VI CALCUL MATRICIEL. Une matrice à n lignes et p colonnes est un tableau d éléments d un corps K comportant n lignes et p colonnes.

Transcription

1 VI CCU TRICIE. Défiiios Ue mrice à liges e p coloes es u leu d élémes d u corps K compor liges e p coloes. O oe l éléme d ue mrice siué sur l lige i e l coloe j. mrice s écri : O p p ou ( i j p ou (, p O di que es de form (, p, ou de ype (, p Si p, es ue mrice coloe Si, es ue mrice lige Si p, es ue mrice crrée d ordre es élémes, K, forme l digole priciple de Eglié : Deux mrices e B so égles si elles so de même for e pour ou i e ou j rices priculières : Soi (, ue mrice crrée d ordre : Si 0 pour i > j, lors es rigulire supérieure Si 0 pour i < j, lors es rigulire iférieure Si 0 pour i j, lors es digole Si 0 pour i j e pour i j. lors es l mrice uié, oée I VI -

2 2. Opérios. ddiio Cosidéros deux mrices ( m, : p O ( p e p B O ( p O peu défiir l somme + B do le résul es ue mrice de même form ( m, : B C ( c + où c + Remrque : l opério + B pour deux mrices e B d ordres différes es ps défiie Propriéés : Commuivié : + B B + Eléme eure : + O Symérique : si (, lors ( ssociivié : ( + B + C + ( B + C + B + C. uliplicio pr u sclire Soi λ u omre réel ou complexe. muliplicio d ue mrice pr λ es ue mrice de même ordre oeue e mulipli chque éléme de pr λ : λ. ( d où d λ. Propriéés : ( λ + µ λ + µ λ ( + B λ + λ B λ ( µ ( λ µ λ µ ( λ ( λ 0 O ( Remrque : loi exere produi pr u sclire, joie à l loi somme défii ue srucure d espce vecoriel VI - 2

3 c. Produi de mrices Soie deux mrice e B respeciveme d ordre ( m, e ( q, p. : e produi. B es défii que si q. e résul du produi mriciel de ( pr B (, p es ue mrice ( m, p mrice C ( c p issue du produi. B es lors défiie pr :. B C ( c p où c i j + i22 j + K + ij c correspod u "produi sclire" de l ième lige de pr l jème coloe de B k ik kj Coséqueces e produi de ( m, pr ue mrice coloe (, es ue mrice coloe ( e produi d ue mrice lige (, pr ue mrice (, p es ue mrice lige (, p e produi d ue mrice lige (, pr ue mrice coloe (, es ue mrice (,, c'es-à-dire u omre réel Propriéés : Disriuivié : ssociivié :.( B + C. B +. C ( + B. C C. + B. C.( B. C (. B. C. B. C ( λ. B.( λ B λ (. B λ. B Eléme eure :. I I. Eléme ul :. O O. O is :. B B. e géérl. B 0 erîe ps écessireme 0 ou B 0. B C. erîe ps écessireme B C d. Trsposiio Défiiio : rsposée d ue mrice de form (, p es l mrice de form ( p, oée, de erme géérl, el que : i j i {, K, p}, j {, K, } : ji VI - 3

4 Elle es doc oeue e permu les liges vec les coloes de même idice : ( ( ji Propriéés : ( ( λ λ ( + B + B (. B B. Défiiio : Ue mrice crrée es - symérique si : α c β d c d γ - isymérique si : α c β d c d γ 3. Déermi. Géérliés Permuios : O ppelle permuios de omres eiers,2,3,..., pris ds leur esemle, ous les groupemes différes que l o peu cosiuer e rge ces omres les us à l suie des ures (..., , ec.. e omre ol de permuios es :!.2. K ( Exemple : Pour rois omre,, 2 e 3, 3! 6 permuios so possiles Iversios : Il y iversio ds ue permuio doée si u eier plus grd précède u plus pei. Selo que le omre ol d iversios ds u groupeme doé es pir ou impir, o di que l permuio es de clsse pire ou de clsse impire Exemple :, e 32 so de clsse pire VI - 4

5 . Déermi d ue mrice crrée Défiiio Soi l mrice crrée d ordre : Cosidéros le produi α K formé de l mière suive : k, k2kk k 2k2 k es idices k, k, 2 Kk so l ue des! permuios de l esemle O,2,K. Ceci correspod à choisir ds chque lige u éléme e u seul, les élémes reeus ppre oligoireme à des coloes différees k k 2 Kk α + si l permuio k, k, 2 Kk es de clsse pire, - si l permuio k, k, 2 Kk es de clsse impire O ppelle déermi de l mrice le sclire : de( α l k, k2kk k 2k2 K k où l sommio es éedue ux! permuios,2,k. O di que ce déermi es d ordre. k, k, 2 Kk de l esemle des eiers Exemples 2 rice crrée d ordre 2 : rice crrée d ordre 3 : ( ( ieurs : c. ieurs e cofceurs O ppelle mieur de l éléme d u déermi d ordre le déermi d ordre oeu e supprim l lige i e l coloe j du déermi iiil, ss chger l ordre des ures rgées VI - 5

6 Exemple : e mieur de l éléme du déermi d ordre 3, es : Cofceurs O ppelle cofceur de l éléme, correspod à, le omre : ( i+ j 2+ 3 Pr exemple ( ( Développeme de plce Ds le cs priculier où 3, o remrque que : Théorème : vleur d u déermi d ordre es l somme des produis deux à deux des élémes d ue lige (ou coloe de leurs cofceurs. i j i j + i2 + 2 j i j i + + j i j j i d. Propriéés Si ous les élémes d ue lige (ou coloe d ue mrice crrée so uls, lors le déermi es ul vleur d u déermi e chge ps si o permue les liges e les coloes : Si o permue deux liges (ou deux coloes, le déermi chge de sige Si deux liges (ou deux coloes so ideiques, le déermi es ul VI - 6

7 Si ous les élémes d ue même lige (ou même coloe so mulipliés pr u sclire k, le déermi es muliplié pr k Coséquece : : λ λ, e e priculier : ( Si chque éléme d ue même lige (ou coloe es composé d ue somme de deux élémes, le déermi peu s exprimer sous l forme de deux déermis Si e B so deux mrices crrées d ordre, lors : B B B Théorème : U déermi rese ichgé si o joue à ue lige (ou coloe, ue ou plusieurs liges (ou coloes quelcoques mulipliées pr u sclire, ou plus géérleme, ue comiiso liéire des ures liges (coloes e. Clcul de déermis Il exise différees mières de clculer le déermi d ue mrice : - méhode de plce : c es l méhode clssique, direce, elle qu elle éé exposée ds le prgrphe précéde - méhode des zéros : e uilis les propriéés éocées précédemme, cee méhode cosise à fire pprîre ds u déermi d ordre, zéros ds ue même lige ou coloe : o se rmèe lors u clcul d u déermi d ordre iférieur - méhode de Srrus : Elle s pplique uiqueme ux déermis d ordre 3. e mécisme cosise à djoidre les deux premières coloes du déermi pour clculer l somme des 6 digoles e comp posiiveme celles descedes, e égiveme celles moes. VI - 7

8 4. rice iverse. Défiiio Défiiio : O ppelle mrice iverse d ue mrice crrée d ordre, l mrice, lorsqu elle exise, oée défiie pr l relio :.. I Remrque : le produi de deux mrices es iversile : ( B B. rice djoie Soi ( l mrice crrée d ordre e les cofceurs des. Pr défiiio o ppelle mrice djoie de l mrice l mrice oée dj ( ou elle que : *, dj( * O ( Clculer l mrice djoie de l mrice cosise à effecuer successiveme les opérios suives : - Ecrire l mrice rsposée coloes de même idice de l mrice (permuio des liges vec les - remplcer les élémes ji de pr les cofceurs ji (comrice c. Clcul d ue mrice iverse Pour oeir, il suffi d effecuer le clcul suiv : dj( ( O peu remrquer que e clcul de l mrice iverse de de ses que si 0 VI - 8