Le coefficient de A qui se trouve à l intersection de la i-ème ligne et de la j-ème colonne est noté a i,j ou [A] i,j :

Transcription

1 Chapitr 5 Calcul matricil Pour bin abordr c chapitr Tout st dit dans l théorèm?? pag?? du chapitr??si on s fix un bas,, p d E t un bas f f,, f q d F alors un application linéair u L E,F st ntièrmnt détrminé par ls composants ds vcturs u i dans la bas f Cs pq scalairs définissnt complètmnt u Il st tntant d ls rprésntr dans un tablau Si on not, pour tout j, p, u j q a i,j f j alors on put écrir : u u u p a a a p f a i a i a ip a q a q a qp f q C tablau st la matric d u dans ls bass d E t f d G S posnt alors ds qustions naturlls : Si on ffctu ctt manipulation pour dux applications linéairs u t v, commnt s calcul la matric corrspondant à αu+ βv? On vrra qu on put définir un addition ntr ls matrics t un multiplication par un scalair Avc cs dux lois, l nsmbl ds matrics d mêm taill possèd un structur d K-spac vctoril Si u t v sont dux ndomorphisms d E, qul st l lin ntr la matric d u v t clls d u t v? Pour l xplicitr, on définira l produit ntr ls matrics 3 Put-on calculr l rang d un application linéair facilmnt à partir d sa matric dans ds bass donnés? La répons st oui t l outil st l pivot d Gauss 4 Put-on par un procédé calculatoir détrminr si un ndomorphism st invrsibl à partir d sa matric dans ds bass donnés? La répons st ncor oui t l outil st l détrminant 5 Pour un ndomorphism invrsibl, xist-t-il un procédé prmttant d calculr la matric d son invrs? Ct outil xist t il st donné par la comatric 6 Si on prnd d autrs bass t f d E t F, put-on calculr la matric d u dans cs nouvlls bass n fonction d sa matric dans ls bass initials? La répons st ncor positiv t on mttra n plac ds formuls d changmnt d bass 7 Enfin, pour un ndomorphism u L E, xist-il un bas d E dans laqull la matric d u prnd un form simpl t facil à manipulr? La répons sra donné n spé dans l chapitr sur la réduction ds ndomorphisms Au nivau historiqu, on put indiqur qu au 3 siècl, l mathématicin chinois Liu Hui résolvait ls systèms linéairs ayant jusqu à 6 inconnus Il rprésntait cs systèms grâc à ds tablaux t avait découvrt la méthod qu on appll maintnant pivot d Gauss pour ls résoudr Au 7 siècl, toujours pour résoudr ds systèms linéairs, Libniz invnt l détrminant Ctt notion st approfondi par Cramr qui découvr soixant ans plus tard la méthod qui port maintnant son nom Il faut attndr l 9 siècl, pour qu la notation matricill sous form d «rctangl ou carré d nombrs» apparaiss Gauss découvr l produit matricil n dimnsion 3 t indiqu qu la formul s généralis dans ls autrs dimnsions mais sans détaillr Sylvstr, l prmir, dénomm cs rctangls d nombrs du mot «matrix» Dans tout c chapitr, m,n, p, q,r sont ds ntirs positifs, K désign l corps R ds réls ou l corps C ds complxs E t F sont ds K-spacs vctorils 5 Matric à cofficints dans K 5 Définitions DÉFINITION 5 Matric Soit K un corps t q, p N On appll matric à q ligns t p colonns à cofficints dans K tout application : qu l on not : {, q, p A : i, j K a i,j f i a a q colonn j a ij a p a qp lign i L cofficint d A qui s trouv à l intrsction d la i-èm lign t d la j-èm colonn st noté a i,j ou [A] i,j : i rprésnt l indic d lign j rprésnt l indic d colonn On dit aussi qu A st un matric q p ou un matric q, p à cofficints dans K On notm q,p K l nsmbl ds matrics à q ligns t p colonns à cofficints dans K Notation 5 On notra aussi [A]i j ou ncor a i j l cofficint a i,j d A DÉFINITION 5 Vctur lign, vctur colonn d un matric Pour tout matric A M q,p K : a, a,p A a q, a q,p on appll, pour i, j, q, p : i-èm vctur lign d A l p uplt L i a i,,, a i,p K p j-èm vctur colonn d A l q uplt C j a,j,, a q,j K q DÉFINITION 53 Matric lign, matric colonn Un matric colonn st un matric qui n possèd qu un sul colonn Un matric lign st un matric qui n possèd qu un sul lign DÉFINITION 54 Matric null On dit qu A M q,p K st la matric null d M q,p K si t sulmnt si tous ss cofficints sont nuls On la not : Mq,p K ou lorsqu aucun confusion n st à craindr DÉFINITION 55 Matric carré Un matric possédant autant d ligns qu d colonns st dit carré On not M n K l nsmbl ds matrics carrés à n ligns t n colonns DÉFINITION 56 Matric idntité On appll matric idntité t on not I n la matric d M n K donné par : I n M n K Tous ss cofficints sont nuls sauf cux situés sur la diagonal t qui valnt Exmpl 5 I, I, I 3 5 L spac vctoril M q,p K On munitm q,p K d un addition t d un multiplication par un scalair L triplt M q,p K,+, st alors un K-spac vctoril d dimnsion pq

2 PROPOSITION 5 Somm d matrics, multiplication d un matric par un scalair colonn j Soint A a i,j,b bi,j Mq,p K On définit A+B comm étant la matric C ci,j Mq,p K donné par : b b j b p i, j, q, p, c i,j a i,j + b i,j Soit A a i,j Mq,p K t λ K On définit λ A comm étant la matric D d i,j M q,p K donné par : k b k b kj b kp i, j, q, p, d i,j λa i,j Muni d cs dux lois M q,p K,+, st un K spac vctoril : spac vctoril Laissé au lctur On vérifi aisémnt ls différnts axioms définissant un a a k a q b q c b qj c j b qp c p Exmpl lign i a i a ik a iq c i c ij c ip DÉFINITION 57 Matrics élémntairs Pour tout i, q t j, p on définit la matric élémntair E i,j M q,p K par : a r a rk a rq c r c rj c rp colonn E i lign i Tous ls cofficints d la matric élémntair E i,j sont nuls sauf clui à l intrsction d la i-èm lign t d la j-èm colonn qui vaut Exmpl 54 Ls matrics élémntairs d M,3 K sont E,,E,,E,3,E,,E, À titr d xrcic, t pour préparr l théorèm suivant, montrr qu ctt famill d 6 matrics constitu un bas d M,3 K THÉORÈME 5 Bas canoniqu dm q,p K Attntion 55 On n put ffctur l produit d A M r,q K t B M q,p K qu si q q! Exmpl 56 Si A t B alors AB 4 t BA Rmarquons qu n général, l produit AB put xistr sans qu c n soit forcémnt l cas pour l produit BA Il st souvnt util dans ls xrcics d savoir multiplir ls matrics élémntairs Pour c fair introduisons l symbol d Kronckr,E,3 DÉFINITION 59 Symbol d Kronckr Pour tout i, j N, on définit l symbol d Kronckr δ i,j par : δ i,j { si i j sinon La famill formé par ls matrics élémntairs E i,j i,j,q,p st un bas d M q,p K applé bas canoniqu d M q,p K On n déduit qu : dimm q,p K qp Prouvons qu ctt famill st libr Soint α i,j un famill d scalairs d K i,q,j,p tls qu : q p j α i,j E i,j Alors on a l égalité : α, α,p α q, α q,p Par idntification ds cofficints d cs dux matrics, on a : i, q, j, p, α i,j c qui prouv la librté d la famill E i,j Montrons qu ctt famill st génératric dm q,p K Soit A a i,j Mq,p K i,q,j,p On a clairmnt : A q p j a i,j E i,j C qui prouv qu la famill E i,j st génératric d M q,p K 53 Produit matricil On définit maintnant, quand c st possibl, l produit d dux matrics L théorèm 5 pag 4 xplicit l sns d c produit, il corrspond n fait à la composition ds applications linéairs DÉFINITION 58 Produit matricil Soit A M r,q K t B M q,p K On définit AB comm la matric C dm r,p K défini par : i,r j, p q c i,j [AB] i,j a i,k b k,j k Rmarqu 5 L nombr δ i,j st l élémnt génériqu d la matric idntité I n THÉORÈME 53 Produit d matrics élémntairs Pour dux matrics élémntairs d M n K, on a la formul important suivant qui donn lur produit : E k,l E p,q δ l,p E k,q Par un calcul dirct Voir aussi l paragraph?? pag?? PROPOSITION 54 Règls d calculs avc ls matrics Quant ls produit suivants sont possibls, pour ds matrics A,B,C t ds scalairs α,β : L produit matricil st distributif à gauch par rapport à l addition : C αa+βb αca+βcb L produit matricil st distributif à droit par rapport à l addition : αa+βb CαAC+ βbc 54 Transposition Laissé au lctur 3 L produit matricil st associatif : AB CABC 4 L produit matricil admt la matric I n comm élémnt nutr :AI n I n A A DÉFINITION 5 Transposé d un matric On appll transposé d A M q,p K la matric noté t A M p,q K dont ls colonns sont formés par ls ligns d A Autrmnt dit : i, p, j, q, [ t A ] i,j a j,i

3 Rmarqu 5 Transposr rvint à échangr ls ligns t ls colonns d un matric 3 Exmpl 57 Si A 7 alors t A PROPOSITION 55 La transposition st un symétri dm p,q K L application : { Mq,p K M Φ : p,q K A t A st un isomorphism d spacs vctorils En particulir, si A,B M q,p K t si α,β K Alors : t t A t A t αa+βb α t A+β t B : La linéarité ainsi qu la rlation tt A A sont facils à prouvr Pour la bijctivité, on propos dux méthods : On montr facilmnt qu, si A KrΦ, on a t A t donc A tt A t KrΦ{}, θ st injctiv Grâc à la formul du rang, on n déduit qu ll st aussi surjctiv t donc bijctiv On put aussi rmarqur qu Φ Φ id c qui prouv qu Φ st bijctiv t égal à sa fonction réciproqu Rmarqu 53 En prnant un pu d avanc sur l paragraph 534, L opération d transposition st un symétri par rapport à KrΦ ids n K parallèlmnt à KrΦ+ ida n K MAPLE > withlinalg: #On charg la librairi d calcul matricil > A:matrix[[,-],[,],[,-3]]; [ -] A : [ -3] > B:matrix[[,],[,-3],[-,]]; [ ] B : [ -3] [- ] > C:matrix[[-,,],[,,]]; [- ] C : [ ] > valm*a-b; #on calcul A-B [ -] [- 7] [ 3-7] > valma&*c; #on calcul AC [- - -] [ 4 ] [- -5-3] > transposa; #on transpos A [ ] [- -3] PROPOSITION 56 Transposé d un produit Pour tout A M r,q K t B M q,p K : t AB t B t A On suppos qu A a i,k Mr,q K, qu B b k,j M q,p K, CAB c i,j M r,p K où c i,j q k a i,k b k,j On not aussi : A t A a M i,k q,r K avc pour tout i, q t tout k,r, a i,k a k,i B t B b M k,j p,q K avc pour tout k, p t tout j, q, b k,j b j,k C t B t A c i,j M p,r K Pour tout i, p t j,r : 5 Matrics d un famill d vcturs, d un application linéair 5 Matric d un famill d vcturs rlativmnt à un bas DÉFINITION 5 Matric d un vctur rlativmnt à un bas Soint E un K-spac vctoril d dimnsion fini n t,, n un bas d E Soit x E un vctur qui s décompos sur la bas n : x x + + x n n On appll matric d x rlativmnt à la bas t on not Mat x la matric colonn donné par : x Mat x M n, K x n où x x i i c i,j q b i,k a k,j q a j,k b k,i c j,i k k t par conséqunt, C t B t AC t AB Attntion 58 Attntion au rtournmnt dans l produit Exmpl 59 On considèr R 3 muni d sa bas canoniqu,, 3 Soit v,,3 R 3 Alors Mat v 3 Rmarqu 54 Mat x rprésnt ls coordonnés du vctur x dans la bas Il y a bin sûr un bijction ntr ls vcturs d E t ls matrics colonns d taill n qui continnnt ls composants d cs vcturs dans un bas fixé D plus, «ffctur ds calculs avc cs vcturs» corrspond à «ffctur ds calculs avc cs matrics» C st l sns d la proposition suivant 55 Avc Mapl Voici un fuill d calcul Mapl sur ls matrics On notra : la prmièr lign qui srt à chargr n mémoir ls instructions mapl pour fair du calcul matricil la command pour l produit d dux matrics : & Pour l addition d dux matrics, on utilisra + t pour la multiplication par un scalair * la command pour évalur ls matrics : valm PROPOSITION 57 Tout K-spac vctoril d dimnsion n st isomorph à M n, K Soit { E un K-spac vctoril d dimnsion n t soit un bas d E L application E Mn, K θ : qui à un vctur associ la matric colonn d ss coordonnés x Mat x dans la bas E st un isomorphism d K spacs vctorils Si x n x i i t si y n y i i alors pour tout α,β K, αx + βy n αxi +βy i i donc il st clair qu Mat αx+βy αmat x+βmat y t θ st linéair Si x Krθ alors θx t ls composants d x dans la bas valnt touts Donc x t θ st injctiv D plus, dime dimm n, K donc θ st bijctiv 3

4 DÉFINITION 5 Matric d un famill d vcturs rlativmnt à un bas Soint E un K-spac vctoril d dimnsion q t,, q un bas d E On considèr v,, v p un famill d p vcturs d E qui s décomposnt dans la bas sous la form : j, p q v j a i,j i On appll matric d la famill v,, v p rlativmnt à la bas t on not Mat v,, v p la matric : v v v p a a a p PROPOSITION 58 Un application linéair st ntièrmnt détrminé par sa matric dans dux bass Soint : E un K-spac vctoril d dimnsion p t,, p un bas d E F un K-spac vctoril d dimnsion q t f f,, f q un bas d F l application : { L E,F Mq,p K θ : u Mat f u st un isomorphism d spacs vctorils En particulir, si M M q,p K, il xist un uniqu application linéair u L E,F tll qu θ Mu On dit qu u st l application linéair d E dans F rprésnté par M dans ls bass d E t f d F Mat v,, v p a i a i a ip i a q a q a qp q On vérifi tout d abord qu θ st linéair Soint α,β K t soint u, v L E,F On suppos qu θu Mat f u A a i,j M q,p K, qu θv Mat f vb b i,j M q,p K t qu θ αu+βv Mat f αu+βv C c i,j M q,p K Par conséqunt : La j-èm colonn d ctt matric st constitué ds coordonnés du vctur v j dans la bas j, p, q q u j a k,j f k t v j b k,j f k k k Exmpl 5 On s plac à nouvau dans R 3 muni d sa bas canoniqu,, 3 Soint v,3,, v,,5, v 3 3,,, v 4,, R 3 t soit 3 v v, v, v 3, v 4 alors Mat v Matric d un application linéair rlativmnt à dux bass DÉFINITION 53 Matric d un application linéair rlativmnt à dux bass Soint : E un K-spac vctoril d dimnsion p t,, p un bas d E F un K-spac vctoril d dimnsion q t f f,, f q un bas d F 3 u L E,F On appll matric d u rlativmnt aux bass f t t on not Mat f u ou Mat,f u la matric q p donné par : Mat f u u u u p a a a p f a i a i a ip a q a q a qp f q où a j,, a q j sont ls composants du vctur u j dans la bas f Autrmnt dit : Mat f u st la matric d la famill d vcturs u,,u p rlativmnt à la bas f : Mat f umat f u,,u p Rmarqu 55 Ls notations utilisés sont un pu lourds mais lls rndront très simpls à rtnir ls formuls d changmnt d bas Exmpl 5 Donnons dux xmpls : { Soit E R 3 muni d sa bas canoniqu t FR muni d sa bas canoniqu f Soit u : E F x, y, z x+y z,x y+ 3z alors comm u,, u, t u 3,3, Mat f u 3 { E E Soit ER 3 [X] muni d sa bas canoniqu t u : P P P alors u, u X X, u X X X t u X 3 X 3 3X Il vint alors Mat u 3 DÉFINITION 54 Matric d un form linéair rlativmnt à un bas Soit E un K-spac vctoril d dimnsion n t,, n un bas d E Si ϕ st un form linéair sur E, on appll matric d ϕ rlativmnt à la bas la matric lign n donné par : Mat ϕ ϕ,,ϕ n f i Par suit, pour tout j, p : q αu+βv j c k,j f k αu j +βv j k Par idntification, la famill f formant un bas d F, on a : q k k, p, j, p, c k,j αa k,j +βb k,j αa k,j +βb k,j f k c qui prouv qu : C αa+βb t qu θ st linéair θ st injctiv En fft, si u L E,F st tll qu θu alors j, p, u j q k f k u s annulant sur un bas d E n put qu s annulr sur E tout ntir t donc u On n déduit qu Krθ {} t qu θ st injctiv θ st surjctiv Soit A a i,j M q,p K Considérons l application linéair u L E,F donné par : j, p, u j q k a k,j f k Rapplons qu un application linéair st complètmnt détrminés par ls valurs qu ll prnd sur un bas d l spac vctoril sur lqul ll st défini On a clairmnt θu A c qui prouv qu θ st surjctiv PLAN 5 : Autrmnt dit : Avc ls notations précédnts, s fixant un bas dans E t un bas f dans F Tout matric d M q,p K st cll d un application linéair u L E,F dans ls bass t f Réciproqumnt, à tout application linéair d L E,F corrspond un t un sul matric d M q,p K qui la rprésnt dans ls bass t f En utilisant cs dux drnièrs propositions, on obtint : COROLLAIRE 59 Soint E t F dux K-spac vctoril d dimnsion fini, soint t f ds bass rspctivs d E t F Si on not p dime t q dimf, on a : diml E,FdimM q,p K qp : En fft, dux K-spacs vctorils isomorphs ont la mêm dimnsion L théorèm suivant justifi la définition du produit matricil Composr ds applications linéairs rvint à multiplir ls matrics corrspondants THÉORÈME 5 Fondamntal! Matric d la composé d dux applications linéairs Soint : alors : E un K-spac vctoril d dimnsion p t,, p un bas d E F un K-spac vctoril d dimnsion q t f f,, f q un bas d F 3 G un K-spac vctoril d dimnsion r t g g,, g r un bas d G 4 u L E,F t v L F,G Mat g v umat g f v Mat f u Notons : A a i,j Mat f u B b i,j Mat g f v t C q c i,j j j k a k,j f k v u Mat g v u Soint j, p t i,r On a : v u q k a k,j v q f k k a r k,j b i,k g i q r k b i,k a k,j g i r v q k b i,k a k,j g i Et par idntification : c i,j q k b j,k a k,i c qui prouv l résultat Enfin, on écrit l calcul d l imag d un vctur par un application linéair put s ffctur, n dimnsion fini, au moyn ds matrics PROPOSITION 5 Écritur matricill d l imag d un vctur par un application linéair Soint : 4

5 E un K-spac vctoril d dimnsion p t,, p un bas d E alors : F un K-spac vctoril d dimnsion q t f f,, f q un bas d F 3 u L E,F Mat f u xmat f u Mat x Autrmnt dit, si Y Mat f u x, AMat f u t X Mat x, on a : YAX Posons A a i,j p j x j j On a : u x u p j x j u q y i f i Par idntification, on a bin : c qui prouv l résultat Exmpl 5 Soit dux applications linéairs { R 3 R u : x, y, z x y, x+y+ z M q,p K, X x j j p j x j i, q p, y i a i,j x j j M p, K t Y y i Mq, K q a i,j f i q p j a i,j x j f i { R R 3 v : x, y x+y, x+ y, x y On not la bas canoniqu d R 3 t f la bas canoniqu d R On écrit Mat f u t Mat f v On écrit maintnant Mat v u t Mat f f u v On sait qu Mat v umat f v Mat f u 3 t qu Mat f f u vmat f u Mat f v 3 3 Donnons l xprssion analytiqu d u v t v u On utilis l théorèm 5 x x+ z D un part 3 y 3x+y+ z donc u v x, y, z z y z x+ z,3x+y+ z, y z x y D autr part t v u x, y y,3x+ y 3 y 3x+ y 53 Matrics carrés 53 Définitions Rapplons qu un matric st carré si t sulmnt si ll possèd autant d ligns qu d colonns L nsmbl ds matrics carrés d taill n st noté M n K PROPOSITION 5 M n K,+, possèd un structur d spac vctoril d dimnsion fini n M n K,+, possèd un structur d annau unitair non commutatif L prmir point st un corollair immédiat ds propositions 5 t 5 On vérifi facilmnt ls axioms d un annau pour M n K,+, Rmarqu 56 Comm M n K,+, st un annau, pour dux matrics A,B M n K, on pourra utilisr la formul du binôm d Nwton voir l théorèm?? pag?? dès qu A t B commutnt, c st-à-dir dès qu AB BA Exmpl 53 Calculons ls puissanc d A On rmarqu qu A I 3 + B avc B On rmarqu aussi qu B t qu B 3 Comm I 3 BBI 3 B, on put appliqur la formul du binôm t écrir pour n : n n A n I n k 3 B k n n I 3 + nb+ B k k nn+ n Par un calcul dirct, on montr qu ctt égalité rst corrct si n, d où l résultat DÉFINITION 55 Matric d un ndomorphism dans un bas Soint E un K-spac vctoril d dimnsion n t un bas d E Soit u L E un ndomorphism d E On appll matric d l ndomorphism u dans la bas la matric noté Mat u t donné par : Mat umat u Rmarquons qu Mat u st un matric carré : Mat u M n K PROPOSITION 53 Un ndomorphism st ntièrmnt détrminé par sa matric dans un bas Soint E un K-spac vctoril d dimnsion n t un bas d E Alors, l application { L E Mn K θ : u Mat u st un isomorphism d annaux t d spacs vctorils En particulir, si M M n K, il xist un uniqu ndomorphism u L E tl qu θ Mu On dit qu u st l ndomorphism d E rprésnté par M dans la bas L fait qu θ st un isomorphism d spacs vctorils st un cas particulir du théorèm 58 Par aillurs, si u, v L E alors θu v Mat u v Mat umat v θuθv c qui prouv qu θ st un morphism d annaux PLAN 5 : Autrmnt dit : Avc ls notations d la proposition précédnt, s fixant un bas d E : A tout matric A d M n K corrspond un t un sul ndomorphism u d E dont la matric dans la bas st A Réciproqumnt, à tout ndomorphism d E corrspond un t un sul matric d M n K qui l rprésnt dans la bas 53 Élémnts invrsibls dansm n K, group GL n K DÉFINITION 56 Matric invrsibl On dit qu un matric carré A M n K st invrsibl si t sulmnt si il xist B M n K tl qu : ABI n t BA I n Si tl st l cas B st uniqu t st applé matric invrs d la matric A ; on la not A L nsmbl ds matrics d taill n st noté GL n K : Soit B t B dux matrics d M n K tlls qu ABBAI n t AB B AI n On a donc BBI n B AB BA B I n B B Exmpl 54 La matric A st invrsibl En fft, chrchons son invrs sous la form B x+ z x y y+ t Comm AB I z t on a l systèm : qu on résout t on trouv B z t On vérifi qu ABBA I 3 donc BA Rmarqu 57 On comprnd grâc à ct xmpl qu il va falloir dévloppr ds outils plus sophistiqués si on vut montrr sans trop d calculs qu un matric st invrsibl Cs outils sront l rang voir paragraph 55 t l détrminant voir paragraph 56 On montrra aussi dans c drnir paragraph commnt, grâc à la notion d comatric, on pourra calculr l invrs d matrics invrsibls d taill pas trop grand La proposition suivant prmt d traduir la notion d invrsibilité ntr ls matrics t ls applications linéairs PROPOSITION 54 Un application linéair st invrsibl si t sulmnt si sa matric st invrsibl Soint t f ds bass rspctivs ds K-spac vctorils E t F tous dux d dimnsion n, u L E,F t AMat f u Alors A st invrsibl si t sulmnt si u st un isomorphism Supposons qu A st invrsibl Alors il xist B M n K tl qu AB BAI n Soit v élémnt d L E,F tl qu BMat f v On a : Mat Id E I n BAMat f vmat f umat v u Par conséqunt : v u Id F D mêm, on a : Mat f f Id F I n ABMat f umat f vmat f f u v Par conséqunt : u v Id E On a ainsi prouvé qu u st un isomorphism d E dans F d application réciproqu v 5

6 Réciproqumnt si u st un isomorphism d E dans F alors notons v : F E son application réciproqu Posons BMat f v On a : : On a la séri d équivalncs : A GL n K B M n K : AB I n B M n K : t AB t I n B M n K : t B t AI n t A GL n t ABMat f umat f v Mat f f u vmat f f Id F I n BAMat f vmat f umat v umat Id E I n t donc A st invrsibl d matric invrs B PROPOSITION 55 Si E st d dimnsion n, GL n K t GL E sont ds groups isomorphs GL n K, st un group n général non abélin Si E st un K-spac vctoril d dimnsion n t si st un bas d E, l application { GL E GLn K θ : u Mat u st un isomorphism d group θ st bin défini car si u st un automorphism d E alors Mat u st invrsibl θ st un morphism d group : si u, v GL E, alors θu v Mat u v Mat umat v θuθv θ st injctiv car si θui n alors Mat ui n t donc u Id E Enfin, θ st surjctiv car tout matric d GL n K rprésnt un automorphism d E Rmarqu 58 Ls dux démonstrations qui vinnnt sont typiqus d c chapitr Pour démontrr un propriété sur ls matrics, on la transcrit n trm d application linéair Vous dvz vous familiarisr avc ctt gymnastiqu Exmpl 55 On rprnd la matric A d l xmpl 54 p 5 A st la matric, dans la bas,x, d l ndomorphism u d K [X] dans lui-mêm défini par uppx+ Il st clair qu l ndomorphism v d K [X] dans lui-mêm défini par vppx "défait c qu fait u" t donc qu u t v sont invrss l un d l autr Donc A st invrsibl d après la proposition 54 p 5 D plus A st la matric d v dans la bas,x, à savoir THÉORÈME 56 Un prmièr caractérisation ds matrics invrsibls Soint A,B M n K On suppos qu : H A B I n alors A t B sont invrsibls t invrss l un d l autr : BA t AB Soint E un spac vctoril d dimnsion n, un bas d E t soit u l ndomorphism d E rprésnté par A dans la bas t v l ndomorphism d E rprésnté par B dans la bas Comm ABI n, on a : I n ABMat umat v Mat u v Mat Id E Par conséqunt : u v Id E On n déduit qu d après l théorèm?? pag?? qu u st invrsibl d invrs v t donc qu A st invrsibl d invrs B PROPOSITION 57 Un scond caractérisation ds matrics invrsibls A GL n K [ X M n, K, AX X ] Exmpl 56 On a vu au chapitr?? qu si u st un vctur du plan d coordonnés x, y dans un bas orthonormal dirct ı, j t si Rθ st la rotation vctorill d angl θ R alors ls coordonnés d R θ u dans sont : x, y cosθx+ sinθy, sinθx+ cosθy On a donc : cosθ sinθ Mat R θ sinθ cosθ Rmarquons qu R θ st un automorphism du plan, d bijction réciproqu : R θ On a par aillurs bin : cosθ sinθ cosθ sinθ Mat R θ Mat R θ I sinθ cosθ sinθ cosθ Rmarquons qu Mat R θ t Mat R θ Ls matrics invrsibls A dont la matric invrs st égal à lur transposé : t A sont dits orthogonals BIO Camill Jordan, né l 5 janvir 838 à Lyon, mort l janvir 9 à Paris Mathématicin Français Camill Jordan st issu d un miliu favorisé Son pèr était polytchnicin t sa mèr était la sœur du pintr Pirr Puvis d Chavanns Il fait ds étuds brillants t intègr Polytchniqu à la prmièr plac Il dvint ingéniur du corps ds mins t mèn n parallèl ds rchrchs mathématiqus En 876, il succèd à Cauchy comm nsignant à l écol Polytchniqu Ss travaux mathématiqus portnt sur la géométri, courbs d Jordan, mais égalmnt sur l étud du group ds prmutations, t ls séris d Fourir Il st aussi l autur d un procédé d réduction ds ndomorphisms tllmnt util qu il st parfois nommé «jordanisation ds ndomorphisms» Réduir un ndomorphism consist à trouvr un bas dans laqull sa matric prnd un «form simpl» Dans l cas d la jordanisation, il s agit d un matric diagonal par blocs dont ls blocs sont ds matrics d Jordan voir l xrcic?? C procédé st n particulir important pour résoudr crtains équations différntills Ajoutons qu Jordan était réputé pour l xcntricité d ss notations Il prnd sa rtrait n 9 Cll-ci st marqué par l décès d trois d ss huit nfants durant la prmièr gurr mondial 533 Trac d un matric DÉFINITION 57 Trac d un matric carré Soit A a i,j Mn K un matric carré On appll trac d A t on not Tr A, l scalair : Tr A a i,i Soint E un spac vctoril d dimnsion n, un bas d E t soit u l ndomorphism d E rprésnté par A dans la bas : AMat u Soint X M n, K t x l vctur d E tl qu Mat xx On a : AX Mat umat x Mat u x Si A st invrsibl alors u st un isomorphism Donc AX n st possibl qu si u x c stà-dir si x Par conséqunt X Réciproqumnt, si AX ntraîn X, alors u x ntraîn x t donc Kru {} par suit u st injctif Comm u st un ndomorphism, u st donc aussi surjctif d après l corollair?? pag?? t définit bin un isomorphism Par conséqunt A st invrsibl PROPOSITION 58 Si A,B M n K sont invrsibls, il n st d mêm pour AB t : AB B A Supposons qu A t B soint invrsibls Il xist alors A,B M n K tlls qu : AA I n t BB I n Montrons qu : B A st la matric invrs d AB c qui prouvra l résultat Il suffit pour c fair d rmarqur qu : ABB A A }{{} BB A AA I n In PROPOSITION 59 Si A M n K, t A st invrsibl si t sulmnt si A l st D plus, si tl st l cas : t A t A Rmarqu 59 d A La trac d A M n K st égal à la somm ds élémnts diagonaux PROPOSITION 5 Propriétés d la trac { Mn K K L application Tr : st un form linéair En particulir, si A Tr A α,β K t si A,B M n K alors Tr αa+βb αtr A+ βtr B A,B M n K, Tr ABTr BA La linéarité d la trac st laissé n xrcic Soint A,B M n K On suppos qu A a i,j t Tr BA n n k a k,i b i,k t cs dux quantités sont bin égals PLAN 53 : En résumé : Opérations sur ls matrics Si A,B M q,p K t si α,β K, alors : t t A A t αa+βb α t A+β t B t AB t B t A Si A,B GL n K, AB B A t B b i,j On a : Tr AB n n k a i,k b k,i t A t A 3 Si A,B M n K t si α,β K, alors : Tr αa+βb αtr A+βTr B Tr ABTr BA 6

7 534 Matrics carrés rmarquabls Matrics scalairs, diagonals, triangulairs Nous allons nous intérssr à dux typs particulirs d matric dans ctt sction : ls matrics diagonals t ls matrics triangulairs Ls prmièrs s multiplint t s invrsnt très facilmnt quand c st possibl évidmmnt Avc ls sconds, ls calculs sont plus difficils mais moins qu dans l cas d matrics qulconqus DÉFINITION 58 Matrics scalairs, diagonals Un matric D M n K st diagonal si t sulmnt si : i, j,n i j d i,j λ λ D λ n On notra DDiagλ,,λ ainsi qu D n K l nsmbl ds matrics diagonals d taill n Ls matrics diagonals d la form Diagλ,,λ où λ K sont applés matrics scalairs Rmarqu 5 tl qu AλI n Un matric A M n K st scalair si t sulmnt si il xist λ K DÉFINITION 59 Matric triangulair supériur On dit qu T M n K st triangulair supériur lorsqu : T st d la form : i, j,n i > j t i,j t t n t T t nn On not T n K l nsmbl ds matrics triangulairs supériurs d taill n PROPOSITION 5 Dimnsion du sous-spac ds matrics diagonals t du sousspac ds matrics triangulairs L sous-nsmbl ds matrics scalair d M n K st un sous-spac vctoril d M n K d dimnsion L sous-nsmbl ds matrics diagonals D n K d M n K st un sous-spac vctoril d M n K d dimnsion n 3 L sous-nsmbl ds matrics triangulairs supériurs T n K d M n K st n n+ un sous-spac vctoril d M n K d dimnsion L fait qu chacun d cs quatr sous-nsmbls d M n K sont ds sous-spacs vctorils d M n K st laissé n xrcic au lctur La matric idntité ngndr clairmnt l sous-nsmbl ds matrics scalair d M n K Par conséqunt c sous-nsmbl st d dimnsion Ls matrics élémntairs E i,i i,n ngndrnt clairmnt l sous-nsmbl ds matrics diagonals D n K d M n K Comm ctt famill st un sous-famill d un famill libr, ll st libr t form donc un bas d D n K Par conséqunt : dimd n Kn D mêm ls matrics élémntairs E i,j ngndrnt l sous-nsmbl ds ma- i,j,n,j i trics triangulairs supériurs T n K d M n K Comm ctt famill st un sous-famill n n+ d un famill libr, ll st libr t form donc un bas d T n K Il y a d tlls matrics t donc : dimt n K n n+ PROPOSITION 5 Opérations algébriqus avc ls matrics diagonals t ls matrics triangulairs supériurs Si D t D sont dux matrics diagonals dont ls cofficints diagonaux sont rspctivmnt λ,,λ n t µ,,µ n, D D st diagonal t ss cofficints diagonaux sont λ µ,,λ n µ n Si T t T sont dux matrics triangulairs supériurs dont ls cofficints diagonaux sont rspctivmnt λ,,λ n t µ,,µ n, T T st triangulair supériur t ss cofficints diagonaux sont λ µ,,λ n µ n Si N M n K st un matric triangulair supériur dont tous ls cofficints diagonaux sont nuls, alors N n ; on dit qu N st nilpotnt Exrcic COROLLAIRE 53 Invrs d un matric diagonal t d un matric triangulair Un matric diagonal DDiagλ,,λ n st invrsibl si t sulmnt si tous ss cofficints diagonaux sont non nuls Dans c cas : D Diag λ,,λ n Un matric triangulair supériur T M n K d la form : t t T t nn st invrsibl si t sulmnt si tous ss cofficints diagonaux sont non nuls Dans c cas, T st d la form : t t T tnn Soit DDiagλ,,λ n un matric diagonal Supposons qu : k,n, λ k alors clairmnt la matric Diagλ,,λ n st la matric invrs d D Réciproqumnt, si un ds cofficints, λ par xmpl st nul Alors, posant X t,,, M n, K, on a AX t X donc,appliquant la proposition 57, A n st pas invrsibl D mêm si T st un matric triangulair supériur tll qu ss cofficints diagonaux sont non nuls, alors n posant X t x,, x n M n, K, on a : TX si t sulmnt si : λ x + a, x + a,3 x 3 + +a,n x n λ x + a,3 x 3 + +a,n x n λ n x n comm ls λ i, pour i,n sont non nuls, c systèm possèd comm uniqu solution l n-uplt nul donc X t appliquant à nouvau la proposition 57, A n st pas invrsibl Réciproqumnt, si un ds cofficint, λ par xmpl st nul, alors n posant X t,,, M n, K, on a AX t X donc, appliquant la proposition 57, A n st pas invrsibl Matrics symétriqus, antisymétriqus DÉFINITION 5 Matrics symétriqus, antisymétriqus Soit A M n K On dit qu A st symétriqu si t sulmnt si t AA c st-à-dir si t sulmnt si : i, j,n a j,i a i,j L nsmbl ds matrics symétriqus d taill n st noté S n K On dit qu A st antisymétriqu si t sulmnt si t A A c st-à-dir si t sulmnt si : i, j,n a j,i a i,j L nsmbl ds matrics antisymétriqus d taill n st noté A n K à n ligns t n colonns Rmarqu 5 Par définition, si A a i,j Mn K st antisymétriqu, t si i,n alors a i,i a i,i t donc a i,i Ls cofficints diagonaux d un matric antisymétriqu sont donc nuls PROPOSITION 54 S n K t A n K sont ds sous-spacs vctorils supplémntairs d M n K D plus : n n+ dims n K n n t dima n K Posons, pour tout i, j,n, i < j posons F i,j E i,j +E j,i t H i,j E i,j E j,i où E i,j désign la matric élémntair i, j On a : t { } S n K Vct F i,j,e i,i i, j,n,i < j { } A n K Vct H i,j i, j,n,i < j c qui prouv qu cs dux nsmbls sont ds sous-spacs vctorils d M n K D plus, on vérifi facilmnt qu ls famills F i,j,e i,i i, j,n,i < j t H i,j i, j,n,i < j sont n n+ n n librs d cardinal rspctif t Ells constitunt donc ds bass d, rspctivmnt, S n K t A n K c qui donn lur dimnsion On vérifi d plus facilmnt qu si un matric st à la fois symétriqu t antisymétriqu, ll st null t donc S n K A n K{} Comm d plus : dims n K+dimA n KdimM n Kn on put affirmr qu cs dux sous-spacs sont supplémntairs dans M n K 7

8 Matrics d changmnt d bas Comm lur nom l indiqu, ls matrics d changmnt d bas vont nous prmttr d calculr la matric d un application linéair dans ds bass donnés quand on connaît ctt matric pour d autrs bass DÉFINITION 5 Matric d changmnt d bas Soint,, n t f f,, f n dux bass du K spac vctoril E d dimnsion n On appll matric d passag d à f ou matric d changmnt d bas t on not P f la matric d la famill f,, f n rlativmnt à la bas : Rmarqu 5 P f M n K P f Mat f,, f n PROPOSITION 55 Propriétés ds matrics d changmnt d bas Soint, f t g trois bass du K-spac vctoril E d dimnsion n On a : 3 P f st invrsibl t : P f Mat f id E P g P f P f g [ P f ] Pf La prmièr égalité st laissé n xrcic On a, par application du théorèm 5 : P f P f g Mat f i d E Mat f g i d E Mat g i d E i d E Mat g i d E P g 3 Par application d la proposition précédnt, on a : P f P f P I n t P f P f P f f I n Par conséqunt, P f st invrsibl t : P f Pf COROLLAIRE 56 Caractérisation matricill d la librté d un famill d vcturs Soint E un K-spac vctoril d dimnsion n, un bas d E t x un famill d n vcturs d E Alors, la famill x st libr si t sulmnt si la matric ds n vcturs d la famill x dans la bas : Mat x,, x n st invrsibl Supposons qu la famill x soit libr Comm ll st d cardinal n, ll form un bas d t donc, appliquant la propriété précédnt, Mat x,, x np x st un matric d passag d la bas à la bas x t st donc invrsibl Réciproqumnt, si Mat x,, x n st invrsibl alors ctt matric rprésnt un automorphism u d E dans la bas t comm l imag d un bas d E par un automorphism d E st un bas d E, on n déduit qu x st un bas d E En particulir x st libr PROPOSITION 57 Tout matric invrsibl s intrprèt comm un matric d changmnt d bas Soit E un K-spac vctoril d dimnsion n t un bas d E Alors pour tout matric invrsibl A GL n K, il xist un uniqu bas d E tll qu A P Soit A GL n K Ls vcturs colonns d A sont ls coordonnés d un famill d vcturs f dans la bas : A Mat f,, f n Par application d la proposition précédnt, la famill f st libr t donc AMat f P f Matrics d transvction t d dilatation, opérations élémntairs sur ls ligns t ls colonns d un matric On considèr dans tout c paragraph un matric a, a,p A M n,p K a n, a n,p DÉFINITION 5 Opérations élémntairs sur ls ligns ou ls colonns d un matric On appll opération élémntair sur ls ligns rspctivmnt sur ls colonns d la matric A un ds opérations suivants : Addition d un lign rspctivmnt d un colonn à un autr lign rspctivmnt à un autr colonn Multiplication d un lign rspctivmnt d un colonn par un scalair non nul 3 Échang d dux ligns rspctivmnt d dux colonns Notation 57 On not, pour tous i, j,n t tout λ K : L i λl i la multiplication d la lign i par l scalair λ L i L i + λl j l addition d la lign λl j à la lign L i L i L j l échang ds ligns i t j On a ds notations analogus avc ls colonns Nous notrons, pour tout i,n t tout j, p, E i j la matric élémntair dm n,p K dont tous ls cofficints sont nuls sauf clui à l intrsction d la i-èm lign t d la j- èm colonn t qui vaut PROPOSITION 58 Traduction ds ol n trms matricils On a l tablau d corrspondanc : k ol matric P L i L i + λl j I n + λe i,j Matric d transvction L i λl i I n E i,i + λe i,i Matric d dilatation 3 L i L j I n E i,i E j,j + E i,j + E j,i qui s lit ainsi : Effctur l opération élémntair n k sur ls ligns d A rvint à multiplir A à gauch par la matric invrsibl P Par un calcul dirct PROPOSITION 59 Traduction ds oc n trms matricils On a l tablau d corrspondanc : k oc matric P C i λc i + λc j I p + λe i,j Matric d transvction C i λc i I p E i,i + λe i,i Matric d dilatation 3 C i C j I p E i,i E j,j + E i,j + E j,i qui s lit ainsi : Effctur l opération élémntair n k sur ls colonns d A rvint à multiplir A à droit par la matric invrsibl P Par un calcul dirct 54 Changmnt d bas 54 Pour un vctur PROPOSITION 53 Formul d changmnt d bas pour un vctur Soint E un K-spac vctoril d dimnsion n Considérons t f dux bass d E t x E Alors : Mat f x P f Mat x Posons Mat f x a i,j M n,n K On a : Par conséqunt : X i M n, K, Mat x X i Mn, K t P f x X i f i X j j t i,n, j a i,j f i j Donc, par idntification, on a bin : i,n, x X j j j X j a i,j f i j a i,j X j f i j X i f i On put aussi prouvr c résultat d la façon suivant : Mat f x Mat f Id E x X i n j a i,j X j Mat f Id E Mat x par application d 5 P f Mat x 54 Pour un application linéair PROPOSITION 53 Formul d changmnt d bas pour un application linéair On considèr : t dux bass du K-spac vctoril E f t f dux bass du K-spac vctoril F t u L E,F On a la formul d changmnt d bas : Mat f up f f Mat f u P 8

9 Soit x E t y u x Soit X Mat x, Y Mat f y, X Mat x, Y Mat f y, A Matf u t A Mat f u On a, par application du théorèm 5 : Y AX t Y A X D plus, par application d la proposition précédnt : X P X t Y P f f Y On a donc : Y P f f Y P f f AX t Y A X A P X Exmpl 58 rg 3, rg 3, rg Par conséqunt : A P P f f A c qui donn bin : A P f f Mat f u P On put aussi démontrr ctt formul ainsi : 543 Pour un ndomorphism A Mat f umat f Id F u Id E Mat f f Id F Mat f u Mat Id E P f f Mat f u P PROPOSITION 53 Formul d changmnt d bas pour un ndomorphism On considèr t dux bass du K-spac vctoril E t u L E On a la formul d changmnt d bas : Mat u P Mat u P qui s écrit aussi avc P P, A Mat u t A Mat u : A P AP : C st un corollair immédiat d la proposition précédnt PROPOSITION 534 L rang d un matric st égal au rang d l application linéair qu ll rprésnt Soint : E un K-spac vctoril d dimnsion p muni d un bas F un K-spac vctoril d dimnsion q muni d un bas f 3 A M q,p K On sait qu il xist un uniqu application linéair u L E,F tll qu AMat f u alors on a : rgu rg A D après la proposition 57 pag 3, l application θ : F M q, K qui à un vctur d F associ sa matric dans la bas f st un isomorphism d K-spacs vctorils On idntifi dans la suitm q, K t K q Notons F Vct u,,u p F t G Vct C,,C p K q Rapplons qu rgu dimf t qu rg A dimg Mais θf G donc dimf dimg t rgu rg A THÉORÈME 535 Un matric carré st invrsibl si t sulmnt si son rang st égal à sa taill A M n K st invrsibl si t sulmnt si rgan Rmarqu 53 Avc ls notations précédnts, si A P AP alors A n P A n P 544 Pour un form linéair PROPOSITION 533 Formul d changmnt d bas pour un form linéair Soint t dux bass du K-spac vctoril E Si ϕ st un form linéair sur E, on a : Mat ϕ Mat ϕ P : C st ncor un corollair immédiat d la proposition précédnt 545 Un xmpl Soit l spac vctoril E R muni d sa bas canoniqu t ls dux vcturs f,, f,3 Montrons qu l systèm f f, f st un bas d E Cs dux vcturs n sont pas colinéairs, ils formnt donc un famill libr d R Comm dimr, f st forcémnt un bas d E On écrit Mat f 3 On écrit la matric d passag P f 3 x y 3 On invrs ctt matric n chrchant un matric B tll qu P z t f B 3 I On obtint un systèm t on trouv P f B 4 Soit l vctur x 4, On chrch matricillmnt ls coordonnés du vctur x 3 4 dans la bas f On trouv Mat f x P f Mat x 7 { E E 5 Soit l ndomorphism u : On écrit ls matrics d x, y x+y, x y ct ndomorphism dans ls bass t f : Mat u Rang d un matric On va dévloppr dans ctt sction ds méthods pratiqus pour : calculr l rang d un application linéair à partir d sa matric dans ds bass donnés tstr si un matric t donc si l ndomophism associé st invrsibl 55 Définition t propriétés DÉFINITION 53 Rang d un matric On appll rang d A M q,p K, t on not rg A, l rang d la famill constitué ds vcturs colonns C,,C p d A dans K q Soint un bas d un K-spac vctoril E d dimnsion n t soit u l uniqu ndomorphism d E tl qu : Mat u A On a : A invrsibl u st un automorphism d E rg Argu n PROPOSITION 536 Soit E un K-spac vctoril d dimnsion n, un bas d E t x,, x n un famill d n vcturs d E Alors Mat x,, x n st invrsibl si t sulmnt si x,, x n st un bas d E Soit u l ndomorphism d E défini par : i,n, u i xi Notons AMat x,, x nmat u On a : A st invrsibl u st un automorphism d E l imag d un bas d E par u st un bas d E THÉORÈME 537 Soit A M q,p K On a : A st un matric d rang r si t sulmnt si il xist Q GL q K t P GL p K tlls qu AQJ r P où r r r Soit E un K-spac vctoril d dimnsion p, un bas d E, F un K-spac vctoril d dimnsion q t f un bas d F Soit u L E,F l uniqu application linéair d E dans F tll qu Mat f ua On a : rgu rg Ar Faisant comm dans la démonstration du théorèm??, on put décomposr E n la somm : E Kru G où G st un sous-spac d E tl qu u G : G Imu st un isomorphism Par conséqunt, dimgdim Imu rgu r Soit,, r un bas d G t r+,, p un bas d Kr f,, r, r+,, n t Mat f up f Mat u P f st donc un bas d E t l imag d un bas d un spac vctoril par un isomorphism étant un bas d l spac vctoril d arrivé, u,,u r st un bas d Im f qu on put complétr n un bas f u,,u r, f r+,, f q utilisant ls formul d changmnt d bas, on a : AMat f up f f Mat f u P d F On a : Mat f ujr t qui st d la form voulu Soit E un K-spac vctoril d dimnsion p t F un K-spac vctoril d dimnsion q Soit un bas d E, f un bas d F t : un autr bas d E tll qu P P f un autr bas d F tll qu P f f Q Soit u L E,F tl qu : Mat f u Jr Intrprétant la formul A QJr P comm un formul d changmnt d bas, on a : AMat f u Par conséqunt : rg Argu rgj r COROLLAIRE 538 L rang d un matric st égal au rang d sa transposé Pour tout A M q,p K, rg t A rga Posons r rg A En appliquant la proposition précédnt, il xist Q GL q K t P GL p K tlls qu A QJ r P Par conséqunt : t A t P t J t r Q t PJ t r Q t t P GL p K, t Q GL q K Par conséqunt, appliquant à nouvau la proposition précédnt : rg t Ar 9

10 DÉFINITION 54 Matrics équivalnts Dux matrics A,B M q,p K sont dits équivalnts si t sulmnt s il xist dux matrics invrsibls Q GL q K t P GL p K tlls qu AQBP Rmarqu 54 Un corollair du théorèm précédnt st qu dux matrics sont équivalnts si t sulmnt si lls ont mêm rang DÉFINITION 55 Matrics smblabls Dux matrics carrés A,B M n K sont dits smblabls s il xist un matric invrsibl P tll qu APBP On va démontrr ctt proposition n ffctuant un récurrnc sur la taill n d ctt matric Si n la proposition st évidnt Soit n N, n> a i j 3 Supposons la proposition vrai au rang n t prouvons la au rang n Soit A GL n K Quitt à prmutr ls ligns d A, ctt matric étant invrsibl, on put supposr qu a Par ds ol, n utilisant comm pivot l cofficint a, on put alors transformr A n un matric B d la form : a B A Rmarqu 55 Rmarqu 56 Dux matrics smblabls sont a fortiori équivalnts Dux matrics smblabls ont mêm trac 55 Calcul pratiqu du rang d un matric PROPOSITION 539 Dux matrics déduits l un d l autr par un ol ou un oc ont mêm rang Dux matrics obtnus l un d l autr par un ol ou un oc sont d mêm rang Soit A M n,p K t P un matric corrspondant à un ol ou un oc P st donc invrsibl Posons B PA Soit r rga On appliqu l théorèm 537 Il xist ds matrics Q GL n K t Q GL p K tlls qu A Q I r Q On a donc : B PQ I r Q Q I r Q avc Q PQ qui st un matric invrsibl d GL n K Par conséqunt, B étant d la form Q I r Q où Q t Q sont invrsibls On appliqu à nouvau la proposition 537 t on put affirmr qu B st d rang r LEMME 54 Soit α K On a : Soit rg α A +rga α A A Par définition, rg Adim Vct L,,L n où L,,L n rprésntnt ls vcturs colonns d A Posons FVct L t GVct L,,L n Montrons qu cs dux sous-spacs vctorils d K p sont n somm dirct Soit L l,,l p F G Comm L F, on a : LλL Comm L G, on a aussi l Par conséqunt, n rgardant la prmièr coordonné, λα, d où λ t donc L Donc F t G sont n somm dirct On a donc dim Vct L,,L ndim F+dimG c qui s écrit aussi rg A+rg A PLAN 54 : Application au calcul du rang d un matric A Pour calculr l rang d un matric, on appliqu l plan suivant : Si A alors rga Sinon A possèd un cofficint α non nul Par ds prmutations d ligns t d colonns, on put supposr qu α st n position, En rtranchant aux n drnièrs ligns un multipl judiciusmnt choisi d la prmièr lign, on obtint un matric du typ : t donc rg A+rg A α A 3 On s ramèn ainsi à un matric d taill n p sur laqull il suffit d réitérr l procédé jusqu à obtnir un matric d taill null Exmpl 59 Calculons l rang d la matric A On a rga rg L3 L3 L rg +rg +rg PROPOSITION 54 Méthod du pivot d Gauss Par un suit d ol, on put transformr un matric invrsibl n un matric triangulair supériur invrsibl! t on a, par application du lmm précédnt : rg ArgB +rga On appliqu l hypothès d récurrnc à A, on put transformr A, via un suit fini d ol, n un matric triangulair On ffctu ls ol corrspondants sur la matric B t on la transform n un matric triangulair 4 La proposition st alors démontré par application du princip d récurrnc Rmarqu 57 Grâc aux opérations élémntairs sur ls ligns t n s inspirant d l algorithm précédnt, on put calculr l invrs d un matric A GL n K donné Il suffit d suivr ls étaps suivants On juxtapos A t I n Grâc à ds ol d typ t 3 sur A on s ramèn à un matric triangulair supériur Cci corrspond à multiplir succssivmnt à gauch A par ds matrics P,, P r d typ ou 3 La matric triangulair obtnu st P r P A On ffctu cs mêms ol sur I n La matric obtnu st P r P 3 On ffctu ds ol d typ sur P r P A afin d obtnir un matric triangulair dont la diagonal n comport qu ds Cci corrspond à multiplir succssivmnt à gauch A par ds matrics Q,, Q s d typ La matric triangulair obtnu st Q s Q P r P A On ffctu cs mêms ol sur I n La matric obtnu st Q s Q P r P 4 Enfin, à nouvau grâc à ds ol d typ, on s ramèn à la matric I n Cci corrspond à multiplir succssivmnt à gauch Q s Q P r P A par ds matrics R,, R t d typ La matric triangulair obtnu st R t R Q s Q P r P A On ffctu cs mêms ol sur I n La matric obtnu st R t R Q s Q P r P 5 Au final, on a donc R t R Q s Q P r P A I n La matric R t R Q s Q P r P st donc l invrs d A Exmpl 5 La matric A st d rang 3 comm on l vérifi n appliquant la méthod 5 Calculons son invrs : L L + L / L 3 L 3 + L / / / / L L / / / L 3 L 3 L L + L 3 L L + L 3 / L L L t on n déduit qu A 56 Détrminant d un matric carré d taill ou 3 Grâc à la notion d détrminant nous disposrons d un outil prformant pour prouvr qu un matric st invrsibl Ctt notion a néanmoins d autrs applications comm l calcul d l invrs d un matric invrsibl via l calcul d la comatric, la résolution d crtains systèms linéairs, ls problèms d orintation du plan ou d l spac Comm stipulé dans ls programms ds filièrs PCSI, PTSI, TSI, nous nous bornrons à travaillr n dimnsion ou 3 Néanmoins, la plupart ds démonstrations qu nous allons donnr sont valabls n dimnsion n qulconqu

11 Ls étudiants d la filièr MPSI dvront complétr c chapitr par la lctur du chapitr?? sur l group symétriqu Dans tout la suit, on pourra considérr qu n st un ntir égal à ou 3 t qu E st un K-spac vctoril d dimnsion n On commncra par xpliqur c qu st l détrminant d un matric, d un famill d vcturs puis d un ndomorphism Nous nous intérssrons nsuit à ds méthods pratiqus d calcul du détrminant Enfin, nous donnrons ds applications 56 Définitions En particulir, si : V x, + x,, V x, + x, alors : dt V,V x, x, x, x, x x x x Si n 3, on appll détrminant dans la bas ds vcturs V, V t V 3 d E t on not dt V,V,V 3, l détrminant d la matric formé par la famill V,V,V 3 dans la bas : Mat V,V,V 3 : dtv,v,v 3 dtmat V,V,V 3 DÉFINITION 56 Détrminant d un matric d taill ou 3 a, a On appll détrminant d la matric A, M a, a K l scalair d K,, noté dt A t donné par : dta a, a, a, a, a,a, a, a, a, a, a,3 On appll détrminant d la matric A a, a, a,3 M 3 K l scalair a 3, a 3, a 3,3 d K, noté dta t donné par : a, a, a,3 dt A a, a, a,3 a 3, a 3, a a, a, a,3 a 3, a 3,3 a, a, a,3 a 3, a 3,3 +a 3, a, a,3 a, a,3 3,3 a, a, a 3,3 + a, a,3 a 3, + a,3 a, a 3, a 3, a, a,3 a 3, a,3 a, a 3,3 a, a, qui s calcul avc la règl d Sarrus Voir rmarqu?? p?? a, a, a,3 a, a, a, a, a,3 a, a, a 3, a 3, a 3,3 a 3, a 3, + En particulir, si : V x, + x, + x,3 3, V x, + x, + x,3 3 t V 3 x 3, + x 3, + x 3,3 3 alors : dt V,V,V 3 x, x, x 3, x, x, x 3, x,3 x,3 x 3,3 x, x, x 3,3 + x, x,3 x 3, + x,3 x, x 3, x 3, x, x,3 x 3, x,3 x, x 3,3 x, x, qui s calcul avc la règl d Sarrus Rmarqu 58 L détrminant introduit dans ls chapitrs?? t?? st clui dans ls bass canoniqus rspctivs d R t R 3 L détrminant d un matric carré défini dans l paragraph précédnt st l détrminant d ss vcturs colonns dans la bas canoniqu d K n 57 Propriétés PROPOSITION 543 L détrminant d dux ou trois vcturs st un form multilinéair altrné Soit un bas du K-spac vctoril E Si n, l détrminant st un form bilinéair t altrné : pour tout u, u, u, v, v, v E t pour tous scalairs λ, λ, on a : L détrminant st un form bilinéair : dt u,λ v + λ v λ dt u, v +λ dt u, v Exmpl 5 dti, dt I 3 Plus généralmnt, l détrminant d un matric triangulair st égal au produit d ss cofficints diagonaux 56 Propriétés THÉORÈME 54 Propriétés du détrminant d un matric Soint A, B M n K dt L détrminant st altrné : λ u + λ u, v λ dt u, v+λ dt u, v dt v,u dtu, v Si n 3, L détrminant st un form trilinéair t altrné : pour tout u, u, u, v, v, v, w, w, w E t pour tous scalairs λ, λ, on a : L détrminant st un form trilinéair : dt Mn K dti n 3 dtλaλ n dta où λ K 4 dtab dt A dtb 5 Caractérisation ds matrics invrsibls : A GL n K dta Autrmnt dit : l détrminant d un matric invrsibl st invrsibl 6 Si A st invrsibl alors dt A dta 7 dt t A dta dt dt λ u + λ u, v, wλ dt u, v, w+λ dt u, v, w u,λ v + λ v, wλ dt u, v, w+λ dt u, v, w dt u, v,λ v w + λ w λ dt u, v, w +λ dt u, v, w L détrminant st altrné : dt u,v,w dt v,u,w dt v,w,u dtw, v,u Cs propriétés s démontrnt pour la plupart par ds calculs dircts Prouvons par xmpl ls points 5 t 6 Soit A GL n K un matric invrsibl Alors A A I n t d après ls points t 4, dtadt A donc dta t dt A dta La réciproqu sra un conséqunc du corollair 545 En fft, A put êtr vu comm la matric d un crtain famill d n vcturs dans un spac d dimnsion n dans un bas fixé Dir qu dta rvint à dir qu ctt famill st libr t donc qu la matric A qui ls rprésnt dans la bas st invrsibl 57 Détrminants d ordr ou 3 d un famill d vcturs 57 Définition DÉFINITION 57 Détrminant d ordr t 3 d un famill d vcturs Soit E un K-spac vctoril d dimnsion n muni d un bas,, n Si n, on appll détrminant dans la bas ds vcturs V t V d E t on not dt V,V, l détrminant d la matric formé par la famill V,V dans la bas : Mat V,V : dtv,v dtmat V,V Par un calcul dirct Rmarqu 59 On suppos qu n ou 3 Soint x,, x n E Si dux ds vcturs d ctt famill sont égaux alors dt x,, x n 573 Formul d changmnt d bas PROPOSITION 544 Formul d changmnt d bas Soint : E un K-spac vctoril d dimnsion n,, n un bas d E,, n un autr bas d E S x,, x n un famill d n vcturs d E Alors : dtx,, x n dt,, n dtx,, x n

12 On a : dt x,, x n dt Mat x,, x n dt P Mat x,, x n dt Mat Mat x,, x n dt Mat dtmat x,, x n dt dt x,, x n Rmarqu 5 En rmplaçant x par dans ctt drnièr formul, on obtint : dt dt dt COROLLAIRE 545 Caractérisation ds famills librs via l détrminant Soint : E un K-spac vctoril d dimnsion n,, n un bas d E S x,, x n un famill d n vcturs d E Alors S st libr si t sulmnt si dt x,, x n Supposons qu S soit libr Alors comm S st d cardinal n dime, S form un bas d E Par conséqunt, Mat S st invrsibl t dt S dtmat S Réciproqumnt, supposons qu S soit lié, alors, quitt à r-numérotr ls vcturs d la famill S, on put supposr qu x st combinaison linéair ds vcturs : x,, x n, c st-à-dir qu il xist α,,α n tls qu : x α x + +α n x n On a donc dt x, x,, x ndt α x + +α n x n, x,, x nα dt par application d la rmarqu 59 p Donc dt S st nul x, x, x n ++α n dt PROPOSITION 546 Caractérisation ds famills liés via l détrminant Soint : E un K-spac vctoril d dimnsion n,, n un bas d E S x,, x n un famill d n vcturs d E Alors S st lié si t sulmnt si dt x,, x n Par contraposé d la proposition précédnt 58 Détrminant d un ndomorphism 58 Définition PROPOSITION 547 Détrminant d un ndomorphism Soint : E un K-spac vctoril d dimnsion n,, n un bas d E u un ndomorphism d E L scalair dt u,,u n st indépndant d t st applé détrminant d l ndomorphism u On l not dtu Soit f un autr bas d E On a : Mat f up f Mat u P f Par conséqunt, dt u f,,u fn dt Mat f u dt P f Mat u P f f dt P f dtmat u dt P f dtmat u ] car P f [P f t donc dt P f dt P f Rmarqu 5 Si u st un ndomorphism d E t qu st un bas d E, on a : dtudt Mat u 58 Propriétés THÉORÈME 548 Propriétés du détrminant d un ndomorphism Soint E un K-spac vctoril d dimnsion n, u, v ds ndomorphisms d E On a : d t L E K dtid E K 3 dtλu λ n dtu où λ K st un scalair 4 dtu v dt u dtv 5 Caractérisation ds automorphisms d E : u GL E dtu 6 Si u GL E alors dt u dtu 59 Méthods d calcul du détrminant On s rstrindra dans ctt sction aux détrminants ds matrics carrés, l détrminant d un famill d vcturs ou d un ndomorphism s n déduisant 59 Opération sur ls ligns t ls colonns Ls propriétés qui suivnt découlnt dirctmnt ds propriétés ds forms n-linéairs altrnés : THÉORÈME 549 Calcul d un détrminant par ds ol t ds oc Un détrminant qui a dux colonns idntiqus st nul Un détrminant qui a un colonn combinaison linéair ds autrs colonns st nul 3 Un détrminant dont un colonn st formé d st nul 4 On n chang pas la valur d un détrminant n ajoutant à un colonn un combinaison linéair ds autrs colonns 5 Si on multipli par λ un colonn d un détrminant, on multipli par λ la valur d c détrminant 6 Quand on prmut dux colonns d un détrminant, on chang son sign 7 Comm l détrminant d un matric st égal à clui d sa transposé, ls 6 phrass précédnts rstnt vrais si on rmplac l mot "colonn" par l mot "lign" Démontrons par xmpl l point 4 On suppos qu la matric A M n K st composé ds vcturs colonns C,,C n Soint i,n, α,,α i,α i+,,α n ds xn, x,, x n scalairs d K On a : dtadtc,,c n dtc,,c n +dt C,,C i, α k C k,c i+,,c n } k,k i {{ } n raison du scond point dt C,,C i,c i + α k C k,c i+,,c n k,k i Exmpl 5 Calculons 3 3 L L L 3 3 car la troisièm lign st null car L 3 L + L 59 Dévloppmnt d un détrminant suivant un rangé PROPOSITION 55 Soit A M n K un matric d la form : A A α où A M n K Alors dtaαdt A Par un calcul immédiat n utilisant la définition du détrminant d un matric d taill ou 3 DÉFINITION 58 matrics triangulairs On appll matric triangulair infériur tout matric A M n K vérifiant i < j, a i j On appll matric triangulair supériur tout matric A M n K vérifiant i > j, a i j Soit L rsp U l nsmbl ds matrics triangulairs infériurs rsp supériurs L t U sont ds sous-spacs-vctorils d M n K, t M n K L+U L U st l spac vctoril ds matrics diagonals COROLLAIRE 55 L détrminant d un matric triangulair st égal au produit d ss élémnts diagonaux Soit A a i j Mn K un matric triangulair : Alors : n dt A a kk k C st un corollair immédiat du théorèm 54 t d la rmarqu précédnt