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1 matrices Table des matières 1 définition et opérations sur les matrices activités activité à retenir inverse d une matrice carrée et système linéaire activités activité à retenir exercices devoir maison corrigé devoir maison corrigé devoir maison évaluation 13 5 corrigé évaluation 14

2 1 définition et opérations sur les matrices 1.1 activités activité 1

3 1.2 à retenir définition 1 : (matrice Quels que soient les nombres entiers naturels non nuls n N et p N A est une matrice réelle de dimension n p si et seulement si A est un tableau de n p nombres réels constitué de n lignes et p colonnes a 11 a 1j a 1p a 21 a 2j a 2p on note : A = a i1 a ij a ip n lignes a n1 a nj a np } {{ } p colonnes remarques : 1. on note aussi A = (a ij { 1 i n 1 j p 2. a ij est le coefficient situé à la i e ligne et à la j e colonne 3. n = p la matrice est "carrée" 4. A = ( } a 11 a 1j a 1p 1 ligne est une matrice ligne } {{ } p colonnes a 11 a A = a i1 n lignes est une matrice colonne a n1 } {{ } 1 colonne 1. M = (a M a pour dimension 3 4 car elle a 3 lignes et 4 colonnes (b m 23 = 9 car c est le coefficient situé à la 2 e ligne et 3 e colonne et m 32 = 8 (c M n est pas une matrice carrée 1 2. M = 8 est une matrice colonne de dimension M = ( est une matrice ligne de dimension M = est une matrice diagonale M = 0 0 est une matrice nulle 0 0

4 définition 2 : (matrices égales quelles que soient { les matrices réelles A et B A et B ont même dimension A = B les coefficients de même position sont égaux A = et B = ne sont pas égales x 5 2. A = et B = sont égales si et seulement si x = définition 3 : (addition et soustraction de matrices quelles que soient les { matrices réelles A, B et C A et B ont même dimension (1 C = A+B chaque coefficient de C est la somme des coefficients de A et B de même position (2 C = A B { A et B ont même dimension chaque coefficient de C est la différence des coefficients de A et B de même position avec A = et B = ( on a : A+B = = 4+( ( et : A B = = 4 ( avec A = et B = A et B ne peuvent s additionner car elles n ont pas la même dimension propriété 1 : quelles que soient les matrices réelles A,B et C (1 A+B = B +A (commutativité de l addition (2 (A+B+C = A+(B +C = A+B +C (associativité de l addition définition 4 : (multiplication d une matrice par un nombre quelles que soient les matrices réelles A,B et le nombre réel x A et B ont même dimension (1 B = xa chaque coefficient de B est le produit du coefficient de A de même position par le nombre x exemple : 1. avec A = ( on a : 2A = ( propriété 2 quelles que soient les matrices réelles A,B et les réels x et y (1 (x+ya = xa+ya (2 (xya = x(ya (3 x(a+b = xa+xb = (

5 définition 5 : (multiplication d une matrice ligne par une matrice colonne quelle que soit la matrice ligne A = ( a 1 a j a p de dimension 1 n, b 1 b 2 quelle que soit la matrice colonne B = b i de dimension n 1, { C a pour dimension 1 1 C = AB c 11 = a 1 b 1 +a 2 b 2 + +a i b i + +a n b n b n exemple : avec A = ( et B = on a AB = ( = ( ( ( remarques : 1. la définition précédente caractérise le produit d une ligne par une colonne et pas le contraire avec A = ( et B = 3 le produit BA n est pas défini 4 2. avec A = ( et B = 3 le produit AB n est pas défini car le nombre de colonnes de A 4 n est pas égal au nombre de lignes de B définition 6 : (multiplication de deux matrices quelle que soit la matrice A de dimension n p quelle que soit { la matrice B de dimension p r C a pour dimension n r C = AB c ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j + +a ik b kj + +a ip b pj A = a 11 a 12 a 1j a 1p a 21 a 22 a 2j a 2p a i1 a i2 a ik a ip a n1 a n2 a nj a np B = b 11 b 1j ba 1r b 21 b 2j b 2r b k1 b kj b kr b p1 b pj b pr c 11 c 1j c 1r c 21 c 2j c 2r c i1 c ij c ir = C c n1 c nj c nr

6 exemple : avec A = ( ( et B = ( ( on a C = AB = ( ( remarques : avec A = et B = le produit BA n est pas défini car le nombre de colonnes de B (soit 3 n est pas égal au nombre de lignes de A (soit 2 2. comme l illustre la remarque précédente et le calcul de l exemple, le produit des matrices n est pas commutatif, c est à dire, il existe des matrices pour lesquelles AB BA propriété 3 quelles que soient les matrices réelles A,B et C (1 A(BC = (ABC = ABC (associativité (2 A(B +C = AB +AC (distributivité à gauche (3 (B +CA = BA+CA (distributivité à droite

7 2 inverse d une matrice carrée et système linéaire 2.1 activités activité 5

8 2.2 à retenir définition 7 : (matrice unitaire quelle que soit la matrice réelle A et l entier naturel non nul n N A a pour dimension n n (matrice carrée A est la matrice unitaire d ordre n les coefficients de la diagonale sont tous égaux à 1 et tous les autres son nuls 1. I 2 = ( et I 3 = sont les matrices carrées unitaires d ordre 2 et 3 définition 8 : (matrice inversible quelle que soit la matrice carrée réelle A de dimension n n ou n N A est inversible il existe une matrice B telle que AB = I n avec A = et B = ( ( on a : AB = ( 3 3 ( donc A est inversible = ( = I 2 propriété 4 : (matrice inverse quelle que soit la matrice carrée réelle A de dimension n n ou n N A est inversible = il existe une unique matrice notée A 1 telle que AA 1 = A 1 A = I n remarques : 1. si elle existe, A 1 est appelée la matrice inverse de A ( soit A = 1 1 Montrons que A n est pas inversible par un raisonnement par l absurde pour cela : ( a b supposons vrai que : "A est inversible d inverse B = " c d alors : AB = I 2 ( 1 a+1 c 1 b+1 d alors : AB = 1 a+1 c 1 b+1 d a+c = 1 a+c = 0 alors : alors 0 = 1, ce qui est faux b+d = 0 = ( = I 2 b+d = 1 donc la supposition ( initiale ne peut pas être vraie, elle est donc fausse 1 1 donc A = n est pas inversible l inverse de 2 est 1 2 = 2 1, l inverse de a réel non nul est 1 a = a 1 et tout réel non nul admet un inverse, il n en est pas ainsi pour les matrices avec A = on a A = (exemple de la définition précédente 3 1 ( avec A =, A n est pas défini

9 propriété 5 : (matrice et système linéaire d équations quel que soit le système linéaire S à n équations et p inconnues (S a 11 x 1 + +a 1j x j +a 1n x n = b 1 a i1 x 1 + +a ij x j +a in x n = b i a p1 x 1 + +a pj x j +a pn x n = b p où les a ij sont n p réels connus (les coefficients, les b i sont n réels connus et les x i n réels inconnus S est équivalant à l équation matricielle AX = B a 11 a 1j a 1p a 21 a 2j a 2p où : A = a i1 a ij a ip, X = a n1 a nj a np x 1 x 2 x i x n et B = b 1 b 2 b i b n { ( x+2y = (S AX = B, A =, X = 3x+7y = x+4y +6z = (S x+2y 3z = 20 AX = B, A = 2x 2y z = 30 ( x y ( 10, B = 20 x, X = y z, B = propriété 6 : (matrice inversible et système linéaire d équations quelles que soient les matrices réelles A, B et X où A et B sont connues et X inconnue si A est inversible et AX = B alors X = A 1 B ce qui permet de résoudre un système linéaire matriciellement { ( x+2y = x (S AX = B, A =, X =, B = 3x+7y = y la calculatrice donne A 1 = puis : X = A 3 1 B = donc x = 30 et y = x+4y +6z = x (S x+2y 3z = 20 AX = B, A = 1 2 3, X = y, B = 20 la 2x 2y z = z 30 17,1 calculatrice confirme que A est inversible et donne X = A 1 B = 6,25 8,2 donc x 17,1, y = 6,25 et z 8,2 remarque : (admise si la matrice A de dimension n n n est pas inversible, cela signifie que le système n admet pas un unique "n-uplet" solution, il y a alors une infinité de solutions ou aucune solution

10 2.3 exercices exercice 1 : Une certaine quantité d argent doit être partagée entre trois personnes A, B et C selon les règles suivantes : (1 la somme totale d argent à partager est de euros (2 19% de ce que recevra A sera égal à 85% de ce que recevra B plus 89 % de ce que recevra C (3 la différence entre la part de A et la part de B sera 4 fois plus grande que la différence entre la part de B et la part de C Soit x la part de A, y la part de B et z la part de C 1. écrire un système de trois équations à trois inconnues vérifié par x,y et z (chaque équation est de la forme ax+by +cz = d 2. le système d équations ci dessus est équivalent à l équation matricielle AX = B, préciser les matrices A et B 3. résoudre matriciellement le système à la calculatrice 4. conclure exercice 2 : Du "PageRank" d une page web dépend la place qu elle aura dans les résultats donnés par un célèbre moteur de recherche. Le principe de calcul du PageRank d une page web est le suivant : (1 si une page A fait un lien vers une page B, alors ce lien de A vers B augmente le PageRank de B (2 l augmentation de PageRank de la page B est d autant plus importante que le PageRank de la page A est élevé (3 l augmentation de PageRank de la page B est d autant plus importante que la page A fait peu de liens voici la formule de calcul du PageRank de la page B : _ soient A1, A2,, An : n pages pointant vers une page B, _ soit PR(Ak le PageRank de la page Ak, _ soit N(Ak le nombre de liens sortants présents sur la page Ak, _ soit d, un facteur compris entre 0 et 1, fixé en général à 0,85 le PageRank de la page B se calcule ainsi : PR(B = (1 d+d (PR(A1/N(A1 ++PR(An/N(An 1. uniquement trois pages web A,B, et C parlent d un même sujet, A B les liens entre les pages web sont donnés par le graphe suivant : C (a écrire un système de trois équations à trois inconnues vérifié par PR(A,PR(B et PR(C (chaque équation est de la forme apr(a+bpr(b+cpr(c = e (b résoudre matriciellement le système à la calculatrice (c en déduire l ordre d apparition des pages dans le moteur de recherche ( un calculateur : http :// 2. uniquement 4 pages web A,B, et C parlent d un même sujet, A B les liens entre les pages web sont donnés par le graphe suivant : déterminer le pagerank et le classement de chaque page C D

11 3 devoir maison 3.1 corrigé devoir maison 1 1. Modélisation (a points dans un repère y (b la courbe passe par M 0 (0; donc f(0 = 4 or f(0 = a 0 3 +b 0 2 +c 0+d = d donc d = 4 (c de même : la courbe passe par M 2 (2;7 donc f(2 = 7 or f(2 = a 2 3 +b 2 2 +c 2+4 = 8a+4b+2c+4 donc 8a+4b+2c+4 = 7 x la courbe passe par M 4 (4;5 donc f(4 = 5 or f(4 = a 4 3 +b 4 2 +c 4+4 = 64a+16b+4c+4 donc 64a+16b+4c+4 = 5 la courbe passe par M 6 (6;8 donc f(6 = 8 or f(6 = a 6 3 +b 6 2 +c 6+4 = 216a+36b+6c+4 donc 216a+36b+6c+4 = 8 8a+4b+2c+4 = 7 8a+4b+2c = 3 d où le système : (S : 64a+16b+4c+4 = 5 puis 64a+16b+4c = 1 216a+36b+6c+4 = 8 216a+36b+6c = a 3 (d (S AX = B avec A = , X = b et B = c , 2083 (e on a X = A 1 B si A est inversible, la calculatrice donne X = , , (f la courbe a donc pour équation : y = 5 24 x3 1,875x x+4 (g sous l hypothèse que cette courbe ajuste le pourcentage sur la période on a donc : en 2008 : x = 5 et y = , = 5,25 en 2011 : x = 8 et y = , = (a on place les points dans le repère (b on entre les saisies (c Geogebra donne : y = 0,13x 3 1,19x 2 +3,09x+4,06 en 2008 : x = 5 et y = 0, , ,09 5+4,06 6,01 en 2011 : x = 8 et y = 0, , ,09 8+4,06 19,18 3. si en 2008, 6% est le pourcentage réel, le second modèles est le meilleur avec une prévision de 6, 01% contre 5, 25% pour le premier modèle

12 3.2 corrigé devoir maison 2 modèle fermé de Léontief 1. (a pour chaque secteur, la production totale est gale à la consommation totale : industrie : 0,3x+0,3y +0,3z = x services : 0,4x+0,1y +0,5z = y AP = P électricité : 0,3x+0,6y +0,2z = z où A = 0,3 0,3 0,3 0,4 0,1 0,5 0,3 0,6 0,2, P = x y z 0,7x+0,3y +0,3z = 0 (b si on annule le second membre de chaque équation on obtient alors : (S : 0,4x 0,9y +0,5z = 0 0,3x+0,6y 0,8z = 0 (c l affichage montre que le système n admet pas une unique solution mais une infinité de solutions de la forme (x = 0, z; y = 0, z; z où z est un nombre quelconque positif 2. avec z = on obtient alors ( à l unité près y 9216 unités de services, x 8235 unités d électricité modèle ouvert de Léontief 1. _une unité du secteur Energie nécessite 0,044 unités du secteur Agriculture, 0,01 unités du secteur Biens manufacturés et 0,216 unités du secteur Energie _une unité du secteur agriculture ne consomme aucune unité du secteur Energie _le besoin de la population est de 17,6 unités du secteur Biens manufacturés 2. (a la production totale de chaque secteur couvre les besoins des secteurs et de la population donc : _pour le secteur des Biens manufacturés on a : 0,014x+0,207y +0,017z +17,6 = y _pour le secteur Agriculture on a : 0,293x+0y +0z +13,2 = x _pour le secteur Energie on a : 0,044x+0,01y +0,216z +1,8 = z (b on a donc AP +D = P avec A = 0, ,014 0,207 0,017 0,044 0,01 0,216 (c AP correspond à la consommation totale par secteurs, P = x y z et D = 13,2 17,6 1,8 (d AP +D = P D = P AP D = I 3 P AP D = (I 3 AP 1 0, , (a soitl = I 3 A, on al = 0, ,207 0,017 = 0, 014 0, 793 0, 017 0,044 0,01 1 0,216 0,044 0,01 0,784 LP = D P = L 1 D 18,7 la calculatrice donne alors P = 22,6 3,6 (b pour que la production soit équilibrée il faut : _pour le secteur Agriculture : 18, 7 milliards d euros _pour le secteur des Biens manufacturés : 22, 6 milliards d euros _pour le secteur Energie on a : 3, 6 milliards d euros

13 4 évaluation Nom, Prénom : Evaluation : ( Matrices Exercice : Une étude statistique donne le bénéfice B (en milliers d euros d une entreprise en fonction du prix de vente x (en euros de l article qu elle produit (elle est spécialisée dans la construction de cet article prix de vente de l article : x bénéfice : B B x on cherche, dans ce qui suit à modéliser l évolution du bénéfice B en fonction du prix de vente x 1. Modèle du troisième degré : On suppose que le bénéfice est donné en fonction de x par une expression de la forme B 1 (x = ax 3 +bx 2 +cx+d où a,b,c et d sont 4 coefficients à déterminer (a à partir du tableau et de la supposition ci dessus, montrer que a,b,c et d sont solution du système a+b+c+d = 11 8a+4b+2c+d = 4 d équation : (S : 27a+9b+3c+d = 9 64a+16b+4c+d = 20 (b (S est équivalent à l équation matricielle AX = B, où X = a b c d, donner les matrices A et B (c exprimer la matrice X en fonction des matrices A et B puis résoudre cette équation matricielle grâce à la calculatrice en indiquant sur la copie la démarche suivie et donner les valeurs de a,b,c et d trouvées ainsi que l expression du bénéfice B 1 (x en fonction de x qui en découle (d compléter le tableau ci dessous avec la formule trouvée précédemment (détailler un calcul x B 1 (x la formule trouvée est-elle acceptable au vu de ce tableau? (e d après les résultats précédents, quel serait le bénéfice pour un prix de vente de 8 euros? placer le point dans le repère ci dessus 2. Modèle du second degré : On suppose que le bénéfice est donné en fonction de x par une expression de la forme B 2 (x = ax 2 +bx+c où a,b et c sont trois coefficients à déterminer (a à partir des points M 1 (1;11; M 2 (2;4 et M 3 (3;9 du tableau de départ, établir un système d équations vérifié par les coefficients a,b et c (b résoudre le système trouvé ci dessus grâce au calcul matriciel et à la calculatrice et donner l expression de B 2 (x qui en découle (c calculer la valeur du bénéfice prévue pour x = 4 (d d après les résultats précédents, quel serait le bénéfice pour un prix de vente de 8 euros? 3. comparaison des modèles (a le bénéfice pour un prix de vente de 6e est en réalité de 36000e quel est le modèle le plus en adéquation avec ce résultat? (justifier 4. étudier les variations du bénéfice avec le modèle du troisième degré pour x [1;8] et proposer le prix idéal pour l entreprise

14 5 corrigé évaluation Corrigé évaluation : ( Matrices B Modèle du troisième degré : B 1 (x = ax 3 +bx 2 +cx+d (a à partir du tableau donné et de la supposition ci dessus, on a : B 1 (1 = a 1 3 +b 1 2 +c 1+d = 11 B 1 (2 = a 2 3 +b 2 2 +c 2+d = 4 B 1 (3 = a 3 3 +b 3 2 +c 3+d = 9 B 1 (4 = a 4 3 +b 4 2 +c 4+d = 20 (b (S est équivalent à AX = B, où X = a b c d (S :, A = x a+b+c+d = 11 8a+4b+2c+d = 4 27a+9b+3c+d = 9 64a+16b+4c+d = et B = (c X = A 1 B et à la calculatrice on entre les matrices A et B et on demande la calcul de A 1 B 1 qui donne : X = on en déduit que B 1 (x = x 3 +12x 2 36x (d on complète le tableau ci dessous avec la formule trouvée précédemment x B 1 (x avec par exemple B(1 = = 11 la formule trouvée est donc acceptable au vu de ce tableau (e d après les résultats précédents, le bénéfice pour un prix de vente de 8 euros serait de B(8 = 4 milliers d euros et on place le point dans le repère ci dessus 2. Modèle du second degré : B 2 (x = ax 2 +bx+c (a à partir des points M 1 (1;11; M 2 (2;4 et M 3 (3;9 du tableau de départ on déduit que : B 2 (1 = a 1 2 +b 1+c = 11 a+b+c = 11 B 2 (2 = a 2 2 +b 2+c = 4 (S : 4a+2b+c = 4 B 2 (3 = a 3 2 +b 3+c = 9 9a+3b+c = 9 a (b (S est équivalent à AX = B, où X = b, A = et B = 4 c (c X = A 1 B et la calculatrice donne : X = on en déduit que B 2 (x = 6x 2 25x+30 (d la valeur du bénéfice prévue pour x = 4 est B 2 (4 = = 26 (e B 2 (8 = = comparaison des modèles (a B 1 (x = = 36 B 2 (6 = = 96 le modèle le plus en adéquation avec ce résultat est donc le premier car il donne le résultat obtenu dans la réalité, c est à dire 36 milliers d euros

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