ade du graphque de la focto moyee des excès. La valeur de û correspod au pot à partr duquel le graphe devet stable (proche d ue drote. Cette méthode est parfos délcate, car le graphe de l estmato de E [ X u / X > u] peut préseter des aspects rrégulers et doc dffcles à terpréter. 3.3 La focto GPD et l estmato de la queue de dstrbuto La méthode se base sur l estmato du quatle extrême préseté das la formule (4, au-delà de ce quatle les observatos sot jugées extrêmes et le ombre de valeurs extrêmes est égal au ombre d observatos qu dépasset ce quatle estmée par l approxmato GPD. Cette trosème méthode d estmato du seul utlse doc la dstrbuto de Pareto gééralsée GPD et s appue sur la lo asymptotque des excès (Théorème 2 pour produre u estmateur de F ξ, σ quatle extrême. Nous utlsos pour cela u seul aléatore m u comme état le quatle d ordre u = F m où F est l verse gééralsé de la focto de répartto F déf par : F ( y = f{ x: F( x y}. Le ombre d excès m est u eter chos; l dot tedre vers l f avec la talle de de la lo des doées : ( l échatllo mas rester pett devat pour que le seul sot suffsammet grad : m lm m = + et lm = 0. Des solutos pour fxer m de maère à obter u estmateur asymptotquemet sas bas ot otammet été proposées par Golde et Smth (978 pus De Haa et Peg (998. Das otre applcato (secto 5, ous avos utlsé la même démarche que celle proposée par Embrechts et al. (997 qu précoset de tracer les estmateurs e focto de m / et de chosr m das u tervalle où le graphe des estmatos est approxmatvemet léare. Pour plus de détals sur cette questo de l estmato d u seul, o peut auss cosulter le lvre récet de De Haa et Ferrera, 2006, chaptre 4, pp Le seul dot être suffsammet élevé pour vérfer le caractère asymptotque du modèle, mas pas trop grad pour garder u ombre suffsat d observatos qu dépasset ce seul af de pouvor ème estmer les paramètres du modèle. E pratque, o estme le seul par la ( m observato ordoée ; c'est-à-dre uˆ = x ( m, qu correspod à la statstque d ordre des observatos stuées au veau de la queue de la dstrbuto. Pus o retet celu pour lequel les estmatos apparasset stables pour u modèle be ajusté aux doées. L adéquato des excès au-delà du seul par la focto GPD ( Etat doé u échatllo x,..., x, ous voulos vérfer s u modèle paramétrque permet d obter ue boe approxmato de la lo des doées, partculèremet e queue de dstrbuto. Les tests d adéquato classques de Cramer-Vo Mses ou d Aderso-Darlg, permettet de mesurer l adéquato aux doées de la parte cetrale de l tervalle mas ls e sot pas applcables au veau de la queue de dstrbuto, même s le test d Aderso-Darlg est plus sesble aux valeurs extrêmes. u Revue MODULAD, Numéro 39

13 Ress et Thomas (997 ot développé u test d adéquato de queue de dstrbuto aux doées. Le modèle dot s adapter auss be à l esemble de la dstrbuto des doées qu à la queue de la dstrbuto. E effet, pour x u (des pots apparteat à la queue de la dstrbuto, F( x = P X x = P X u Fu x u + P X u. (2 { } ( { } ( { } Das la relato précédete, o peut estmer F u ( x u par F GPD ( x u ˆ pour u élevé. Cette approxmato est l applcato drecte du Théorème 2. Nous pouvos auss estmer P{ X u} à partr des doées par la focto de répartto emprque (u évaluée au pot u : F ( u = I { X > u}. = Cela veut dre que pour x u ous pouvos utlser l estmato de la queue, ˆ GPD F( x = ( F ( u F ˆ ( x + F ( u ξ, ˆ σ, pour approxmer la focto de répartto F(x. Il est facle de motrer que F ˆ ( x est auss ue dstrbuto GPD, avec le même paramètre de forme ξ, mas avec u paramètre d échelle ~ σ = σ ( F ( u ξ et u paramètre de ~ μ ~ ξ = u σ ( F ( u ξ. localsato ( L estmateur du quatle extrême q GPD, ξ, ˆ σ, ssu de l approxmato par la lo de Pareto gééralsée et qu sera utlsé par la sute pour la détermato des seuls par classe de rsque se présete comme sut : ˆ ξ ˆ σ p qˆ = ˆ + GPD, u. (3 ˆ ξ m Cette expresso fgure, par exemple, das Davso et Smth (990, p. 397 et Embrechts et al. (997, p Pour trouver u estmateur de q, l faut doc trouver les estmateurs de u, σ, ξ. Das otre GPD applcato les paramètres de la lo GPD sot estmés par la méthode de maxmum de vrasemblace. 3.4 Méthode mxte de mmsato de la varace Les dfféretes méthodes précédetes proposet u seul, souvet dfféret d ue méthode à l autre. Le problème des valeurs atypques ou aberrates est be cou e statstque pratque, et l garde toujours ue part d détermato qu empêche ue formalsato complètemet ratoelle. Be sûr, l est possble de cosulter des experts ou d utlser de l formato auxlare (s dspoble, mas cette démarche pred beaucoup de temps. Le traval pratque du statstce, comme du gestoare, est de trouver u comproms etre la qualté (précso des estmatos et le coût pour y parver. Das cette voe, ous proposos cette ouvelle méthode pour détermer u seul mmsat la varace (crtère de qualté d ue combaso covexe des seuls obteus par ces méthodes ssues de la théore des valeurs extrêmes. F Revue MODULAD, Numéro 39

14 Théorème 3 Soet U des varables aléatores réelles ( =,..., p et Z ue varable aléatore défe comme combaso covexe des U, à savor : Z = α, où α > 0 et α =. p = O ote V la varace de U, V est la matrce de varace-covarace des U et α = ( α,..., α p. O suppose que les varables ot toutes des momets d ordre deux et que V est versble. U La varace de Z est alors mmale pourα = V p A, où V est l verse de la matrce V, v est le terme gééral de V égaux à. La preuve se trouve das l Aexe 2. U j, j= et A est la matrce u-coloe d ordre p dot tous les coeffcets sot Das cette démarche, qu permet d obter u seul de référece, les varables aléatores U correspodet aux seuls estmés par les méthodes précédetes. Mas das cette approche, les varaces de ces seuls e sot pas coues explctemet, l est doc écessare de les estmer. La méthode du bootstrap trodute à la f des aées 70 par Bradley Efro (Efro, 979 permet d estmer la précso des estmateurs de paramètres, comme la varace, sas coaître la vrae valeur de cette précso et même ue expresso de cette précso. Cette méthode procède par rééchatlloage (Efro et Tbshra, 993, Ardlly, 994. Pusque les seuls correspodet à des quatles, la varace a doc été estmée par la méthode du bootstrap qu cosste à trer, avec remse, K échatllos de même talle que l échatllo cosdéré (classe de rsque. O obtet as ue sute de quatles. Les covaraces sot égalemet estmées par la méthode du bootstrap (Bera et Srvastava, 985 : pour chaque échatllo, o déterme u seul par chacue des méthodes, obteat as des p- uples (ou des pares das la méthode mxte du paragraphe 5.3. O a chos K=000. Les temps de mse e œuvre et de calcul sot assez logs. Cette démarche est applquée pour chaque varable aléatore U. Plus précsémet s û désge l estmato de u (seul das l échatllo ( =,..., K, o a : et la varace de u ˆ est estmée par : u = K K u = K Vˆ 2 ( uˆ = ( uˆ uˆ (5 K = p = (4 v j S v est u estmateur du seul u obteu par ue autre méthode, o déft de faço aalogue aux expressos (4 et (5, vˆ et l estmateur de la varace de vˆ, l estmato de la covarace est alors doée par : Revue MODULAD, Numéro 39

15 K Cov ( uˆ, vˆ = ( uˆ K = uˆ( vˆ v (6 ème où le couple ( uˆ, vˆ est. obteu lors du trage bootstrap. Le calcul des Vˆ ( uˆ permet d estmer α, pus d obter ue estmato du seul pour cette méthode mxte de mmsato de la varace. O peut auss utlser ue méthode de «balaced resamplg» (Davso et al., 986 das laquelle chaque observato de l échatllo tal apparaît le même ombre de fos das la réuo des K échatllos bootstrap créés. Avat de passer à l applcato de ces méthodes ssues de la théore des valeurs extrêmes à la détecto des sstres graves par classe de rsque, l est écessare de préseter les dcateurs de rsque utlsés pour cette étude. 4. Les outls de mesure de la sstralté Le rsque est souvet cosdéré comme mesurable s l est possble de calculer u rsque moye qu caractérse la tedace de sstralté du phéomèe étudé. Das chaque classe, le rsque est mesuré e termes de fréquece et de coût moye, pus la prme pure est détermée comme produt de ces deux dcateurs. La prme pure correspod à l espérace de la charge de sstres à laquelle devra fare face l assureur. La lo des grads ombres permet d utlser cette démarche. Le calcul de la prme pure a pour objectf d évaluer pour chaque assuré (selo ses caractérstques le motat attedu des sstres pour ue pérode d assurace doée. Cette prme pure théorque est commue à tous les assurés d ue même classe. Plus précsémet, otos ue classe de rsque (=,...K et le ombre de véhcules das la classe. La prme pure das la classe est alors défe, sur ue pérode doée (e gééral a, par : P = = = c w,, (7 où c, correspod au coût total des sstres sur la pérode pour le véhcule de la classe. De ombreux coûts sot uls. Das cette expresso de la prme pure, correspod au pods du véhcule assuré de la classe. E effet, au cours d ue aée, le ombre d assurés das ue classe vare, certas arrvet, d autres réslet leur cotrat ou chaget de véhcule. Chaque observato est doc podérée par w, = ( ombre de mos où l assuré est préset das la classe pour 2 ue aée doée. U chagemet de véhcule peut mplquer u chagemet de classe. U assuré qu cotracte ue assurace seulemet sur 3 mos das l aée, aura doc u pods égal à 0.25 (sa cotsato e correspod qu à tros mos d assurace. Par coséquet, w. w, =, Revue MODULAD, Numéro 39

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