MATRICES SYMÉTRIQUES

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1 athématiques L Quelques eercices supplémentaires ATRICES SYÉTRIQUES. atrices smétriques en dimension deu atrices smétriques en dimension trois atrices smétriques en dimension deu Eercice.. Diagonaliser en base orthonormée les matrices smétriques suivantes. 0 i =. ii =. iii 8 =. Corrigé de l eercice.. i Première étape : valeurs propres. Le polnôme caractéristique de est d λi = λ λ = λ = λ + λ = λ λ = λλ. Les deu valeurs propres de sont donc λ = 0 λ =. Deuième étape : vecteurs propres. Posons Vecteurs propres associés à λ = 0. On résout le sstème suivant rappelons que 0 v = 0 : + = 0 v = 0 + = 0 + = 0 Puisque l on doit diagonaliser en base orthonormée, on doit choisir notre vecteur propre de norme. On a v = + = = = =.

2 Posons par eemple v =. Vecteurs propres associés à λ =. On résout le sstème suivant + = v = 0 + = = = = Puisque l on doit diagonaliser en base orthonormée, on doit choisir notre vecteur propre de norme. On a v = + = = = =. Posons par eemple v =. Troisième étape : diagonalisation. Puisque la matrice est smétrique, elle est diagonalisable en base orthonormée. Les vecteurs v v sont deu vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes donc, puisque la matrice est smétrique, ils sont orthogonau entre eu. Puisque l on est en dimension qu ils sont de norme, ils forment donc une base orthonormée de R formée de vecteurs propres. Posons Q = at v, v ; c est une matrice orthogonale donc Q = t Q. Eplicitement, on a Q = Q = t Q = Q λ 0 Q = = 0 λ ii Première étape : valeurs propres. Le polnôme caractéristique de est d λi = λ 8 λ = λ 8 λ 9 = λ + 8λ 9 Le discriminant de ce polnôme est = = 4+ = 00 donc les racines sont λ = = λ = 8 0 = 9. Les deu valeurs propres de sont donc λ = λ = 9. Deuième étape : vecteurs propres. Posons

3 Vecteurs propres associés à λ =. On résout le sstème suivant v = v = 8 = = v =. = = 9 Puisque l on veut diagonaliser en base orthonormée, on doit choisir notre vecteur propre de norme : v = + = 0 = 0 = = 0 Posons par eemple v = 0 0. Vecteurs propres associés à λ = 9. On résout le sstème suivant v = 9 = 9 v 8 = 9 = 9 = = Puisque l on veut diagonaliser en base orthonormée, on doit choisir notre vecteur propre de norme : v = + = 0 = = 0 Posons par eemple v = 0 0. Troisième étape : diagonalisation. Puisque la matrice est smétrique, elle est diagonalisable en base orthonormée. Les vecteurs v v sont deu vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes donc, puisque la matrice est smétrique, ils sont orthogonau entre eu. Puisque l on est en dimension qu ils sont de norme, ils forment donc une base orthonormée de R formée de vecteurs propres. Posons Q = at v, v ; c est une matrice orthogonale donc Q = t Q. Eplicitement, on a Q = Q = t Q = Q λ 0 Q = = 0 λ 0 0 9

4 iii Première étape : valeurs propres. Le polnôme caractéristique de est d λi = λ λ = λ λ 4 = 8 9λ + λ 4 = λ 9λ + 4. Le polnôme X 9X + 4 a pour discriminant = = 8 = donc a deu racines réelles distinctes données par = 9 = = 9 + = 7. Les deu valeurs propres de sont donc λ = λ = 7. Deuième étape : vecteurs propres. Posons Vecteurs propres associés à λ =. On résout le sstème suivant v = + = 4 + = 0 v + = + = 0 = Puisque l on veut diagonaliser en base orthonormée, on doit choisir notre vecteur propre de norme : v = + = = = = Posons par eemple v =. Vecteurs propres associés à λ = 7. On résout le sstème suivant v = 7 + = 7 + = 0 v + = 7 4 = 0 = Puisque l on veut diagonaliser en base orthonormée, on doit choisir notre vecteur propre de norme : v = + = = = = Posons par eemple v =. Troisième étape : diagonalisation. Puisque la matrice est smétrique, elle est diagonalisable en base orthonormée. Les vecteurs v v sont deu vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes donc, puisque la matrice est smétrique, ils sont orthogonau entre eu. Puisque l on est 4

5 en dimension qu ils sont de norme, ils forment donc une base orthonormée de R formée de vecteurs propres. Posons Q = at v, v ; c est une matrice orthogonale donc Q = t Q. Eplicitement, on a Q = Q = t Q = Q λ 0 Q = = 0 λ atrices smétriques en dimension trois Eercice.. Diagonaliser en base orthonormée les matrices smétriques suivantes. i =. ii = Corrigé de l eercice.. i Première étape : valeurs propres. Le polnôme caractéristique de est on développe par rapport à la première ligne λ d λi = λ λ = + λ λ λ + + λ + + λ = λ λ λ + λ = λλ λ + λ + λ = λ λλ + λ = λ λλ + = λ λ + λ + = λ λ Les trois valeurs propres de sont donc λ = λ = 0 λ =. Deuième étape : vecteurs propres. Posons v =. z Vecteurs propres associés à λ = λ = 0. On résout le sstème suivant rappelons que 0 v = z = 0 v = z = z = z = 0

6 Ceci montre que l espace des valeurs propres associées à la valeur propre est de dimension c est un plan d équation + + z = 0. Choisissons un vecteur dans ce plan, par eemple v =,, 0. Puisque l on veut diagonaliser en base orthonormée, on doit calculer v puis on pourra prendre v = v de norme. On a v v = =, donc v =. 0 Cherchons maintenant un deuième vecteur propre qui soit à la fois dans le plan ++z = 0 orthogonal à v ce qui se traduit pas un produit scalaire nul. On a v = z = z = 0 v v = 0 + 0z = 0 = z = v = = Déterminons les valeurs de pour lesquels ce vecteur est de norme : v = + + = = = On prend par eemple v =. Vecteurs propres associés à λ =. On résout le sstème suivant + + z = + + z = 0 L v = v + + z = + z = 0 L + + z = z + z = 0 L + + z = 0 L z = = 0 L L = + = 0 L + L z = = v =. Cherchons les valeurs de pour lesquelles v est de norme : v = + + = = =

7 Prenons par eemple v =. Troisième étape : diagonalisation. La matrice étant smétrique, elle est diagonalisable en base orthonormée. Les trois vecteurs propres v, v v sont de norme sont deu à deu orthogonau. En eff, par construction, v v, puisque v d une part v v d autre part sont associés à des valeurs propres différentes, on a v v v v. La famille v, v, v constitue donc une base orthonormée de R formée de vecteurs propres de. Si on pose Q = at v, v, v, la matrice Q est orthogonale donc Q = t Q. Eplicitement, on a Q = 0 Q = t Q = 0 Q Q = λ λ 0 = λ 0 0 ii Première étape : valeurs propres. Le polnôme caractéristique de est on développe par rapport à la première ligne car il a un zéro λ 0 d λi = λ 0 λ = + λ λ λ λ + 0 = λ λ λ 4 λ 0 = λλ λ 4 4 λ = λλ λ 4 4 = λλ λ 8. Le polnôme X X 8 a pour discriminant = 4 8 = 4 + = donc les racines de ce polnôme sont = On a par conséquent : = = + = 4. d λi = λλ + λ 4. Les trois valeurs propres de sont donc λ =, λ = 4 λ =. Deuième étape : vecteurs propres. Posons v = 7. z

8 Vecteurs propres associés à λ =. On résout le sstème suivant v = v + = + z = + z = z = 0 z = v = = 0 + z = = 0 0. Cherchons les valeurs de pour lesquels v est de norme : v = = = = = On prend par eemple v = 0 Vecteurs propres associés à λ = 4. On résout le sstème suivant. v = 4 v + = 4 + z = 4 + z = 4z = + z = = z = = z v =. Cherchons les valeurs de pour lesquels v est de norme : v = + + = = = = On prend par eemple v =. 8

9 Vecteurs propres associés à λ =. On résout le sstème suivant + = = v = v + z = + z = + z = z = z = = + z = z = = z v =. Cherchons les valeurs de pour lesquels v est de norme : v = + + = = = = On prend par eemple v =. Troisième étape : diagonalisation. La matrice étant smétrique, elle est diagonalisable en base orthonormée. Les trois vecteurs propres v, v v sont de norme sont deu à deu orthogonau. En eff, par construction, v v, puisque v d une part v v d autre part sont associés à des valeurs propres différentes, on a v v v v. La famille v, v, v constitue donc une base orthonormée de R formée de vecteurs propres de. Si on pose Q = at v, v, v, la matrice Q est orthogonale donc Q = t Q. Eplicitement, on a 0 Q = 0 Q = t Q = Q Q = λ λ 0 = λ 0 0 9