RE SOLUTIONS CHAPITRE 4

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1 Chapitre 4 Matrice inverse 0-05-RE SOUTIONS CHAPITRE 4 EXERCICES 4 a) b) c) ª 0 ª 0 ª ( ) 0 On a donc A = ª 0 0 a matrice n est pas inversible puisque la deuxième ligne s annule à gauche de la matrice augmentée ª ª ª ª ª ( 5) ( 5) On a donc A 7 5 = = d) ª ª ª ª ( ) ( ) On a donc A = 0 Pour s assurer que ces deux matrices sont inverse l une de l autre, il faut vérifier que A A = I = a matrice inverse étant connue, il suffit de multiplier la matrice des constantes par la matrice inverse pour trouver la solution du système d équations linéaires Ce qui donne : a) = 5 a solution est donc (; ; 4) 4 b) = 8 4 a solution est donc (7; 8; )

2 Chapitre 4 Matrice inverse 0 a) Il faut d abord trouver la matrice inverse On obtient : 0 0 Il faut maintenant multiplier la matrice des constantes par la matrice inverse pour trouver la solution du système d équations linéaires Ce qui donne : = a solution est donc (; 7; ) b) a matrice inverse est D où : a solution est (; 4; 5) = a) det A = 0, la matrice est inversible a matrice adjointe est adj A = et l inverse est : A = = b) det B=, la matrice est inversible a matrice adjointe est adj B = et l inverse est : B == 8 4 = a) a matrice inverse a été trouvée en 4 a e produit de la matrice colonne des constantes par la matrice inverse donne : A X = = a solution est (; 5; 6) 6 b) a matrice inverse a été trouvée en 4 b e produit de la matrice colonne des constantes par la matrice inverse donne : B X = 4 = 4 9 a solution est (6; ; ) a) det A =, la méthode de l inverse est utilisable inverse est Par le produit = On trouve (5; ; ) 4 5 b) det A =, la méthode de l inverse est utilisable inverse est Par le produit = On trouve (8; 9; )

3 Chapitre 4 Matrice inverse c) det A = 0, la méthode de l inverse n est pas utilisable Par la méthode de Gauss-Jordan, on trouve : ª ª ª 0 9 ª es solutions sont {(x; y; z) x = (74 + 5s)/; y = ( + 9s)/; z = s} d) det A = 0, la méthode de l inverse n est pas utilisable Par la méthode de Gauss-Jordan, on trouve : ª 5 ª ª e système n a pas de solution 7 a) En calculant le déterminant, on obtient + x Ce déterminant est nul lorsque x = 6 et non nul lorsque x π 6 a matrice est donc inversible lorsque x π 6 et non inversible lorsque x = 6 b) En calculant le déterminant, on obtient x + 4 Ce déterminant est toujours non nul a matrice est donc toujours inversible c) En calculant le déterminant, on obtient 0x 60 e déterminant s annule lorsque x = a matrice n est donc pas inversible lorsque x = a matrice est inversible pour x Œ R\{} d) En calculant le déterminant, on obtient 0x 5x 0 e déterminant s annule à x = / et à x = 4 a matrice n est donc pas inversible lorsque x = / ou x = 4 a matrice est inversible pour x Œ R\{/; 4} x x 8 a) e déterminant est, la matrice est donc toujours inversible a méthode de l adjointe donne : A = x + x b) e déterminant est (x 4), la matrice est inversible lorsque x π 4 a méthode de l adjointe donne : x x + ( x 4) ( x 4) B = 6 x + 8 ( x 4) ( x 4) c) e déterminant est x x + 4, la matrice est toujours inversible a méthode de l adjointe donne : C = x + 4 x 9 Il suffit d effectuer la multiplication des matrices et de vérifier qu on obtient la matrice identité Cela donne : a) = = b) = = x x x 0 a) e produit des matrices donne A B = x + = x x = b) D où l on tire x = 4 es matrices sont alors : A = 5 B = et 5 x 4 6 x 4 x 6x x 5 7 = + + x 6 x + 4 7x = 0 0 x 0 x + x 6x + 9 On trouve alors x = 0 0 es matrices sont A = B = 6 5 et 7 0

4 4 Chapitre 4 Matrice inverse a) det( A ) = = det A b) det[ BAB ( ) ] = det[ BB ( A )] = det[( BB ) A ] = det[ IA ] = det[ A ] = = det A det A c) A adj A = 0 0 det A (det AI ) 0 0 =, d où det(a adj A) = det[(det A) I] = (det A) det (I) = = det A d) det(a adj A) = det(a) det(adj A) = 8, or det(a) =, on a donc det(adj A) = 4 e) det(adj B) = 9 f) det[ A ( B adj A)] = det A det B det( adja) = 4 = 4 g) det( A B ) = det A det( B ) = det A = det B h) det[( A B) ] = det( B A ) = det( B ) det( A ) = = = det A det B 6 a) (A B)(B A)(C t ) t = [A (BB )A]C = [A (I)A]C = [A A]C = IC = C b) [B(A)] t (B ) t (A t ) = [(A t B t )(B t ) (A t ) ] = [A t (A t ) ] = I a) Q Q Q = = , et b) I + Q + Q = = On peut vérifier Puisque I Q 0 0 0, on a alors : 8 ( I Q)( I + Q + Q ) = = c) Q = a Q Q = b c = , 0 0 0, ac On a donc : ( I Q) = I + Q + Q = 0 0 a a b c 0 = ac 0 0 ac + b c En effet, I Q = 0 0 a 0 b c et le produit donne ( I Q)( I + Q + Q ) = a a = b c ac + b c a) Q = Q = Q = Q = ,, et b) ( I Q) =

5 Chapitre 4 Matrice inverse On peut vérifier Puisque I Q = 0 0, on a alors = a c) Q = Q = Q = ,, b c 0 0 ac d e f 0 ae + bf cf 0 0 acf a 0 0 On a donc ( I Q) = ac + b c 0 d + ae + bf + acf e + cf f a En effet, I Q = 0 0 b c 0 d e f et le produit donne : a a b c 0 b + ac c 0 = d e f d + ae + bf + acf e + cf f det A 0 0 det A 5 a) A adj A = 0 0 (det AI ) =, d où det(a adj A) = det[(det A) I] = (det A) M M O M n det I = (det A) n 0 0 det A (det A) b) det(a adj A) = det(a ) det( adj A) = (det A) n n, d où det( adj A) = = (det A) det A EXERCICES 44 a) CA = M = 6 5 C = = et b) CA = M = 6 5 = et C n existe pas c) CA = M = = , et 8 9 C = d) CA = M = = , et C n existe pas e) orsque la matrice n est pas inversible, il y a perte d information lors du codage et le message devient indécodable Ainsi, dans l exercice b, la deuxième ligne, après codage, est fois la première ligne,,,, 5 a) P I = t, ( P I), M, M,, = 06 07,, = , 07, 07 e point invariant est donc,, 06,, n, = 07,, 06,,,,,, b) P I = ,,,, ( P I),,,, = ,, t ,,, M = 06, 07, 0,, M = 054, 0, , 0, 08, 0, 0, 08,, 0, 0,, 047 e point invariant est donc,, 054,, 0,,

6 6 Chapitre 4 Matrice inverse,,,,,, c) P I = ,,,, ( P I),,,, = t ,,, , 0, 06, M = M 0, 07, 08, 0, 04, 04,, = 04, 09, 0, 0, 0, 06, 058, 04, 0, 06, 0, 04, 04, e point invariant est donc 058, 058, 058, 6 a) a matrice de transition est : P = , 0 05, et la matrice Q = 0 0, 5 05, 0 05, 05, 0 b) e nombre moyen de passages est donné par la somme des puissances de la matrice Q, soit I + Q + Q + Q + C est une somme infinie, mais la matrice est nilpotente de degré infini et cette somme infinie est également la matrice (I Q) Nous allons donc plutôt trouver cette matrice inverse,, On a alors I Q = , = , 05 Par la méthode de l adjointe, on obtient : N = I Q = 0, 5 = 0, 5 4 ( ) = 0, 5 = 075, 05, 4 05, 05, Ainsi, si la souris part du compartiment B, elle passera en moyenne, fois par B et 0,67 par C avant d être prisonnière On interprète la deuxième ligne en procédant de la même façon c) information est donnée en faisant la somme des éléments de chacune des lignes, on l obtient par le produit suivant : N ( I Q) = = = = Cela signifie que si on place la souris initialement dans une cellule non absorbante, il y aura en moyenne deux changements d état avant l absorption et ce nombre moyen est le même, que la souris soit placée initialement dans la cellule B ou la cellule C d) Cette information est donnée par le produit NR, soit :,,, N R = ( I Q) 05 =, 05, = 5 05, = 05 5 Ce qui confirme que la souris se retrouvera inévitablement prisonnière, peu importe dans quelle cellule elle sera initialement placée 7 a) Q = 05, 0, 04, 04,,,,, b) On trouve I Q = 05 0 ( I Q) =,, et 04 06, 88, 7 Si l état initial est B, le système sera, en moyenne,,77 fois à l état B avant l absorption et 0,909 fois à l état C avant l absorption Si l état initial est C, le système sera, en moyenne,,88 fois à l état B avant l absorption et,7 fois à l état C avant l absorption c) e produit donne,,, 66, 88, 7 = 4, 09 Par conséquent, si l état initial est B, il y aura en moyenne,66 changements avant l absorption Si l état initial est C, il y aura en moyenne 4,09 changements avant l absorption d) e produit NR donne,, 0,, 88, 7 0, = Par conséquent, si l état initial est B, la probabilité que le système soit absorbé est Si l état initial est C, la probabilité que le système soit absorbé est 8 a) P = 0, 0 07, P I P I =, , =, 07 0, 0, t 0, 04, 04,, 0, 06, 04,, ( ) 0, 0 6 0, 5, 0, 05, 0, 0, 05, 07, 07, 04, 07,

7 Chapitre 4 Matrice inverse 7 M = M 0,,, 0, 0 6 0, 5, = 05, 4, 05, 07, 04, 07, 099, 04, 0, 06, 0, 05, 04, e point invariant est donc 099, 099, 099, b) P = 0, 05, 04, P I P I =, 09 05, 04, =, 09 04, 0, t,,,,,,,, ( ) 05, 08, 06,, 0, 06, 0, 0, 06, 09, 04, 04, 09, M = M 048,, 4, 05, 08, 06,, = 069,, 0, 04, 04, 09, 69, 05, 0, 048, 069, 05, e point invariant est donc 69, 69, 69,,,,,,, 9 a) I Q = ,,, I Q,,, = et ( ),,, , 06 0, 99, 8, 0, 5 0, b) ( I Q) D = 0, 5, 44 0, = 0, 06 0, 99, Il faut produire 00 unités par usine, 0, 5 0, ( I Q) D = 0, 5, 44 0, = 0, 06 0, 99, Il faut produire 0 unités à l usine U, 60 unités à l usine U, 50 unités à l usine U 090, 05, 00, 60 9 c) ( I Q ) P,,, = =, 00, , 00 6 a demande externe était de 9 unités pour les produits de l usine U, 4 unités pour les produits de l usine U, 6 unités pour les produits de l usine U 090, 05, 00, 00 4 ( I Q) P,,, = =, 00, , 00 4 a demande externe était de 4 unités pour les produits de l usine U, 64 unités pour les produits de l usine U, 4 unités pour les produits de l usine U ( unité vaut millier de dollars) 0 a) Q = 04, 0, 0, 0, b) On trouve,,,, I Q = 06 0 ( I Q),, = et , 556, 667 Si l état initial est C, le système sera, en moyenne,,944 fois à l état C avant l absorption et 0,8 fois à l état D avant l absorption Si l état initial est D, le système sera, en moyenne, 0,556 fois à l état C avant l absorption et,667 fois à l état D avant l absorption c) e produit donne, 944 0, 8, 777 0, 556, 667 = Par conséquent, si l état initial est C, il y aura en moyenne,777, changements avant l absorption Si l état initial est D, il y aura en moyenne, changements avant l absorption d) e produit NR donne,, 0, 0, 0, 69 0, 6 0, 556, 667 0, 0, = 0, 6 0, 89 Par conséquent, si l état initial est C, la probabilité que le système soit absorbé en A est 6,9% et la probabilité que le système soit absorbé en B est 6,% a probabilité que le système soit absorbé lorsque l état initial est C est la somme de ces probabilités, soit 6,9% +

8 8 Chapitre 4 Matrice inverse 6,% = 00% Si l état initial est D, la probabilité que le système soit absorbé en A est 6,% et la probabilité que le système soit absorbé en B est 8,9% a probabilité que le système soit absorbé lorsque l état initial est D est la somme de ces probabilités, soit 6,% + 8,9% = 00%,, e produit NR = 0, 6 0, 89 = es éléments de la matrice colonne sont la somme des lignes de la matrice NR Soit, pour chaque état non absorbant, la probabilité que le système soit absorbé Ce qui confirme que: quel que soit l état non absorbant initial, le système sera absorbé C C C C4 C5 C C a) a matrice de transition est C 05, 05, 0 05, 0, 5 D où Q = 0 0, 5 05, C 0 0 0, 5 0 0, 5 05, 0 05, 05, 05, 0 4 C 0 0 0, 5 05, 0 5,, b) On trouve I Q = ,, et ( I Q) =,, 666, 05, ,, Si la souris est initialement dans le compartiment C, elle passera en moyenne fois par le compartiment C, fois par le compartiment C 4 et fois par le compartiment C 5 avant l emprisonnement Si la souris est initialement dans le compartiment C 4, elle passera en moyenne fois par le compartiment C,, fois par le compartiment C 4 et,666 fois par le compartiment C 5 avant l emprisonnement Si la souris est initialement dans le compartiment C 5, elle passera en moyenne fois par le compartiment C,,666 fois par le compartiment C 4 et, fois par le compartiment C 5 avant l emprisonnement 4 c) e produit donne ( I Q) =,, = 666,, 6 Par conséquent, si la souris est initialement dans le compartiment C, il y aura en moyenne 4 changements avant l emprisonnement Si la souris est initialement dans le compartiment C 4, il y aura en moyenne 6 changements avant l emprisonnement, et si la souris est initialement dans le compartiment C 5, il y aura en moyenne 6 changements avant l emprisonnement 05, 05, 05, 05, 05, 05, d) e produit NR donne ( I Q) 0 0 =,, , 05, 0 0 = 666,, , 05, Par conséquent, quel que soit le compartiment dans lequel la souris est placée au départ, il y a 50% de chances qu elle soit emprisonnée dans le compartiment C et 50% de chances qu elle soit emprisonnée dans le compartiment C C C C C C 4 5 C C a) a matrice de transition est C 05, 05, 0 05, 0, 5, d où Q = 05, 0 05, 05, C 0 0 0, 5 0 0, 5 0 0, 5 0 0, , 5 0, 5 0 C 0 0 0, 5 05, 0 5

9 Chapitre 4 Matrice inverse ,,, b) On trouve I Q = et ( I Q) 4 = 0, 0 5, 0 5 4,, 666 0, 0 5, 0 5 4, 666, Si la souris est initialement dans le compartiment C, elle passera en moyenne fois par le compartiment C, 4 fois par le compartiment C, fois par le compartiment C 4 et fois par le compartiment C 5 avant l emprisonnement Si la souris est initialement dans le compartiment C, elle passera en moyenne fois par le compartiment C, 4 fois par le compartiment C, fois par le compartiment C 4 et fois par le compartiment C 5 avant l emprisonnement Si la souris est initialement dans le compartiment C 4, elle passera en moyenne fois par le compartiment C, 4 fois par le compartiment C,, fois par le compartiment C 4 et,666 fois par le compartiment C 5 avant l emprisonnement Si la souris est initialement dans le compartiment C 5, elle passera en moyenne fois par le compartiment C, 4 fois par le compartiment C,,666 fois par le compartiment C 4 et, fois par le compartiment C 5 avant l emprisonnement 4 0 c) e produit donne ( I Q) 4 9 = 4,, 666 = 4, 666, Par conséquent, si la souris est initialement dans le compartiment C, il y aura en moyenne 0 changements avant l absorption Si la souris est initialement dans le compartiment C, il y aura en moyenne 9 changements avant l absorption Si la souris est initialement dans le compartiment C 4, il y aura en moyenne changements avant l absorption Si la souris est initialement dans le compartiment C 5, il y aura en moyenne changements avant l absorption 0 4 0,, d) e produit NR donne ( I Q) = 4,, = 0 4, 666, 0 Quel que soit le compartiment dans lequel la souris sera placée au départ, elle sera emprisonnée en C Notons C 0, la position de départ es positions auxquelles on peut avoir accès sont C, C, C 4, et C 6 En effet, si on arrive en C, on passe directement en C 4 et si on arrive en C 5, on passe directement en C Il faut tenir compte de cela dans l établissement des probabilités a matrice de transition est la suivante : C6 C4 C C C0 C6 C4 C C C / 0 / / / 0 0 On a alors ( I Q ) = / / / / / et ( I Q) = e nombre moyen de coups est donné par la matrice = = , 75, 75, 45, e nombre moyen de coups est 4,5 coups 050, 065, 065, 040, 4 a) a matrice du modèle fermé est Q = 05, 05, 00, 05, 00, 005, 00, 00, 05, 05, 005, 05, b) e coût des produits agricoles utilisés pour produire $ de biens industriels est de 0,5 $

10 40 Chapitre 4 Matrice inverse c) a matrice est I Q 050, 065, 065, 040,,,,, = , 00, ,, 00, 05, 05, , En résolvant, on trouve 050, 065, 065, 0, , 7 0, ,, 00, , ª, 00, ,, , , 05, 05, 005 0, , 7t a matrice production est donc 0, 954t 0, 55t t d) Si la valeur des biens du secteur industriel est de $, la valeur des biens du secteur S 0 est de $, celle des produits du secteur S est $ et celle des produits du secteur S est $ 5 Notons F0, la position de départ, c est-à-dire avant de procéder au premier achat Il y a alors 7 états numérotés de 0 à 6 Si le client possède r figurines, la probabilité d avoir un double à l achat suivant, donc de rester à l état r, est r/6 a probabilité d obtenir une nouvelle figurine, donc de passer à l état r +, est ( r/6) a matrice de transition est la suivante : On a alors : F6 F5 F4 F F F F0 F F5 6 / 56 / F4 0 / 6 4/ F 0 0 / 6 / F / 6 / F / 6 6 / 0 F / I Q = et ( I Q) = 6 5, ,, 0 6 5,, D où = 6 5, 0 0, 5 6 5,, 0, 7 6 5,, 4, 7 Pour passer de l état F 0 à l état F 6, il faut donc en moyenne 4,7 achats 6 a) Pour construire la matrice de consommation, il faut diviser chacune des entrées du tableau par la production totale de la colonne de cette entrée On a alors : 0, 055 0, , , Q = 0 0, , , , , , , 09 0, , , , 08668

11 Chapitre 4 Matrice inverse 4 b), , , , 0784,,,, ( I Q) t = , 007 0, 08760, , , , , 00854, 0900 c) a demande externe est donnée par : 0, , , , , , 8 D = ( I Q) P = 0, , 909 0, 00876, ,9 = 9,7, , , 804, , 6 98, 0, , , , ,9 844,9 d) Si l activité économique connaît un accroissement de %, la demande externe devrait être : 995, 8 55, D =, = 65,, 98,0 446,0 844,9 4 06, e) Si l activité économique connaît un accroissement de %, la matrice production devrait être :, , , , , 756, P = ( I Q) D = 0, 00004, , 000 0, , 7 = 465, 0 0, 007 0, 08760, , , , 9 0, , , 00854, , 4 755,4

12 4 Chapitre 4 Matrice inverse