Matrices, déterminants

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1 Matrices, déterminants S2 Mathématiques Générales 1 11MM21 Les notes qui suivent sont très largement inspirées des sites : et du cours de E Royer consultable à l adresse : royer/enseignementhtml S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 1 / 38 1 Les matrices 11 Définition Dans tout ce cours, on fixe un corps K : soit R, soit C On appelle matrice à coefficients dans K la donnée : d un nombre p de colonnes ; d un nombre n de lignes ; d un ensemble de np coefficients de K rangés dans un tableau de n lignes et p colonnes On numérote les coefficients avec deux indices : le premier indique le numéro de la ligne (on les numérote du haut vers le bas), le second le numéro de la colonne (on les numérote de gauche à droite) Ainsi, le coefficient a ij est l intersection de la i ème ligne et de la j ème colonne On note alors (a ij ) 1 i n la matrice On dit que la matrice est de taille n p (lire n croix p et respecter l ordre de lecture) S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 2 / Matrices particulières 1 Les matrices colonnes sont les matrices à une colonne : a 1 a 2 a n 2 Les matrices lignes sont les matrices à une ligne : ( a 1 a 2 a p ) 3 La matrice nulle est la matrice dont tous les coefficients sont nuls On la note 0 np si elle a n lignes et p colonnes, 0 s il n y a pas d ambiguïté 4 Les matrices carrées sont les matrices dont les nombres de lignes et de colonnes sont égaux Ce nombre de lignes et de colonnes s appelle l ordre de la matrice Les coefficients ayant même indice de ligne et de colonne s appellent les coefficients diagonaux S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 3 / 38

2 5 Les matrices triangulaires inférieures sont les matrices carrées dont tous les coefficients strictement au dessus de la diagonale (c est-à-dire d indices ij avec j > i) sont nuls 6 Les matrices triangulaires supérieures sont les matrices carrées dont tous les coefficients strictement au dessous de la diagonale (c est-à-dire d indices ij avec j < i) sont nuls 7 Les matrices diagonales sont les matrices carrées à la fois triangulaires supérieures et triangulaires inférieures Les seuls coefficients non nuls sont donc ceux de la diagonale 8 La matrice identité est la matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux valent 1 On note I n la matrice identité d ordre n On note M np (K) l ensemble des matrices de taille n p à coefficients dans K et M n (K) l ensemble des matrices carrées d ordre n à coefficients dans K S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 4 / 38 2 Calcul matriciel 21 Égalité des matrices Deux matrices A et B sont égales, ce qu on note A = B si elles ont le même nombre de lignes ; elles ont le même nombre de colonnes ; les coefficients à la même position sont égaux Si A = (a ij ) 1 i n et B = (b ij ) 1 i n, la condition d égalité des coefficients est : i {1,, n}, j {1,, p}, a ij = b ij S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 5 / Addition des matrices Soit A et B deux matrices de M np (K), la somme A + B est la matrice de M np (K) dont chaque coefficient est somme des coefficients de même position de A et de B : si A = (a ij ) 1 i n et B = (b ij ) 1 i n alors A + B = (a ij + b ij ) 1 i n S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 6 / 38

3 Si A, B et C sont trois matrices de M np (K), l addition est associative : (A + B) + C = A + (B + C) ; la matrice nulle à n lignes et p colonnes est un élément neutre pour l addition : A + 0 np = A ; toute matrice admet un symétrique En posant A = ( a ij ) 1 i n, on a : A + ( A) = 0 np ; l addition est commutative : A + B = B + A On note A B la somme A + ( B) S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 7 / Produit d une matrice par un élément de K Soit A une matrice de M np (K) et λ K On appelle produit (externe) de λ par A, et on note λa la matrice dont chaque coefficient est obtenu en multipliant le coefficient de même position de A par λ : si A = (a ij ) 1 i n λa = (λa ij ) 1 i n Soit λ, µ des éléments de K, A et B des matrices de M np (K) Alors, λ(a + B) = λa + λb (λ + µ)a = λa + µa (λµ)a = λ(µa) 1A = A S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 8 / Structure de M np (K) Théorème 1 L ensemble M np (K) muni de l addition et du produit par un scalaire est un espace vectoriel sur K 2 Soit r {1,, n} et s {1,, p} On désigne par E r,s la matrice de M np (K) dont tous les éléments sont nuls sauf celui de la r ème ligne, sème colonne qui est égal à 1 Les matrices (E r,s ) 1 r n,1 s p définissent une base de M np (K), appelée base canonique de M np (K) Théorème Le K-espace vectoriel M np (K) est de type fini et sa dimension est égale à np S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 9 / 38

4 25 Produit de deux matrices Produit d une matrice ligne par une matrice colonne Soit A = ( ) a 1 a p une matrice ligne de M1p (K), b 1 B = une matrice colonne de M p1 (K) b p Le produit de A par B, noté AB est la matrice 1 1 dont le coefficient est a 1 b 1 + a 2 b a p b p On note que la matrice ligne et la matrice colonne ont même nombre d éléments S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 10 / 38 Produit d une matrice par une matrice colonne coefficient de ( ) a 11 a 1p a 11 a 1p b 1 a i1 a ip = coefficient de ( ) a i1 a ip b p a n1 a np coefficient de ( ) a n1 a np b 1 b p b 1 b p b 1 b p S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 11 / 38 Autrement dit, pour A M np (K) une matrice et B M p1 (K) une matrice colonne, le produit de A par B, noté AB est la matrice colonne n 1 dont la ligne n i est le produit de la ligne n i de A avec B et ce pour chaque numéro de ligne i : a 11 a 1p a 11 b a 1p b p b 1 a i1 a ip = a i1 b a ip b p b p a n1 a np a n1 b a np b p On note que A a autant de colonnes que B a de lignes S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 12 / 38

5 Produit d une matrice par une matrice Soit A M np (K) et B M pq (K) deux matrices Le produit de A par B est la matrice n q dont la colonne n j est le produit de A par la colonne n j de B et ce pour chaque numéro de colonne j : A B 1 B 2 B q = AB 1 AB 2 AB q On note que A a autant de colonnes que B a de lignes S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 13 / 38 Attention!!! Restriction de définition Le produit des matrices A et B n est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B Défaut de commutativité Le produit matriciel n est pas commutatif C est évident lorsqu on peut calculer AB mais pas BA (ce qui arrive si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B mais que le nombre de colonnes de B diffère du nombre de lignes de A) mais on peut aussi avoir AB BA lorsque A et B sont deux matrices carrées Produit nul Le produit de deux matrices peut être nul alors qu aucune des matrices n est nulle S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 14 / 38 Propriétés ( Soient n, p, q, r N ) Associativité Soit A M np (K), B M pq (K) et C M qr (K) Alors (AB)C = A(BC) Rôle des matrices identité Si A M np (K), AI p = A et I n A = A Distributivité par rapport à l addition Si A et B sont deux matrices de Mnp (K) et C M pq (K) Alors (A + B)C = AC + BC Si A Mnp (K) et si B et C sont deux matrices de M pq (K) Alors A(B + C) = AB + AC Compatibilité avec le produit externe Si A M np (K), B M pq (K) et λ K, alors λ(ab) = (λa)b = A(λB) S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 15 / 38

6 Puissances d une matrice carrée Si k 0 est un entier et si A M n (K), on définit la puissance kème de A de la façon suivante : I n si k = 0 A k = A k 1 A = A } {{ A} produit de k copies de A si k 1 Soit A et B deux matrices carrées telles que AB = BA et n 0 un entier Alors (A + B) n = n k=0 ( ) n A n k B k k où ( ) n = k n! k!(n k)! S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 16 / Transposée d une matrice Définition Si A = (a ij ) 1 i n est une matrice à n lignes et p colonnes, on appelle transposée de A et on note t A la matrice à p lignes et n colonnes dont le coefficient de la ligne n j et de la colonne n i est a ji Ainsi, t A = (a ji ) 1 i n S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 17 / 38 Soit A et B deux matrices de M np (K) et λ K Alors, t ( t A) = A t (λa) = λ t A t (A + B) = t A + t B t (AB) = t B t A Attention!!! Il faut prendre garde au changement de l ordre de la multiplication lorsqu on prend la transposée d un produit S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 18 / 38

7 3 Matrices inversibles 31 Définition Définition Soit A M n (K) une matrice carrée d ordre n On dit que la matrice A est inversible si il existe une matrice B M n (K) telle que Propriété-Définition AB = BA = I n Soit A M n (K) une matrice carrée d ordre n Si il existe une matrice B M n (K) telle que AB = BA = I n, elle est unique Une telle matrice B s appelle l inverse de A On la note A 1 S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 19 / Propriétés Théorème Soit A et B deux matrices carrées inversibles de même taille Alors le produit AB est inversible et son inverse est (AB) 1 = B 1 A 1 Attention!!! Il faut prendre garde au changement de l ordre de la multiplication lorsqu on prend l inverse d un produit Si A est une matrice carrée inversible alors sa transposée est inversible et ( t A ) 1 = t ( A 1) S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 20 / Interprétation matricielle d un système d équations linéaires Un système d équations linéaires est un ensemble d équations d inconnues x 1,, x p de la forme a 11 x 1 + a 12 x a 1p x p = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2p x p = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a np x p = b n avec a ij et b i des coefficients de K pour tout i et j S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 21 / 38

8 Si on note a 11 a 12 a 1p b x 1 a A = 21 a 22 a 2p 1, X = b et B = 2 x a n1 a n2 a p np b n le système précédent équivaut à l égalité matricielle AX = B où X est le vecteur que l on cherche à déterminer La matrice colonne B s appelle le second membre du système Si B = 0, on dit que le système est un système d équations linéaires homogènes Si A est une matrice carrée inversible, le système AX = B a une solution unique Cette solution est X = A 1 B S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 22 / Calcul de l inverse d une matrice Pour calculer l inverse d une matrice, une première étape consistera à la transformer en une matrice en échelons Définition Soit A une matrice non nulle ayant au moins deux lignes et une colonne On dit que A est en échelons lorsqu elle a les propriétés suivantes : chaque ligne non nulle a son premier coefficient non nul égal à 1 ; toute ligne suivant une ligne nulle est nulle ; si une ligne a son premier coefficient non nul sur une colonne n j, alors la ligne suivante, si elle n est pas nulle, a son premier coefficient non nul sur une colonne n k > j S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 23 / 38 Voilà la forme générale d une matrice en échelons où désigne n importe quel élément de K S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 24 / 38

9 Pour mettre une matrice en échelons, on va utiliser des opérations élémentaires sur les lignes Définition Les opérations élémentaires sur les lignes sont multiplication d une ligne par λ K, λ 0 ; échange de deux lignes ; ajout à une ligne d une autre ligne multipliée par λ K Théorème (admis) Toute matrice non nulle ayant au moins deux lignes et une colonne peut être transformée en matrice en échelons à l aide d une suite d opérations élémentaires sur les lignes S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 25 / 38 Méthode pratique pour mettre une matrice en échelons Soit A M np (K) avec n 2 1 Si tous les éléments de la 1ère colonne de A sont nuls, on passe à l étape 3 2 Sinon, au moins un des coefficients de la 1ère colonne de A est non nul, Si l élément de la 1 ère ligne de la 1ère colonne est nul, on échange cette ligne avec une ligne dont l élément situé dans la 1ère colonne est non-nul On multiplie la 1 ère ligne par un coefficient α K, α 0 Le coefficient α est choisi de manière à se ramener à une matrice dont le coefficient sur la 1ère ligne, 1ère colonne vaut 1 Pour chaque i 2, on ajoute à la i ème ligne L i la ligne L 1 mutlipliée par un coefficient λ K où λ est choisi de manière à annuler le coefficient de la 1ère colonne de la ième ligne 3 On obtient une matrice dont les coefficients en dessous de la diagonale de la 1ère colonne sont tous nuls et telle que le coefficient situé sur la 1ère ligne, 1ère colonne soit 0 ou 1 On procède de même pour les colonnes suivantes S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 26 / 38 Méthode pratique du calcul de l inverse Soit A M n (K) une matrice carrée On construit une matrice à n lignes et 2n colonnes (A I ) en écrivant la matrice identité d ordre n à droite de A En appliquant des opérations élémentaires, on transforme la matrice A en une matrice en échelons à et on applique les mêmes opérations à I On obtient (à Ĩ ) Si à a une ligne nulle, elle n est pas inversible Sinon, en appliquant de nouvelles opérations élémentaires, on transforme à en I Les mêmes opérations élémentaires transforment Ĩ en A 1 S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 27 / 38

10 4 Déterminants 41 Définition On ne s intéresse ici qu aux matrices carrées Définition Soit A M n (K) une matrice carrée Le déterminant de A, noté det(a), est l élément de K défini par récurrence de la façon suivante : si n = 1 alors A = (a 11 ) et det(a) = a 11 ; si n 2, alors A = (a ij ) 1 i,j n et det(a) = a a a ( 1) n 1 a n1 n1 où i1 est le déterminant de la matrice de M n 1 (K) obtenue en enlevant à A la ligne n i et la première colonne S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 28 / 38 Quelques exemples Si n = 2 ( x1 x det 2 y 1 y 2 ) = x 1 y 2 y 1 x 2 Si n = 3 det x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 = x 1 (y 2 z 3 z 2 y 3 ) y 1 (x 2 z 3 z 2 x 3 ) + z 1 (x 2 y 3 x 3 y 2 ) On retrouve les formules introduites en TC math S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 29 / 38 Le déterminant de toute matrice triangulaire supérieure est le produit de ses éléments diagonaux : a 11 0 a 22 det = a 11 a 22 a nn 0 0 a nn S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 30 / 38

11 42 Propriétés Si on multiplie l une des lignes d une matrice par un élément de K alors le déterminant de cette matrice est multiplié par le même élément de K Corollaire Le déterminant d une matrice ayant une ligne nulle est 0 Corollaire Si A M n (K) et λ K alors det(λa) = λ n det(a) S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 31 / 38 Soit A M n (K) une matrice carrée dont on note L 1,, L n les lignes Soit L M 1n (K) une ligne Alors det L 1 L i 1 L i L i+1 L n + det L 1 L i 1 L L i+1 L n L 1 L i 1 = det L i + L L i+1 L n S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 32 / 38 Attention!!! Dans l énoncé précédent, on n a changé qu une ligne Pour ajouter plusieurs lignes, il faut donc appliquer la proposition plusieurs fois Si on échange deux lignes d une matrice carrée, le déterminant est multiplié par 1 Corollaire Si une matrice carrée a deux lignes identiques, son déterminant est nul Si à une ligne d une matrice on ajoute le produit d un élément de K par une autre ligne, le déterminant est inchangé S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 33 / 38

12 Méthode pratique de calcul du déterminant On connait maintenant l action des opérations élémentaires sur le déterminant : Opérations élémentaires L i L j (i j) L i λl i (λ 0) L i L i + λl j Déterminant multiplié par 1 multiplié parλ inchangé Toute matrice peut être mise en échelons par une succession d opérations élémentaires On sait calculer le déterminant d une matrice échelonnée On sait donc calculer tous les déterminants par mise en échelons S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 34 / 38 Théorème (admis) Une matrice carrée et sa transposée ont même déterminant Conséquence On déduit alors l action sur le déterminant des opérations élémentaires sur les colonnes : Opérations élémentaires C i C j (i j) C i λc i (λ 0) C i C i + λc j Déterminant multiplié par 1 multiplié parλ inchangé S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 35 / 38 Revenons sur le choix fait dans la définition de privilégier la première colonne Soit A = (a ij ) 1 i,j n une matrice carrée d ordre n 2 On note ij le déterminant de la matrice carrée d ordre n 1 obtenue en enlevant à A sa ligne n i et sa colonne n j Alors, det(a) = ( 1) i+1 ( a i1 i1 a i2 i2 + + ( 1) n+1 a in in ) (développement du déterminant par rapport à la ligne n i) det(a) = ( 1) j+1 ( a 1j 1j a 2j 2j + + ( 1) n+1 a nj nj ) (développement du déterminant par rapport à la colonne n j) pour tout choix d entiers i et j dans {1,, n} S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 36 / 38

13 (admis) Si A et B sont deux matrices carrées de même taille, alors det(ab) = det(a) det(b) Théorème Soit A une matrice carrée Elle est inversible si et seulement si son déterminant est non nul Lorsque A est inversible, on a det(a 1 ) = 1 det(a) Corollaire Un système linéaire ayant autant d équations que d inconnues a une solution unique si et seulement si la matrice associée est de déterminant non nul S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 37 / 38 Déterminant d une famille de vecteurs Soit E un K-espace vectoriel de type fini et n sa dimension Soit B E une base de E Définition Soient V 1, V 2,, V n des vecteurs de E Soit A la matrice de M n (K) dont la j ème colonne est formée des composantes du vecteur V j par rapport la base B E On appelle déterminant des vecteurs V 1, V 2,, V n par rapport à la base B E et l on note det BE (V 1, V 2,, V n ) le déterminant de la matrice A Théorème Les vecteurs V 1, V 2, V n de E sont linéairement indépendants si et seulement si det BE (V 1, V 2,, V n ) est non nul S2 Mathématiques Générales 1 (11MM21) Matrices, déterminants 38 / 38