Matrices. Bcpst 1 4 mars 2016

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1 Matrices Bcpst 1 4 mars 2016 Notations du chapitre Dans tout ce chapitre, n et p sont deux entiers naturels non nuls désigne l ensemble ou l ensemble I Ensemble des matrices Definition 11 Matrice à n lignes et p colonnes On appelle matrice à n lignes et p colonnes et à coefficients dans la donnée de n p éléments de disposés dans un tableau sous la forme m 11 m 12 m 1p m M = 21 m 22 m 2p m n1 m n2 m np On note aussi M = (m i j ) 1 i n Dans la notation des coefficients m i j de la matrice, 1 j p l indice i représente la ligne de la matrice et l indice j la colonne de la matrice Remarque I1 Il conviendrait de noter avec une virgule entre les deux indices : m 1,1, m i,j, etc les coefficients de la matrice Malgré le risque de confusion, l absence de virgule ne présente pas de difficultés pratiques, tout en allégeant les écritures C est pourquoi j omettrai cette virgule L ensemble des matrices à n lignes et p colonnes est noté np ( ) Dans le contexte de ce chapitre, les éléments de s appellent des scalaires Vocabulaire Une matrice colonne est une matrice qui n a qu une colonne Une matrice ligne est une matrice qui n a qu une ligne

2 I Ensemble des matrices 2 Une matrice carrée est une matrice qui a autant de ligne que de colonne Ce nombre s appelle l ordre de la matrice L ensemble des matrices carrées d ordre n est noté n ( ) Dans le cas des matrices carrées, les coefficients (m ii ) 1 i n forment la diagonale de la matrice Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont les coefficients sous la diagonale sont tous nuls (m i j = 0 si i > j) L ensemble des matrices triangulaires supérieures d ordre n est noté + n ( ) m 11 m 12 m 13 m 1n 0 m 22 m 23 m 2n 0 0 m 33 m 3n m nn Une matrice triangulaire inférieure est une matrice carrée dont les coefficients au dessus de la diagonale sont tous nuls ((m i j = 0 si i < j) L ensemble des matrices triangulaires inférieures d ordre n est noté n ( ) m m 21 m m 31 m 32 m 33 0 m n1 m n2 m n3 m nn Les matrices dont les coefficients au-dessus et en dessous de la diagonale sont nuls sont les matrices diagonales (m i j = 0 si i = j) m m m m nn Enfin on appellera matrice identité la matrice I n =

3 II Opérations sur les matrices 3 II Opérations sur les matrices II1 Transposition Definition 21 Transposée d une matrice Soit M = (m i j ) 1 i n np ( ) On appelle tranposée de M et on note t M la matrice 1 j p de pn ( ) égale à (m ji ) 1 i p 1 j n Concrètement on transforme les lignes de M en colonnes pour obtenir t M Par exemple la transposée de est Definition 22 Matrice symétrique, antisymétrique Soit M n ( ) On dit que M est symétrique ssi t M = M M est antisymétrique ssi t M = M Par exemple est symétrique et est antisymétrique II2 Addition de deux matrices, multiplication par un scalaire Definition 23 Addition et produit par un scalaire Soit A = (a i j ) 1 i n et B = (b i j ) 1 i n deux matrices de np ( ) et λ 1 j p 1 j p On appelle produit de A par λ et on note λ A la matrice C = (c i j ) 1 i n définie par 1 j p i 1 ; n, j 1 ; p, c i j = λa i j

4 II Opérations sur les matrices 4 On appelle somme de A et de B et on note A+ B la matrice D = (d i j ) 1 i n définie par 1 j p i 1 ; n, j 1 ; p, d i j = a i j + b i j Notez que le produit d une matrice par un scalaire est une opération d un type particulier : on fait opérer un scalaire sur une matrice et cela donne une nouvelle matrice Propriété 24 L addition de matrice est associative, commutative et possède un élément neutre (la matrice nulle O np = (0) 1 i n ) 1 j p Propriété 25 Soit A et B deux matrices et λ et µ deux scalaires λ (µ A) = (λ µ) A = µ (λ A) λ (A + B) = λ A + λ B (λ + µ) A = λ A + µ A Ces deux opérations ont les mêmes propriétés que les opérations vectorielles connues : somme de vecteurs et produit d un vecteur par un scalaire En particulier, 0 A = O np, A = ( 1) A En pratique, le de cette multiplication est omis Propriété 26 Soit A et B deux matrices et λ un scalaire : t (A + B) = t A + t B t (λa) = λ t A II3 Multiplication de matrices La multiplication matricielle a été définie pour pouvoir mener des calculs avec élégance dans de nombreux contextes, et nous comprendrons progressivement au cours des chapitres à venir, le «pourquoi du comment» de cette définition Dans cette partie, q est un entier non nul Definition 27 Produit d une matrice ligne par une matrice colonne Soit L 1,q ( ) et C q,1 (K) Par définition, le produit L C est la matrice de 1 ( ) définie par LC = l 11 c 11 + l 12 c l 1q c q1

5 II Opérations sur les matrices 5 En pratique, on peut présenter les calculs sous la forme c11 c 12 c 1q l 11 l 21 l q1 q l 1k c k1 k=1 Definition 28 Produit de deux matrices Soit A n,q ( ) et B q,p (K) Par définition, le produit A B est la matrice de n,p ( ) dont le coefficient à la i ième ligne et à la j ième colonne est le produit de la i ième ligne de A par la j ième colonne de B q AB = a ik b k j k=1 1 i n 1 j p En pratique, on peut présenter les calculs sous la même forme que précedemment Propriété 29 Le produit matriciel est associatif : (AB)C = A(BC) Dém On admet ce résultat Le produit matriciel n est évidemment pas commutatif, puisque BA peut ne pas être défini si AB l est De plus, la notion d élément neutre est problématique, puisque ce n est pas une opération interne de np ( ) Propriété 210 1) A nq ( ), (B, C) ( qp ( )) 2, A(B + C) = AB + AC 2) (A, B) ( nq ( )) 2, C qp ( ), (A + B)C = AC + BC 3) λ, (A, B) ( nq ( )) 2, λ(ab) = A(λB) 4) A nq ( ), B qp ( ), t (AB) = t B t A Écriture matriciel des systèmes d équations linéaires

6 III Cas des matrices carrées 6 Soit (Σ) un système de n équations linéaires à p inconnues et à coefficients dans K a 11 x 1 + a 12 x a 1p x p = b 1 (Σ) a i1 x 1 + a i2 x a ip x p = b i a n1 x 1 + a n2 x a np x p = b n Introduisons la matrice A = (a i j ), la matrice colonne X = (x j ) 1 j p et la matrice colonne B = (b i ) 1 i n Alors formellement le système (Σ) peut aussi s écrire AX = B On dit que A est la matrice associée au système (Σ) Réciproquement, à toute matrice A de np ( ) on peut associer des systèmes de n équations à p inconnues de la forme AX = B Selon le second membre, on obtient des systèmes différents Le système AX = O n1 est le système homogène associé à A III Cas des matrices carrées La multiplication matricielle est une opération interne de l ensemble des matrices carrées Elle n est pas commutative, comme on peut le voir sur un exemple simple En revanche, elle admet un élément neutre : la matrice identité I n Propriété 31 La multiplication de matrice est une opération interne de n ( ), associative et admettant un élément neutre (I n ) III1 Matrices triangulaires, diagonales La multiplication est également une opération interne de l ensemble des matrices triangulaires, des matrices diagonales Propriété 32 Soit T et U deux matrices triangulaires On a T U = t 11 t 12 t 13 t 1n u 11 u 12 u 13 u 1n 0 t 22 t 23 t 2n 0 u 22 u 23 u 2n 0 0 t 33 t 3n 0 0 u 33 u 3n t nn u nn

7 III Cas des matrices carrées 7 t 11 u 11 0 t 22 u 22 = 0 0 t 33 u t nn u nn + n ( ) Propriété 33 Soit D et deux matrices diagonales On a D = d δ d δ d n 0 0 δ n d 1 δ d = 2 δ 2 0 n( ) 0 0 d n δ n III2 Puissance de matrice Definition 34 Puissances de matrices Soit A n ( ) et k Par définition En particulier A 0 = I n A k = I n A A A } {{ } n fois Cette puissance vérifie la propriété caractéristique de la notation puissance Propriété 35 Soit A n ( ), (m, n) 2 A n A m = A n+m = A m+n = A m A n Attention! De manière générale (AB) n A n B n Par exemple (AB) 2 = ABAB et c est tout! En effet, la non-commutativité du produit matriciel empêche de pouvoir permuter B et A dans l écriture précédente, et donc «d amener» tous les A et tête de liste et tous les B à la fin de la liste

8 IV Matrices inversibles 8 Toutefois les puissances de A sont des matrices qui commutent entre elles, comme on le voit dans le résultat précédent Propriété 36 Soit A n ( ), n 2, t (A n ) = ( t A n ) Propriété 37 Soit k et D une matrice diagonale On a d k d k D k = d k n Théorème 38 Binôme de Newton pour les matrices Soit A et B deux matrices telles que AB = BA et m (A + B) m = m k=0 m A k B n k k IV Matrices inversibles IV1 Définition Definition 41 Matrice inversible Soit A n ( ) On dit que A est inversible ssi il existe une matrice B telle que AB = I n et BA = I n Dans ce cas, B est unique : on l appelle l inverse de A et on la note B = A 1 En effet, si deux matrices B et C vérifient AB = I n = BA et AC = I n = CA, alors B = BI n = BAC = (BA)C = I n C = C donc B = C L ensemble des matrices inversibles d ordre n est noté GL n ( ) Les matrices inversibles permettent de «simplifier» les calculs Par exemple, de façon générale AB = AC ne permet pas, avec des matrices, de déduire que B = C Considérez par exemple A = B = C =

9 IV Matrices inversibles 9 Mais ça, c est parce que A n est pas inversible! En effet, si A est inversible et que AB = AC, alors A 1 AB = A 1 AC (en multipliant à gauche par A 1 ) et donc I n B = I n C, soit B = C La question essentielle maintenant est d établir un critère permettant de savoir si une matrice est inversible Il en existe plusieurs, mais aucun n est vriament «simple» IV2 Les cas les plus simples Dans le cas des matrices diagonales, on répondre directement : Propriété 42 Cas des matrices diagonale Une matrice diagonale est inversible ssi ses coefficients diagonaux sont non nuls On a alors 1/d /d D 1 = /d n Propriété 43 Critère de non inversibilité Soit M une matrice carrée S il existe une matrice non nulle N telle que M N = O ou N M = O alors M n est pas inversible Dém Par l absurde : si M est inversible, alors M N = 0 implique M 1 M N = 0 donc N = 0 ce qui est exclu par hypothèse Remarquez que N peut être de taille quelconque On peut ainsi facilement voir que certaines matrices ne sont pas inversibles Par exemple n est pas inversible car = 0 et 1 non nulle D ailleurs toute matrice dont une colonne est proportionnelle à une autre n est pas inversible (exercice : prouvez-le) Propriété 44 Produit de deux matrices inversibles Soit A et B deux matrices inversibles d ordre n Alors AB est inversible et (AB) 1 = B 1 A 1 Dém En effet, si on pose C = B 1 A 1 alors on constate que (AB)C = ABB 1 A 1 = I n et C(AB)C = B 1 A 1 AB = I n

10 IV Matrices inversibles 10 ce qui prouve le résultat Propriété 45 Transposée d une matrice inversible Soit A une matrice inversible d ordre n Alors t A est inversible et ( t A) 1 = t A 1 Dém idem que la précédente IV3 Méthode pratique pour déterminer si une matrice est inversible et pour trouver son inverse Le théorème suivant est très important pour la pratique des calculs Théorème 46 La matrice carrée A est inversible ssi pour toute matrice B, le système AX = B est un système de Cramer Dém D abord si A est inversible, alors le système AX = B a pour unique solution X = A 1 B Donc il est bien de Cramer Étudions la réciproque Pour cela, on fabrique l inverse de A à partir des matrices colonnes C i solutions des systèmes AX = E i Corollaire 47 Cas des matrices triangulaires Une matrice triangulaire est inversible ssi ses coefficients diagonaux sont non nuls Dém On a vu dans le cours sur les systèmes d équations linéaires qu un système triangulaires est de Cramer ssi ses coefficients diagonaux sont non nuls

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