F413 :METHODES ENERGETIQUES ET MODELISATION PAR ELEMENTS FINIS

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1 F413 :METHODES ENERGETIQUES ET MODELISATION PAR ELEMENTS FINIS Expression de l énergie de déformation emmagasinée dans une structure élastique Caractérisation du comportement sous charge d une structure élastique Résolution de problèmes hyperstatiques Utiliser et comprendre un calcul par éléments finis

2 Poutres ou assemblage de poutres : Etre capable d effectuer un calcul manuel

3 Structures «compliquées» : Comprendre les différentes étapes d un calcul par éléments finis

4 METHODES ENERGETIQUES 1. TRAVAIL ET ENERGIE Travail élémentaire d une force et d un couple Principe de conservation de l énergie 2. ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE Energie de déformation dans une poutre droite Cas de la traction, torsion, flexion pure et plane Energie de déformation en état plan de contrainte 3. FLEXIBILITE - RIGIDITE Matrice de flexibilité Matrice de rigidité Théorème de Castigliano, Maxwell-Mohr Problèmes hyperstatiques

5 TRAVAIL ELEMENTAIRE D UNE FORCE ET D UN COUPLE Une force F travaille lorsque son point d application A se déplace F dl A Joule (J) Newton (N) Mètre (m) Soit un moment défini en un point A d un domaine indéformable. Lors d une rotation élémentaire un travail algébrique élémentaire : du domaine, le moment développe A Joule (J) Newton-mètre (Nm) Radian (rd)

6 PRINCIPE DE CONSERVATION DE L ENERGIE A On considère une barre : homogène, linéairement élastique fixe en A et soumise à une traction en B B Etat initial

7 PRINCIPE DE CONSERVATION DE L ENERGIE Matériau élastique Travail converti entièrement en énergie stockée dans la barre Variation d énergie potentielle élastique Variation d énergie de déformation En pratique en dds: Etat 1 = état initial avant chargement (énergie potentielle nulle) Etat 2 = structure chargée

8 PRINCIPE DE CONSERVATION DE L ENERGIE TRAVAIL DES ACTIONS EXTERIEURES APPLIQUEES AU SYSTEME = ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE (NRJ STOCKEE) Comment calculer Wext? Comment calculer Ed? Hypothèses Déformation isotherme (effets thermiques négligés) Dissipation interne négligée (amortissement) Action extérieure appliquée lentement (effets d inertie négligés)

9 TRAVAIL D UNE FORCE : CAS F ET D COLINAIRES A F : Force appliquée au point B D : Déplacement du point B F B B F P df H dl G D O E D1 F A D Aire du rectangle EFGH Aire du triangle OAB

10 TRAVAIL D UNE FORCE : CAS OU F ET D NON COLINAIRES F = 0 F

11 TRAVAIL D UNE FORCE : SYNTHESE Force appliquée au point B (en Newton) En Joules (J) Déplacement correspondant du point B (en Mètre) Seul le déplacement parallèle à P est intéressant

12 TRAVAIL D UN COUPLE C : Couple appliqué au point B θ : Rotation du point B Couple appliqué en B (N.m) En Joules (J) Rotation correspondante (rad) (seule la rotation // à C est intéressante)

13 TRAVAIL D UNE CHARGE REPARTIE y État initial q = 0 A B q x État actuel q : Charge linéique (N/m) S : Aire sous la déformée (m 2 )

14 TRAVAIL D UNE FORCE ET D UN COUPLE n actions extérieures Superposition : État initial A B C = 0 P = 0 État actuel θ C B P D

15 PRINCIPE DE CONSERVATION DE L ENERGIE TRAVAIL DES ACTIONS EXTERIEURES APPLIQUEES AU SYSTEME = ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE (NRJ STOCKEE) Comment calculer Wext? Comment calculer Ed? Hypothèses Déformation isotherme (effets thermiques négligés) Dissipation interne négligée (amortissement) Action extérieure appliquée lentement (effets d inertie négligés)

16 ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES Le torseur des actions mécaniques de E2 sur E1 est appelé torseur des efforts intérieurs ou torseur de cohésion ou encore torseur de section.

17 ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES TRACTION - COMPRESSION y z dx N x x+dx x On considère un tronçon de poutre de longueur dx Allongement du tronçon : du(x) Travail développé par la force extérieure : Relation de comportement en traction :

18 ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES TORSION dx dθx On considère un tronçon de poutre de longueur dx Rotation relative des deux sections limitant le tronçon de poutre : dθx(x) Travail développé par le couple : Relation de comportement en torsion : Constante de torsion caractéristique de la forme de la section

19 ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES dx FLEXION PURE On considère un tronçon de poutre de longueur dx Rotation relative des deux sections limitant le tronçon de poutre : dθz(x) Travail développé par le moment extérieur : Relation de comportement en flexion :

20 ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES EFFORT TRANCHANT

21 ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES RECAPITULATIF «Elasticité du matériau» E si contrainte normale G si contrainte tangentielle «Géométrie section droite» S si force I si couple

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