Matrices. 3 Matrice d une application linéaire. On fixe pour tout le chapitre un corps K.

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1 Unversté Claude Bernard Lyon 1 L1 de Mathématques : Math. II Algèbre (cursus PMI Année Matrces I On fxe pour tout le chaptre un corps K. Matrce d une applcaton lnéare 1 L espace des matrces [...] 2 Matrce d un vecteur Défnton. Sot E un espace vectorel, e = (e 1,..., e n une base de E. Pour v E, on appelle matrce de v dans e ou colonne des coordonnées de v dans e la matrce-colonne Mat e (v = (x j 1 j n M n,1 (K K n défne par : v = x j e j. Lemme. Avec ces notatons, l applcaton Mat e : E M n,1 (K K n est un somorphsme. Démonstraton. Consdérons l applcaton combnason lnéare qu, à (x j 1 j n, assoce n x je j : cette applcaton est lnéare (vérfer! et bjectve car e est une base. Eh ben, Mat e en est la bjecton récproque. 3 Matrce d une applcaton lnéare a Constructon de la matrce Défnton. Soent E et F deux espaces vectorels, e = (e 1,,e n et f = (f 1,..., f m des bases respectves de ces espaces et ϕ L(E, F une applcaton lnéare. On appelle matrce de ϕ dans les bases e et f et on note Mat e,f (ϕ la matrce A = (a j 1 m défne ans : la j-ème colonne de A est la colonne des coordonnées de l mage du j-ème vecteur. Plus précsément : ( j {1,..., n}, Mat f ϕ(ej a 1j m =.,.e. : ϕ(e j = a j f. Exemple. Pour n N, on note I n la matrce n n dont le coeffcent d ndce (, j vaut 1 lorsque = j et 0 snon. Sot de plus E un espace de dmenson n et e une base de E, on a : Mat e,e (Id E = I n. b Un somorphsme Proposton. Soent E et F deux espaces vectorels, e = (e 1,,e n et f = (f 1,..., f m des bases respectves de ces espaces. L applcaton Mat e,f : L(E, F M m,n (K est un somorphsme. L dée, c est qu une applcaton lnéare est détermnée par l mage d une base et qu une famlle de n vecteurs est détermnée par n colonnes de coordonnées, que l on peut regrouper dans une matrce. Démonstraton. La lnéarté de l applcaton Mat e,f se vérfe avec quelque lourdeur mas sans dffcultés. Elle est bjectve en vertu des fats suvants : d une part, pour toute matrce A M m,n (K, l exste une unque famlle (w 1,..., w n de F telle que la matrce de w j dans f est la j-ème colonne de A ; d autre part, pour toute famlle (w 1,..., w n de F, l exste une unque applcaton lnéare ϕ L(E, F telle que ϕ(e j = w j pour tout j. Corollare. Pour E et F espaces de dmensons fne, on a : dm L(E, F = dm(e dm(f. a mj =1 1

2 c Produt d une matrce par un vecteur Défnton. Soent m et n deux enters naturels non nuls. Pour A = (a j 1 m et X = (x j 1 j n K m, on défnt le produt AX K m par : n a 1jx j AX =. n a mjx j. M m,n (K Exercce. Avec les notatons de la défnton, l applcaton ϕ A : K n K m, X AX est lnéare. S on munt K n et K m des bases canonques e et f, on a : d Calcul de l mage d un vecteur Mat e,f (ϕ A = A. Proposton. La matrce de l mage d un vecteur est le produt de la matrce par la matrce du vecteur. En symboles, soent E et F deux espaces vectorels, e et f des bases respectves de ces espaces, ϕ L(E, F une applcaton lnéare et A = Mat e,f (ϕ. Soent v dans E, X = Mat e (v et Y = Mat f ( ϕ(v. Alors : Mat f ( ϕ(v = Mate,f (ϕ Mat e (v,.e. : Y = AX. Démonstraton. S v = n x je j, on a par lnéarté : ( ϕ(v = ϕ x j e j = x j ϕ(e j = m x j =1 a j f = m x j a j f = =1 m ( a j x j f. =1 4 Composée et produt a Un calcul Soent D, E et F tros espaces vectorels de dmenson fne, soent d = (d k 1 k p, e = (e 1 n et f = (f j 1 j m des bases respectves de ces espaces, et soent ϕ L(E, F et ψ L(D, E deux applcatons lnéares. On note A = (a j 1 m = Mat e,f (ϕ et B = (b jk 1 k p = Mat d,e (ψ. On cherche la matrce de ϕ ψ dans les bases d et f. Pour cela, on fxe k {1,..., p} et on calcule ϕ ψ(d k : ( ϕ ψ(d k = ϕ b jk e j = m b jk ϕ(e j = b jk =1 a j f = m a j b jk f = =1 m ( a j b jk f. =1 b Produt de matrces Le calcul précédent rend naturelle la défnton suvante. Défnton. Soent m, n, p N ; A = (a j 1 m = M m,n (K et B = (b jk M n,p (K. 1 k p On appelle produt de A par B la matrce AB = (c k 1 m M m,p (K défne par : 1 k p (, k {1,..., m} {1,..., p}, c k = a j b jk. 2

3 Mse en garde. Étant données A M m,n(k et B M r,p (K, le produt AB n est défn que s r = n : le nombre de lgnes de A dot être égal au nombre de colonnes de B. Même s r = n, le produt BA n a de sens que s p = m. Même s r = n et p = m, les produts AB et BA ne sont de même talle que s m = n = r = p (deux matrces carrées de même talle. Même s m = n = r = p, les produts AB et BA sont en général dfférents. Exemple. Pour A = ( et B = ( , on a : AB = Exemple. Pour A M n (K, on a : I m A = A = AI n. ( ( = BA. Proposton. Soent m, n, p, q N ; A, A M m,n (K ; B, B M n,p (K ; C M p,q (K ; λ, λ K. Alors : ( (ABC = A(BC ; ( (λa + λ A B = λab + λ A B et A(λB + λ B = λab + λ AB. Démonstraton. Lassée à la patence du lecteur. c Recollement des morceaux Proposton (Matrce de la composée. La matrce de la composée est la composée des matrces. En symboles, s D (resp. E, F a pour base d (resp. e, f et ϕ L(E, F, ψ L(D, E, on a : Démonstraton. Déjà fate! 5 Endomorphsmes et matrces carrées Mat d,f (ϕ ψ = Mat e,f (ϕ Mat d,e (ψ. a Un nouvel anneau Lorsque les deux ndces sont égaux, on note : M n (K = M n,n (K. Corollare. La somme et le produt de matrces font de M n (K un anneau. (Le neutre de la somme est la matrce nulle 0, le neutre du produt est l dentté I n. Exemple (Calcul ntéressant!. Sachant que le parenthésage n mporte pas, on calcule : ( ( ( ( ( = b Inversblté Défnton. Soent n N et P M n (K. On dt que P est nversble s l exste Q M n (K telle que P Q = I n = QP. On note GL n (K l ensemble 1 des matrces nversbles de M n (K. Proposton. Soent E et F deux espaces vectorels de dmensons n et m et soent e et f des bases respectves de ces espaces, ϕ L(E, F une applcaton lnéare et A = Mat e,f (ϕ. Alors, ϕ est bjectve s et seulement s A est nversble. Cela ne peut se produre que s m = n. Démonstraton. Sot ψ : F E une applcaton lnéare et B = Mat f,e (ψ sa matrce. On a vu les relatons : Mat f (ϕ ψ = AB et, symétrquement : Mat e (ψ ϕ = BA. Comme Mat f est un somorphsme de L(F, F dans M m (K et que Mat f (Id F = I m, on a : ϕ ψ = Id F s et seulement s AB = I m. De même : ψ ϕ = Id E s et seulement s BA = I n. Ans, ψ est l nverse de ϕ s et seulement s B est l nverse de A. 1. En fat, c est un groupe. 3

4 II Changement de base 1 Cas des vecteurs a Matrce de changement de base Défnton. Sot E un espace vectorel ayant pour bases e = (e 1,..., e n et e = (e 1,..., e n et sot P e,e la matrce de passage de e à e. Remarque. Par défnton de ces matrces, on a : P e,e = mat e,e(id E. (Attenton à l nverson de l ordre des bases! Lemme. Avec les notatons c-dessus, P e,e est nversble et on a : P e,e = P e,e. Démonstraton. De Id E = Id E Id E, on tre : Mat e,e (Id E = Mat e,e(id E Mat e,e (Id E, pus : I n = P e,e P e,e. En échangeant le rôle des bases, l vent : I n = P e,ep e,e. L observaton suvante sera commode (pas vue en amph. Lemme. Soent E un espace vectorel de dmenson n, e une base de E et P GL n (K. Il exste une unque base e de E telle que P = P e,e. Démonstraton. Consdérons l applcaton lnéare ψ L(E telle que Mat e,e (ψ = P. Comme P est nversble, ψ est un somorphsme : par sute, l mage de la base e est une base e de E. Or, Mat e est un somorphsme de E sur K n qu envoe e sur les colonnes de P. Par sute, on a : P = P e,e. L uncté d une telle base est évdente car la matrce de passage détermne les coordonnées des vecteurs de e dans e. Remarque. Il est amusant de vor que l on joue sur deux nterprétatons de P : comme matrce d une applcaton non trvale dans une base e et comme matrce de l applcaton trvale Id E dans les bases e et e. b Formule de changement de base Proposton. Sot E un espace vectorel ayant pour bases e = (e 1,..., e n et e = (e 1,..., e n et sot P e,e la matrce de passage de e à e. Sot v un vecteur de E et soent X = (x 1 n = Mat e (v et X = (x 1 n = Mat e (v. Alors, on a : Mat e (v = P e,e Mat e (v,.e. : X = P X. Démonstraton. On a : v = n =1 x e = n x j e j et, pour tout j : e j = n =1 p je, avec P e,e = (p j. On remplace : v = x j =1 p j e = =1 p j x je = ( p j x j e. Par uncté de l écrture de v comme combnason lnéare de e, on trouve : x = n p jx j pour tout, ce qu donne : X = P X comme souhaté. 2 Cas des applcatons lnéares Proposton. Sot E (resp. F un espace vectorel ayant pour bases e = (e 1,..., e n et e = (e 1,..., e n (resp. f = (f 1,..., f m et f = (f 1,..., f m. Soent P = P e,e et Q = P f,f les matrces de passage. Sot ϕ L(E, F et soent A = (a j 1 n = Mat e,f (A et A = (a j 1 n = Mat e,f (A. Alors, on a : A = QA P 1. =1 4

5 Démonstraton. On écrt la matrce de ϕ dans les bases e et f en partant de l évdence : ϕ = Id F ϕ = ϕ Id E. On note en ndce la base dans laquelle on va écrre la matrce : E e Id E E e ϕ ϕ ϕ F f F f. Il vent, pusque la matrce de la composée est le produt des matrces : Mat e,f (ϕ = Mat f,f (Id F Mat e,f (ϕ = Mat e,f (ϕ Mat e,e(id E, pus, vu que Mat f,f (Id F = P f,f et Mat e,e(id F = P e,e : QA = AP. Id F III Rang [traté un peu rapdement en amph] 1 Rang d une matrce Défnton. Soent m et n deux enters et A M m,n (K. On note ϕ A l applcaton lnéare ϕ A : K n K m X AX. On appelle noyau de A et on note Ker(A le noyau de ϕ A ; on appelle mage et on note Im(A l mage de ϕ A ; enfn, on appelle rang de A et on note rg(a le rang de ϕ A. Remarque. Le noyau de A est l ensemble des X K n solutons du système AX = 0. L mage est l ensemble des AX lorsque X décrt K n. On vérfe que AX est la combnason lnéare n x jc j des colonnes C j de A. Ans, l mage de A est l espace engendré par les colonnes de A et le rang de A est sa dmenson. Lemme. Sot A M n (K. Alors : A est nversble SSI Ker A = {0} SSI rg(a = n. Démonstraton. On a : rg(a = rg(ϕ A et ϕ A est bjectve s et seulement s A est nversble. 2 Rang d une matrce et d une applcaton lnéare Proposton. Soent E et F deux espaces vectorels, e et f des bases respectves de ces espaces, ϕ L(E, F une applcaton lnéare et A = Mat e,f (ϕ. Alors : l applcaton lnéare Mat e (resp. Mat f est un somorphsme de Ker ϕ sur Ker A (resp. de Im ϕ sur Im A. En partculer, on a : rg ϕ = rg A. ( Démonstraton. Sot v E et X = Mat e (v. Pusque Mat f ϕ(v = AX et que Matf est njectve, on a une équvalence : ϕ(v = 0 s et seulement s AX = 0, c est-à-dre : v Ker ϕ s et seulement s Mat e (v Ker A. D autre part, l mage de ϕ est engendrée par les ϕ(e j ( ( et l mage de A est engendrée par les colonnes de A, qu sont par défnton les Mat f ϕ(ej (. Comme l applcaton Mat f est un somorphsme, elle envoe l mage de ϕ sur l mage de A. (Pourquo? Corollare. Soent A M n (K, P GL n (K et Q GL m (K. Alors : rg(a = rg(q 1 AP. Démonstraton. Soent e et f les bases canonques de E = K n et F = K m. Soent e et f les bases de E et F telles que P = P e,e et Q = P f,f. Par la formule de changement de base, A = Q 1 AP est la matrce de ϕ A dans e et f. Par la proposton précédente, on a donc : rg A = rg ϕ A = rg A. 5

6 3 Verson matrcelle du théorème du rang [non traté] IV Théorème (hors programme. Sot A M m,n (K une matrce. Il exste des matrces nversbles P et Q et un enter r N tels que ( Q 1 Ir 0 AP =. 0 0 De plus, r est le rang de A. Démonstraton. Sot e (resp. f la base canonque de K n (resp. K m, sot (e 1,..., e r une base d un supplémentare de Ker(A et sot (e r+1,..., e n une base de Ker(A. Sot f j = ϕ A(e j pour j entre 1 et r. Par la verson abstrate du théorème du rang, la famlle (f 1,..., f r est une base de Im ϕ A. On la complète en une base f de K m. Par constructon de ces bases, la matrce de ϕ A dans les bases e et f est celle qu apparaît dans le théorème. En posant P = P e,e et Q = P f,f, la formule de changement de base permet alors de conclure. Corollare. Le rang d une matrce est égal au rang de sa transposée. Démonstraton. Exercce nstructf. Systèmes et opératons sur les rangées 1 Étude abstrate des systèmes lnéares On donne m et n enters et un système de m équatons à n nconnues : A M m,n (K et B K m = M m,1 (K. On cherche les X K n = M n,1 (K tels que AX = B. On consdère à nouveau l applcaton ϕ A : K n K m, X AX. a Premère dscusson On dstngue deux cas : 1. sot B / Im ϕ A : alors, le système n a pas de soluton ; 2. sot B Im ϕ A : alors l exste un élément X 1 K n tel que AX 1 = B ; mas alors, on a équvalence : AX = B AX = AX 1 A(X X 1 = 0 X X 1 Ker(A Cela tradut la relaton 2 : X 0 Ker(A, X = X 1 + X 0. SGEASM = SPEASM + SGESSM. On dt que l ensemble des solutons est un espace affne : c est l mage d un sous-espace vectorel (c, Ker(A par une translaton (c, X X + X 1. La stuaton est évdemment rémnscente des équatons dfférentelles lnéares que l on travalle en analyse ces temps-c. Et pour cause : elles sont lnéares! b Deuxème dscusson On dstngue deux cas : 1. sot A est carrée et nversble : alors, pour tout second membre B, l exste une unque soluton : AX = B équvaut à : X = A 1 B ; 2. sot A est carré et non nversble : alors : 2. Où SGEASM = soluton générale de l équaton avec second membre ; SPEASM = soluton partculère de l équaton avec second membre ; SGESSM = soluton générale de l équaton sans second membre. 6

7 s B Im(A (cela exste, l y a strctement plus d une soluton (et même une nfnté dès que le corps K est nfn ; s B / Im(A (cela exste, l n y a aucune soluton ; 3. sot A n est pas carrée (alors elle n est pas nversble : l exste des valeurs de B pour lesquelles le système n admet pas de solutons ou alors l en admet strctement plus d une (et même une nfnté dès que le corps K est nfn. 2 Opératons sur les rangées a Matrces des opératons élémentares Sot p N. On note I p la matrce dentté d ordre p, E (p la matrce p p dont le coeffcent d ndce (, j vaut 1 et les autres 0. On consdère les matrces p p suvantes (D pour dlataton, T pour transvecton, P pour permutaton : 1 p, α K, α 0 1 j p, λ K D (p (α = I 1 α T (p (λ = I p + λ E (p = I p 1 1 ;... λ... 1 (λ en poston (, j ; 1 < j p P (p I 1 = P (p j, = I j I p j 1 (les 1 en (, j et (j,. Exercce. Montrer que ces matrces sont nversbles. Plus précsément : D (p T (p (λ 1 = T (p ( λ ; ( P (p 1 (p = P. (Commencer par p = 2. Exercce. Dans l esprt du calcul ntéressant c-dessus, montrer que l on a : D ( 1T ( 1T j, (1T ( 1 = P. (α 1 = D (p (α 1 ; b Presque-défnton des opératons élémentares On se donne auss une matrce A de talle m n. On note (L 1 m ses lgnes (C j 1 j n ses colonnes. Une opératon typque consste à multpler la -ème lgne de A par α, ce que l on notera : L α L. Exemple (m = n = 2. On peut réalser ces opératons élémentares par des produts matrcels. L 2 αl 2 : ( ( ( 1 0 a b a b =, 0 α c d αc αd L 1 L 1 + λl 2 : ( ( ( 1 λ a b a + λc b + λd =, 0 1 c d c d C 2 αc 2 : ( ( ( a b 1 0 a αb =, c d 0 α c αd C 2 C 2 + λc 1 : ( ( ( a b 1 λ a b + λa =. c d 0 1 c d + λc 7

8 Plus généralement, en multplant à gauche et à drote une matrce par des matrces nversbles, on peut effectuer des opératons élémentares sur les rangées, c est-à-dre les lgnes et les colonnes : multpler une rangée par une constante non nulle ; ajouter à une rangée un multple d une autre (ou, en répétant, une combnason lnéare des autres ; permuter deux rangées. Plus précsément, on peut montrer le lemme suvant. Lemme (Notatons c-dessus. Il y a une correspondance entre opératons élémentares et produt par les matrces précédentes. produt D (m (α A T (m (λ A P (m A A D (n (α A T (n (λ A P (n opératon L α L L L + λ L j L L j C α C C j C j + λ C C C j De plus, ces opératons préservent le rang? (Pourquo au fat? c Applcatons Les technques précédentes jontes à l algorthme du pvot de Gauss permettent de démontrer les résultats suvants (exercces. Proposton. À l ade d opératons élémentares sur les lgnes (les équatons et de permutatons des colonnes (et des nconnues, on peut transformer tout système lnéare AX = B en un système équvalent A X = B de la forme : a 11 x 1 + +a 1r x r +a 1,r+1 x r+1 + a 1n x n = b a rrx r +a r,r+1 x r+1 + a rnx n = b r 0 = b r = b s où X = (x 1,..., x n est une permutaton de X = (x 1,..., x n et a 11 0,..., a rr 0. Ce système est facle à résoudre : s s > r et l un des b est non nul ( > r, l n y a pas de soluton ; snon, pour chaque valeur de (x r+1,..., x n, on trouve successvement x r,..., x 1, c est-àdre une soluton unque du système : l ensemble des solutons est, comme on l a vu au début de cette parte, un espace affne de dmenson n r = dm Ker(A. Pour référence ultéreure, mentonnons un dernère conséquence du pvot de Gauss. Proposton. Sot A une matrce carrée n n. Il exste des transvectons T 1,..., T s, T 1,..., T s et une matrce dagonale D telles que A = T 1 T r DT 1 T r. Démonstraton. Exercce... pas s facle à rédger! 8