Matrices. 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,j a 2,n. A = j-ième colonne

Transcription

1 Matrices I Matrices et opérations I1 definitions Définition 1 Soit n un entier naturel non nul Une matrice carrée d ordre n est un tableau de nombres réels comportant n lignes et n colonnes Le nombre placé à l intersection de la ième ligne et de la jème colonne est noté a i,j et s appelle le coefficient d indice (i; j a 1,1 a 1,2 a 1,j a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,j a 2,n A = a i,1 a i,2 a i,j a i,n i-ème ligne a n,1 a n,2 a n,j a n,n j-ième colonne La diagonale de la matrice A est formée de tous les coeficients de A dont les numéros de ligne et de colonne sont égaux : a 1,1 ; a 2,2 ; ; a n,n Cas particuliers La matrice carrée d ordre n dont tous les coefficients sont nuls est appelée la matrice nulle et est notée 0 n Une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls, sauf éventuellement les coefficients de la diagonale, est appelée matrice diagonale 1

2 I MATRICES ET OPÉRATIONS la matrice diagonale d ordre n dont les coefficients sur le diagonale sont égaux à 1 est appelée matrice identité d ordre n et est notée I n ( 1 0 I 2 = I = I 4 = Propriété 1 Deux matrices carrées sont égales si, et seulement si, elles sont de mêmes ordres n et si, pour tous entiers i et j variant de 1 à n, les coefficients d indice (i, j sont égaux Définition 2 Soit un entier naturel non nul n Une matrice colonne B (ou vecteur colonne de dimension n est un tableau de nombres réels comportant n lignes et 1 colonne Le nombre placé à la ième ligne est noté b i et est appelé coefficient d indice i b 1 b 2 B = b i b n I2 Somme et produit par un réel Définition 3 Soit un entier naturel non nul n On considère deux matrices carrées A et B de même ordre n et un réel k La somme des matrices A et B, notée A + B, est la matrice carrée d ordre n dont le coefficient d indice (i, j pour tous les i et j entre 1 et n, est égal à a i,j + b i,j Le produit de la matrice A par le réel k, notée ka, est la matrice carrée d ordre n dont le coefficient d indice (i, j pour tous les i et j entre 1 et n, est égal à k a i,j -->A=[1 2 3; 5 0 1; 2-9 3] A = >2*A ans = >B=eye(3,3 B = >A+B ans =

3 I MATRICES ET OPÉRATIONS I3 Produit d une matrice carrée par une matrice colonne Définition 4 Soit un entier naturel n non nul On considère une matrice carrée A d ordre n et une colonne B de même dimension n Le produit de la matrice carrée A par la matrice colonne B, noté A B, est la matrice colonne P de dimension n dont, pour tout entier i entre 1 et n, le coefficient d indice i est égal à : p i = a i,1 b 1 + a i,2 b a i,n b n = n a i,j b j j=1 En pratique, il est commode de disposer les matrices de la façon suivante pour calculer leur produit : a 1,1 a 1,2 a 1,j a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,j a 2,n A = a i,1 a i,2 a i,j a i,n a n,1 a n,2 a n,j a n,n b 1 b 2 B = b i b n p 1 p 2 p i = a i,1 b 1 + a i,2 b a i,n b n p n -->A=[1 2 3; 5 0 1; 2-9 3] A = >B=[-5; 6; 0] B = -->A*B ans = (Suite de Fibonacci Soit (u n la suite définie par u 0 = 1, u 1 = 1 et u n+2 = u n+1 + u n ( un On pose U n = u n+1 1 Déterminer la matrice A telle que U n+1 = AU n 2 Déterminer U 1, puis U 2 3

4 I MATRICES ET OPÉRATIONS I4 produit de deux matrices carrées Définition 5 Soit un entier naturel n non nul On considère deux matrices carrées A et B de même orde n Le produit de la matrice A par la matrice B, notée A B, est la matrice carrée P d ordre n dont le coefficient d indice (i, j pour tous entiers i et j variant de 1 à n, est égal à : p i,j = a i,1 b 1,j + a i,2 b 2,j + + a i,n b n,j = n a i,k b k,j k=1 Produit de deux matrices sous scilab : -->A=[3-1; -2 4] A = >B=[1 4; 3-2] B = >A*B ans = >B*A ans = On remarque que le produit n est pa commutatif Nombre de trajets : l 1 V1 V2 l3 l 2 l 5 V3 l 4 Une companie de bus propose différentes lignes reliant 3 villes On note A la matrice dont le coefficient a i,j est égal au nombre de lignes reliant la ville V i à la ville V j 1 Déterminer A 2 Déterminer A 2 3 Combien de trajets utilisant deux lignes permettent d aller de la ville V 1 à la ville V 3? 4

5 II INVERSE D UNE MATRICE CARRÉE Propriété 2 Soit un entier naturel n non nul On considère des matrices carrées A, B, C de même ordre n Alors : 1 proprieté de distributivité : (A + B C = A C + B C A (B + C = A B + A C 2 proprieté d associativité : (A B C = A (B C 3 Pour tout réel k : k (A B = (k A C 4 A I n = I n A = A, où I n est la matrice identité d ordre n Soient les matrices A = Ecrire A en fontion de I 3 et J 2 Déterminer J 2 en fonction de J 3 En déduire A 2 II Inverse d une matrice carrée et J = II1 Définition Définition 6 Soit n un entier naturel non nul Une matrice carrée A d ordre n est dite inversible s il existe une matrice carrée B d ordre n telle que A B = B A = I n La matrice B est alors unique et s appelle inverse de A On la note A 1 Preuve : On suppose que la matrice A d ordre n est inversible Soient deux matrice B et C d ordre n telle que : Alors, B = B (A C = (B A C = C Les matrices sont donc égales A B = B A = A C = C A = I n Propriété 3 Soit un entier naturel n non nul Pour toutes les matrices A et B carrées d ordre n, 1 Si A est inversible, alors la matrice A 1 est inversible et (A 1 1 = A 2 Si A et B sont inversibles, alors la matrice A B est inversible et (A B 1 = B 1 A 1 Soit la matrice A = ( Déterminer la matrice inverse A à l aide de la calculatrice Vérifier le résultat 2 Déterminer l inverse de A à la main 5

6 II INVERSE D UNE MATRICE CARRÉE Inverse grace à un polynôme ( 7 10 Soit la matrice A = Démontrer que A 2 3A + 2I = 0 2 En déduire que A est inversible II2 Application aux systèmes linéaires Définition 7 Un système linéaire à n équations, n inconnues x 1, x 2,, x n est un système de la forme : a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2 où les a i,j sont des réels a n,1 x 1 + a n,2 x a n,n x n = b n Résoudre le système, c est trouver les n-uplets (x 1, x 2,, x n qui vérifient toutes les équations Si on note les matrices : a 1,1 a 1,2 a 1,n x 1 b 1 a 2,1 a 2,2 a 2,n A = X = x 2 et B = b 2 a n,1 a n,n x n b n Le sytème est équivalent à AX = B Propriété 4 Si la matrice A est inversible, le système admet une unique solution : X = A 1 B Preuve : En effet, en multipliant par A 1 à gauche, on a A 1 AX = A 1 B IX = A 1 B X = A 1 B Résoudre le système suivant : { 10x + 4y = 3 6x + 2y = 5 ( ( ( 10 4 x 3 Si on pose A =, X = et B = 6 2 y 5 le système peut s écrire sous la forme AX = B, Déterminer A 1 à l aide de la calculatrice puis donner la solution du système Remarque Les solutions du système sont les coordonnées du point d intersection des doites d1 : 10x + 4y = 3 et d2 : 6x + 2y = 5 Ces droites ont pour vecteurs directeurs v 1 ( 4; 10 et v 2 ( 2; 6 Ce système a une unique solution si les droites ont des vecteurs directeurs non colinéaires, c est à dire si ou si ( 4 0 a b Généralisation : Le système qui a pour matrice A = admet une unique solution ssi ad bc 0 c d 6

7 III PUISSANCE N-IÈME D UNE MATRICE CARRÉE Résoudre le sytème : 2x + 3y t = 5 x t = 2 3 y = 0 III Puissance n-ième d une matrice carrée Définition 8 On considère un entier naturel n non nul et une matrice A La puissance nième de A, notée A n, est la matrice : A n = A A A } {{ } nfacteurs Remarque Le produit de matrices étant associatif, pour tout entier n 0 : A n+1 = A A n = A n A, ce qui rend valable la Cette relation permet de calculer de proche en proche les puissances de A Propriété 5 Pour tous les entiers naturels n et m et toute matrice A : A m A n = A m+n a Propriété 6 (Matrices diagonales Soit une matrice diagonale A d ordre k On pose A = 0 a a k a n Alors pour tout entier naturel n, A n = 0 a n a n k Dans le cas général, il n existe pas de formule explicite donnant la puissance niéme d une matrice A En partique, on peut utiliser : le raisonnement par récurrence ; des propriétés particulières de la matrice A On considère la matrice A = Calculer A 2, A 3, A 4 2 Montrer que pour tout entier naturel n, on peut écrire A n = 1 a n b n 0 1 a n précisera les relations de récurrence vérifiées par les suites (a n et (b n 3 Exprimer a n et b n en fonction de n En déduire une expression de A n en fonction de n On 7

8 IV MATRICES ET SUITES Soit A = et J = 1 Ecrire A en fonction de I et J 2 Calculer J 2 et J Démontrer par récurrence que A n = I + nj + 4 En déduire une expression de A n n(n 1 J 2 2 Propriété 7 Soit A une matrice carrée S il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A = PDP 1 alors A n = PD n P 1 Preuve : A n = (PDP 1 n = PD } P 1 {{ P } DP 1 PDP 1 = PD n P 1 =I Retour sur la suite de Fibonacci ( : 0 1 On a U n+1 = AU n, où A = 1 1 ( Soit P = 2 2 et U n = ( un u n+1 1 Déterminer P 1 2 Démontrer que P 1 AP = D est une matrice diagonale 3 Déterminer A n IV Matrices et suites Dans ce paragraphe, U n est une matrice colonne d ordre 2 ou 3 et A est une matrice carrée de même ordre 2 ou 3 Propriété 8 (U n+1 = AU n Si une suite U n vérifie une relation de récurrence du type : U n+1 = AU n Alors U n = A n U 0 Preuve : Le démontrer par récurrence Une suite récurrente d ordre 2 est une suite (u n qui vérifie une relation du type : (1 u n+2 = au n + ( bu n+1 ( un 0 1 Si on note U n = et A = u n+1 a b La relation (1 est équivalente à U n+1 = AU n Par conséquent, U n = A n U 0 Retour sur la suite de Fibonacci Ecrire U n en fonction de n En déduire u n en fonction de n 8

9 IV MATRICES ET SUITES Soient { deux suites (u n et (v n vérifiant : un+1 = 2u n + 3v n avec u v n+1 = u n + 2v 0 = 3 et v 0 = 2 ( n un On pose U n = v n 1 Déterminer la matrice A telle que U n+1 = AU n 2 Calculer A 2, puis A 3 3 Donner A n 4 Donner u n et v n en fonction de n Propriété 9 (U n+1 = AU n + B Soit B une matrice colonne de même ordre que A et U n Pour étudier une suite de matrice vérifiant la relation : U n+1 = AU n + B On cherche une matrice colonne C telle que C = AC + B Si I A est inversible alors C = (I A 1 B On pose V n = U n C et la suite (V n vérifie la relation : V n+1 = AV n Par conséquent, V n = A n V 0 On revient à la suite (U n, U n = V n + C = A n V 0 + C D où, V n = A n (U 0 C + C Exercice 1p151 (Livre 9

10 V MARCHE ALÉATOIRE V Marche aléatoire Les deux occupations de Pataton le chat, sur une journée, sont "dormir" et "manger" On remarque que le matin à 7h, il dort toujours S il dort à une heure donnée, la probabilité qu il dorme (à nouveau ou encore une heure après est 3/4 En revanche, s il mange à une heure donnée, la probabilité qu il mange à nouveau une heure après est 1/5 On note D n l évènement :"Pataton dort n heures après 7 heures", et D n l évènement :"Pataton mange n heures après 7 heures", puis u n = P(D n et v n = P(D n 1 (a Déterminer u 1 et v 1 (b A l aide d un arbre, démontrer que u 2 = (c Compléter l arbre suivant : u n D n D n+1 D n+1 vn D n D n Puis démontrer que : u n+1 = 3 4 u n v n v n+1 = 1 4 u n v n ( un 2 On note X n = v n D n+1 (a Déterminer la matrice A telle que X n+1 = AX n (b Que vaut X 0? (c Calculer X 1 et X 2 (Vérifier vos calculs avec les questions précédentes (d Quelle est la probabilité pur que Pataton soit en train de dormir à 12h? Cet exemple peut-être traité d une autre façon : On construit un "graphe probabiliste" : Un graphe est constitué de plusieurs sommets : ici, 2 sommets : manger (1 ou dormir ( La matrice de transition est la matrice carrée dont le coefficient a i,j est la probabilité de transition du sommet j au sommet i, soit la probabilité d arriver en i sachant qu on est parti de j 10

11 V MARCHE ALÉATOIRE 3 4 On a A = A chaque heure on passe d un état à un autre état Les états ( succéssifs sont représentés par des un matrices colonne (ici d ordre 2 : on les note X n (Ici X n = v n On a la relation X n+1 = AX n Remarque Parfois, la matrice de transition est la matrice carrée dont le coefficient a i,j est la probabilité de transition du sommet i au sommet j 3 1 Dans ce cas, A = Mais, la matrice état n est une colonne, mais une matrice ligne : U n = ( u n v n On a la relation : X n+1 = X n A puis, X n = X 0 A n On considère un mobile effectuant une marche aléatoire sur le graphe suivant : 1/4 1 1/3 2 3/4 1/2 1/2 2/3 3 1 Déterminer la matrice de transition A 2 On pose X 0 = 1 0 0, Déterminer l état de la marche aléatoire après 3 pas, cad X 3 3 Quelle est la probabilité d arriver au 2eme sommet après 3 pas? 11

12 V MARCHE ALÉATOIRE On considère à présent, un mobile affectuant une marche aléatoire sur le graphe précédent de telle sorte que, à chaque pas : avec une probabilité de 1, le mobile choisit comme dans l exemple précédent de suivre une 2 des arêtes issues du sommet sur lequel il est (avec la répartition probabiliste précédent pour le choix de l arête sinon : le mobile se place directement et de façon équirépartie sur n importe quel sommet sur le graphe, y compris celui sur lequel il est On note X n = p n q n la matrice colonne des états après n pas du mobile r n et A = la matrice de transition associée à la marche aléatoire précédente A l aide d un arbre, expliquer pourquoi : X n+1 = 1 2 AX n + 1 B, où B = 1/3 1/3 2 1/3 2 Quelle est la probabilité d arriver au sommet 3 après 2 pas Définition 9 On appelle état (ou répartition stable de probabilité une matrice colonne P, dont tous les coefficients sont positifs de somme égale à 1, vérifiant P = AP Théorème 1 ( 1 p q Une marche aléatoire entre deux états a pour matrice de transition A = ( p 1 q an X n = est la matrice état après n pas b n Si p et q ne sont pas tous les deux nuls, ni tous les deux égaux à,1, alors : 1 il existe existe un état stable et un seul : p P = p + q q p + q 2 quelle que soit l état initial, la suite (X n converge vers P Un mobile mobile effectuant une marche aléatoire sur le graphe suivant : 0,8 0, ,3 0,7 1 Déterminer la matrice ( de transition 1 2 On note X 0 =, prouver que X 0 n converge vers une matrice colonne que vous préciserez 12

13 V MARCHE ALÉATOIRE Théorème 2 Si la matrice de transition A admet une puissance n ayant aucun coefficient nul, alors : il existe une répartition stable de probabilité P et une seule, telle que P = AP quelle que soit l état initial, la suite (X n converge vers P 13