Propriétés d une matrice stochastique précisées par son algèbre

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1 Proprétés d une matrce stochastque précsées par son algèbre J. Parzet 15 anver 2013 Une matrce stochastque est une matrce carrée réelle, à coeffcents postfs dont la somme des termes de toute lgne vaut un. S les coeffcents d une matrce stochastque sont strctement postfs, on dt que la matrce est strctement stochastque. Aprés avor rappelé ses proprétés usuelles, vérfons que l nterventon de son algèbre condut à d autres proprétés. 1 Proprétés usuelles d une matrce stochastque 1.1 Caractérsaton La matrce A d ordre n exprme un endomorphsme f de R n dans la base canonque. Alors la matrce à coeffcents postfs est stochastque ss le vecteur u de composantes (u = 1) est vecteur propre pour la valeur propre un. Il s en sut: le produt de deux matrces stochastques est une matrce stochastque. Car la matrce produt a pour coeffcents la somme des produts des coeffcents de l une et de l autre: les coeffcents de la matrce produt sont postfs; de plus f 1, f 2 étant les endomorphsmes de ces matrces f 1 f 2 ( u) = f 1 ( f2 ( u) ) = f 1 ( u) = u. et la somme des termes de toute lgne de la matrce produt vaut un. 1

2 1.2 Valeurs propres d une matrce stochastque Le spectre Sp(A) de A est l ensemble de ses valeurs propres. Le spectre d une matrce stochastque est dans le dsque unté. Car pour une telle matrce de valeur propre λ de vecteur propre V(v ), l vent à partr de λv = a v et pour v = Max( v ) λ v a v a v a v = v d où λ 1. De λv a v = a v on dédut λ a v a v = (1 a ) v sot λ a v (1 a ) v donc λ a 1 a : 0 a 1 S a = 0 l peut se trouver au mons un pont de Sp(A) sur le cercle unté autre que un. Dstnguons le cas d une matrce strctement stochastque du cas plus général. 1) Les valeurs propres d une matrce strctement stochastque autres que un ont un module strctement nféreur à un, et le sous-espace propre pour cette valeur propre un est la drote drgée par u. Le premer pont est clar car aucun des termes dagonaux de la matrce n est nul. Quant au second pont, sot X(x ) vecteur propre pour la valeur propre un. On peut supposer X réel car s X est complexe, X est auss vecteur propre pour 1, donc les partes réelle et magnare de X auss qu sont réelles. Sot x le plus grand en module des x ; qutte à changer X en X on peut supposer x > 0. La relaton exprmant que X est vecteur propre x = a x montre que les x précédents, stués dans [ x,x ], affectés des coeffcents a ont pour barycentre x. Ils sont donc confondus en ce pont: x est proportonnel à u. 2) Les valeurs propres de module un d une matrce stochastque sont racnes entères de l unté. 2

3 Une matrce strctement stochastque a 1 pour valeur propre (racne un-ème de l unté), mas n a pas d autres valeurs propres de module un... Supposons que A at une valeur propre λ 1 de module 1, et partons de x, -ème composante du vecteur propre X telle qu elle maore en module les autres composantes du vecteur propre X: x x pour tout. X n est pas nul, x non plus: en dvsant X par x, on peut prendre x = 1. a. Alors. a = 0 snon λ = 1 ou λ < 1 selon λx (= λ) = a x = J1 a x en consdérant l ensemble J 1 d ndces tels que J 1 : a 0. Notons que J 1 /0 snon λ = 0.. J1 a x est le barycentre des x de modules au plus 1, à coeffcents postfs: pusque c est le pont λ sur le cercle unté nécessarement les x sont confondus en λ snon ce barycentre serat pour des rasons de convexté ntéreur au dsque unté. Ans J 1 : x = λ. b. Consdérons l un des x 1 précédents valant λ ( 1 J 1 ): λx 1(= λ 2 ) = J2 a 1 x, somme portant sur les J 2 (non vde) tels que a 1 0. Par le même rasonnement (x 1) sur le cercle unté): J 2, x = λx 1 = λ 2 ; l est clar que J 1 J 2 est vde car λ 1. S J 2, x (= 1) = λx 1 = λ 2 : λ 2 = 1. Excluons λ 2 = 1 (et λ = 1). Il est clar que J 2 a au mons un élément. c. Contnuons en consdérant x 2 ( 2 J 2 ). Comme précédemment, sot J 3 l ensemble des tels que a 2 sot strctement postf. De λx 2 = J3 a 2 x on dédut que pour tout de J 3 : x = λx 2 = λ 3. J 2 J 3 est vde car λ 2 1. S J 3 alors λ 3 = 1. En excluant ces cas (λ,λ 2,λ 3 dfférents de un), pusque J 3 a au mons un élément, on peut poursuvre en consdérant l un de ses éléments x 3 et l ensemble J 4 des tels que a 3 > 0. Comme c-dessus, J 3 n a pas d élément commun avec J 2, J 3 selon les condtons sur λ, et s appartent à J 3, nécessarement λ 4 = 1. En supposant λ 4 1, on poursut en construsant une sute de partes (J ) dsontes non vdes de [1,2,,n] qu à partr d un certan rang condut à J l contenant d où λ l = 1. Remarquons que la démarche condut à un vecteur propre de composantes les pussances de λ d au plus l, avec éventuellement des zéros. Exemple smple à partr d une matrce de permutaton 1 1/2 0 1/2 0 La matrce a pour valeurs propres 1,, 2 et le vecteur 1 est vecteur propre pour la valeur propre. A partr de x 2 les J 2, J 3 et J 4 se rédusent à un élément (3), (4), (2); d autre part les vecteurs et u sont vecteurs propres pour la valeur propre 1. 3

4 1.3 L ensemble des pussances entères d une matrce stochastque est borné L ensemble des pussances des matrces stochastques d ordre n est borné dans M n (R) mun par exemple de la norme A = Max( a ) car toute pussance d une matrce stochastque est une matrce stochastque dont les coeffcents sont comprs entre 0 et 1. Les coeffcents de la matrce stochastque A(a ), comprs entre 0 et 1, le sont plus précsément entre a 1 =Mn (a ) et b 1 =Max (a ) et ceux de sa pussance p-ème entre les a p et b p correspondants. Soent ( a (p) ) les coeffcents de A : a (p) = a a (p 1) est comprs entre a a p 1 et a b p 1 : a p 1 a p b p b p 1 : la sute (a p ) est crossante et la sute (b p ) décrossante. Remarquons que s b 1 = 1 alors a 1 = 0 mas a 1 peut être nul sans que b 1 valle un. 2 Algèbre engendrée par A On peut explcter dans cette algèbre (en abrégé dans l algèbre de A) toute pussance entère d une matrce stochastque et la lmte éventuelle de la sute de ses pussances entères. L algèbre de A est de dmenson le plus pett enter m tel que le système (I,A,A 2,,A m ) sot lé. En exprmant A m à l ade des autres termes du système (qu forment une base de l algèbre) on obtent le polynôme mnmal de A, vérfant M(A)= 0 comme le polynôme caractérstque de la matrce (Cayley-Hamlton) qu en est un multple. De plus toute valeur propre de A est zéro de M: de A X= λx on dédut M(A) X= M(λ)X et on conclut pusque le vecteur propre n est pas nul. Le polynôme mnmal de A est de la forme M= (X λ ) où les λ sont les valeurs propres de A, zéros d ordre au plus de son polynôme caractérstque P c. La décomposton de la fracton ratonnelle 1/M sous la forme 1 M = P (X λ ) où P est un polynôme de degré au plus 1 donne avec Q quotent de M par (X λ ) : 1 = P Q d où avec π λ = P Q 1 =, en partculer π λ (λ ) = 1. Notons I= π λ (A). S λ est zéro smple de M, π λ = Q λ /Q λ (λ). Le polynôme π λ π λ est, pour, multple de M: π λ (A) π λ (A) = 0. Et à partr de l expresson précédente de I: πλ 2 (A) = π λ (A) = 0. A partr de cette expresson dont on multple les deux membres par A, avec pour chaque A= λ I + (A λ I) [ A= λ π λ (A) + ν λ (A) ] avec ν λ (A) = π λ (A) (A λ I) Pusque est l ordre du zéro λ de M : ν λ (A) = 0. Pour et dfférents, ν λ (A) ν λ (A) = 0. Avec l endomorphsme f de R n exprmé par A, l espace s exprme comme somme drecte R n = Im ( π λ ( f ) ) : X= I X = π λ (A) X. 4

5 π λ ( f ) est la proecton sur Im ( π λ ( f ) ) selon la drecton de la somme drecte Im ( π λ ( f ) ). On retrouve la décomposton de Dunford de A en somme commutatve d une matrce dagonalsable et d une matrce nlpotente: A= λ π λ (A) + ν λ (A). Car en consdérant les valeurs propres et vecteurs propres correspondant de A:. S A X= λx, alors A X= λ X et π λ (A) X = π λ (λ)x = X: tout vecteur propre pour la valeur propre λ est vecteur de Im ( π λ ( f ) ).. Lorsque λ est zéro smple du polynôme mnmal, tout vecteur de Im ( π λ ( f ) ) est vecteur propre pour λ: de π λ (A) X = X on dédut A X = (A λi + λi) π λ (A) X = M(A) X + λπ λ (A) X sot A X= λ X. (. étant le plus grand des ordre de multplcté des zéros λ de M, l est clar que ν λ (A)) est nul.. Notons A = λ π λ (A). Alors pour la valeur propre λ A λ I = µ π λ (A) avec µ = λ λ. Le produt pour toutes les valeurs propres de A, compte-tenu des produts π λ (A) π λ (A) (1 lorsque et sont égaux, 0 snon), est( nul ) (A λ I) = µ π λ (A) = 0 pusque µ est nul. Il s ensut que A est dagonalsable car ses valeurs propres sont zéros smples de son polynôme mnmal. De l expresson[ de A on dédut pour tout naturel p supéreur au plus grand des ( ) A p = ] λ p I + C1 pλ p 1 (A λ I) + + C 1 p λ p +1 (A λ I) 1 π λ (A) (1) 3 Comportement de la sute (A p ) à l nfn Étudons pour la matrce stochastque A le comportement de (A p ) selon l ordre de multplcté des zéros du polynôme mnmal de A et selon leurs modules (ou valeurs absolues) en dstnguant le cas d une matrce strctement stochastque de celu d une matrce stochastque. 3.1 Cas d une matrce strctement stochastque La matrce A admet la valeur propre 1 et des valeurs propres strctement nféreures à 1 en module: dans l expresson (1) de A p on s aperçot que la contrbuton de celles-c tend vers 0 lorsque p tend vers l nfn. S le zéro 1 du polynôme mnmal est d ordre > 1, la présence de C 1 p dans la contrbuton de cette valeur propre dans A p montre que A p n est pas bornée lorsque p tend vers l nfn: la valeur propre un d une matrce strctement stochastque est zéro smple de son polynôme mnmal. Dans ce cas d une matrce strctement stochastque lorsque p tend vers l nfn A p tend vers π 1 (A) qu est, en ntrodusant le quotent Q du polynôme mnmal par (X 1), 5

6 A p L = π 1 (A) = Q 1(A) p Q 1 (1). Proprétés de cette lmte L est une matrce strctement stochastque: la somme des coeffcents de ses lgnes sont les lmtes des sommes des lgnes correspondantes de A p constamment égales à 1, les coeffcents de A p comprs entre a p (sute crossante) et b p (sute décrossante) ont pour lmtes ceux de L, comprs entre les lmtes des sutes (a p ) et (b p ), qu sont dans l ntervalle ]0, 1[, L est dempotente car L= π 1 (A), dempotente: L 2 =L, aucun coeffcent de L (strctement stochastque) n est nul: L= π 1 (A) de colonnes des vecteurs propres de A toutes proportonnelles à u et les lgnes de L sont dentques. Exemple Sot A= , de polynôme caractérstque P c = (λ 1)(λ 2 1.1λ + 0.3), qu est auss son polynôme mnmal: L= A2 1.1 A + 0.3I sot Remarque. S a 1 = b 1, les coeffcents de A valent 1/n: A 2 =A=A p et c est L. 3.2 Cas d une matrce non strctement stochastque Il convent de dstnguer dvers cas, selon les modules des valeurs propres de A. 1. Les valeurs propres de A sont 1 et les autres de modules strctement nféreurs à un. Selon l expresson (1) et le rasonnement en 2.2.1, la sute (A p ) converge vers la matrce stochastque L. Lorsque L est strctement stochastque, les plus pett et plus grand de ses éléments a l et b l sont ntéreurs à [0,1]: à partr d un certan rang les a p,b p vérfent 0 < a p a l b l < b p < 1 donc A p est strctement stochastque ans que les pussances d ordre supéreur. 0 1/2 1/2 Par exemple A= 3/4 0 1/4 de polynôme caractérstque (et mnmal) 1/8 7/8 0 P c = (λ 1)(λ 2 + λ + 11/32): (A p ) a pour lmte 1/3 2/5 4/15 7/16 7/16 1/8 L= 1/3 2/5 4/15 et A 2 = 1/32 19/32 3/8 est strctement stochastque. 1/3 2/5 4/15 21/32 1/16 9/32 Mas s L n est pas strctement stochastque, alors a l = 0 et aucune pussance de A n est strctement stochastque. 2. Les valeurs propres de A sont 1, certanes racnes entères de l unté, et d autres de modules stctement nféreurs à un. Les valeurs propres de module un sont zéros smples du polynôme mnmal de A. C est le cas de 1.Sot λ une valeur propre racne entère de l unté, zéro d ordre du polynôme mnmal de A. Supposons > 1. 6

7 Pusque π λ (A λi) 1 = ν λ (A) 1 n est pas nul l exste un vecteur x non nul appartenant à Im(ν 1 λ ( f )) et un vecteur y de Im (ν 2 λ ( f )) (ou de Im (ν λ ( f )) s = 2) tel que x = ν λ ( f ) y. Alors avec X et Y colonnes des composantes de x et y, selon l expresson (1) de A p à partr de son polynôme mnmal, quelque sot le naturel p A p Y = [λ p I + pλ p 1 (A λi)]π(a) Y = λ p Y + pλ p 1 X car π(a) Y =Y et π(a) X =X pusque Im (ν λ ( f ) Im (π λ ( f ) Prenons pour norme dans R n V = Max( v ) alors la norme de la matrce stochastque A d ordre n défne par A = Max ( A V, V = 1) est 1 en consdérant le vecteur u de norme 1. L négalté trangulare applquée à pλ p 1 X =A p Y λ p Y s écrt p X A p Y + Y 2 Y ce qu condut à une contradcton pour p assez grand (X et Y ne sont pas nuls): nécessarement les valeurs propres de toute matrce stochastque de module un sont zéros smples de son polynôme mnmal. Il s en sut que la sute (A p ) admet des sutes extrates convergentes. Notons λ α les valeurs propres de A racnes de l unté et λ α les autres valeurs propres. Sot q la somme des enters correspondant aux λ α ( α; λ q α = 1); selon (1) A pq = α π λα (A) [ + α λ pq α I + C 1 pqλ pq 1 (A λ α I) + + C α 1 pq λ pq α +1 (A λ αi) α 1 ] π α(a) Lorsque p tend vers l nfn les termes en λ α h C h pq tendent vers zéro et A pq p α π λα (A). Et pour h enter nféreur à q: A pq+h A h p α π λα (A). Ces q sutes extrates convergent vers des matrces stochastques. Exemple de la matrce d Ehrenfest Il s agt de la matrce /4 0 3/4 0 0 A= 0 1/2 0 1/ /4 0 1/ de polynômes caractérstque et mnmal P= X 2 (X 2 1)(X 2 1/4), M= X(X 2 1)(X 2 1/4). Pusque les zéros de M sont smples, en notant Q λ le quotent de M par (X λ) : π 1 (A) = Q 1(A) Q 1 (1) = 2 3 A(A + I)(A2 1/4), π 1 (A) = Q 1(A) Q 1 (1) = 2 3 A(A I)(A2 1/4), π 1/2 (A) = 8 3 A(A2 I)(A + 1/2), π 1/2 (A) = 8 3 A(A2 I)(A 1/2). Lorsque p tend vers l nfn: ( A 2p+1 π 1 (A) π 1 (A) = 3 4A A 2 I ( ), A 2p π 1 (A) + π 1 (A) = A2 A 2 I ). 4 7

8 3.3 La sute (A p ) converge au sens de Cesàro vers π 1 (A) ( De la sute réelle (u p ) on dédut la sute C(u p ) = u 1 + u u ) p, sute (ou moyenne) de p Cesàro assocée à la sute (u p ). S la sute (u p ) converge, la sute (C(u p )) converge vers la même lmte, mas la récproque est fausse: (u p = ( 1) p ) est le contre exemple classque. Lorsque la sute (C(u p )) converge on dt que (u p ) converge au sens de Cesàro. C est le cas d une matrce stochastque. A étant une telle matrce, les zéros de son polynôme mnmal sont 1 (zéro smple), éventuellement des zéros smples λ α de module 1 (dont peut-être 1) et enfn sans doute des zéros µ β (qu peuvent être multples) de modules strctement nféreurs à 1. Exprmons A selon [ ] A= π 1 (A) + λ α π λα (A)+B avec B= µ β I + (A µ β I) π µβ (A) α β. La sute π 1 (A) p est constante, et sa sute de Cesàro assocée auss et se rédut à π 1 (A).. La sute (B p ) tend vers zéro car pour tout β, µ β < 1 et la sute de Cesàro assocée tend vers zéro.. Consdérons λ α, racne q ème de l unté: λ α + λα 2 + λα q = 0 et avec le reste r de la dvson de p par q: Cλα p = (λ α + λα 2 + λα)/p r de module nféreur à r/p < q/p. Et C(λα p ) 0 pour p nfn: la contrbuton des termes en les λ α est nulle dans le passage à la lmte de C(A p ). Ans la lmte pour p nfn de C(A p ) est π 1 (A): π 1 (A) est stochastque pusque les moyennes de Cesàro des A p le sont. Ce n est pas un vecteur propre... 8

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