Chapitre 4 : Matrices

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1 Lycée Paul Sabatier Classe de Première ES, Spécialité Chapitre 4 : C. Aupérin Télécharger c est tuer l industrie, tuons les tous Thurston Moore Dernière modification : 4 avril 009

2 Table des matières Généralités. Définition particulières Opérations sur les matrices. Égalité Addition et soustraction Multiplication d une matrice par un réel Multiplication de deux matrices Produit d un vecteur-ligne par un vecteur colonne Cas général Inverse d une matrice 5 3. Définition Recherche d une matrice inverse Application aux systèmes linéaires

3 Cours : Généralités. Définition Définition. Soient n et p deux entiers naturels. Une matrice n p est un tableau de nombres réels, appelés coefficients, à n lignes et p colonnes, délimité par deux parenthèses. Remarque : Les matrices sont généralement désignées par des lettres majuscules. Exemples : M = π 0 3 a... a j... a p... A = a i... a ij... a ip... a n... a nj... a np est une matrice 3. Le coefficient de la ème ligne et 3 ème colonne est le nombre 0. On note m 3 = 0. où chaque terme a ij désigne le nombre de la i ème ligne et de la j ème colonne, avec i n et j p, est une matrice n p.. particulières Vecteur-ligne de dimension p : Matrice ne comportant qu une seule ligne et p colonnes Vecteur-colonne de dimension n : Matrice ne comportant qu une seule colonne et n lignes Matrice carrée d ordre n : Lorsque n = p, matrice à n lignes et n colonnes Matrice diagonale : Matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls en dehors de ceux de la diagonale issue du coin en haut à gauche certains termes situés sur la diagonale peuvent être nuls Matrice unité : Matrice diagonale dont tous les coefficients situés sur la diagonale sont égaux à. Matrice nulle : Matrice dont tous les coefficients sont nuls Transposée d une matrice A, notée t A : Matrice dont les colonnes sont les lignes de A. Exemples : est un vecteur-ligne de dimension est un vecteur-ligne de dimension 3

4 6 4 est une matrice carrée d odre est une matrice diagonale d odre est la matrice unité d odre 3. On la note I La transposée de la matrice A = est la matrice t A = Opérations sur les matrices. Égalité Définition. Dire que deux matrices sont égales signifie qu elles ont les mêmes dimensions et les mêmes coefficients aux mêmes emplacement. Exemples : 0.5 = 6 3 mais Exercice.. On pose A = pour lesquelles A = B. 6 x y z 3 et B z. Trouver les valeurs de x, y et z possible. Addition et soustraction Définition 3. Soient A et B deux matrices de dimension n p. La somme de A et B est la matrice de dimension n p, notée A + B, obtenue en ajoutant deux à deux les termes qui ont la même position. La différence de A et B est définie de manière analogue. La matrice opposé de A, notée A, est obtenue en remplaçant chaque terme de A par son opposé. Exemples : On pose A = et B =

5 On a A + B = , A B = et A = Multiplication d une matrice par un réel Définition 4. Soit A une matrice de dimension n p et k un nombre réel. Le produit de la matrice A par le réel k est la matrice de dimension n p, notée ka, obtenue en multipliant chaque terme de A par k. Exemple : Si A = Alors 3A = Propriété. Soient A, Bet C trois matrices de dimension n p, k et k des nombres réels. On a : A + B = B + A A + B + C = A + B + C = A + B + C ka + B = ka + kb A + O = O + A = A où O est la matrice nulle de dimension n p k + k A = ka + k A kk A = kk A Remarques : L addition est commutative c est égalité et associative égalité Soit X une matrice de dimension n p. On a X + A = B X + A A = B A X = B A Exemple : Soit M = 3A + 5B 6B. On a M = 3A B..4 Multiplication de deux matrices.4. Produit d un vecteur-ligne par un vecteur colonne Définition 5. On appelle produit du vecteur-ligne L = l l... l p l p par le vecteur-colonne C = c c. le nombre LC = l l... l p c c. = c p c p 3

6 l c + l c +...l p c p Exemple : = = 3 + 4times = Remarques : Le nombre de colonnes du vecteur-ligne doit être égal au nombre de lignes du vecteur-colonne. Ce produit n est pas commutatif..4. Cas général Définition 6. On appelle produit d une matrice A de dimension n p et d une matrice B de dimension p m la matrice notée AB de dimension n m obtenue de la façon suivante : Le coefficient del la ligne l et de la colonne c de AB est le produit du vecteur-ligne l de A et du vecteur-colonne c de B. Exemples : Une disposition pratique : On a donc = Remarques : AB n est définie que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. La règle concernant les dimensions peut être schématisée ainsi : n, p p, m = n, m Quand les dimensions de deux matrices A et B permettent le calcul de AB, elles ne permettent pas forcément le calcul de BA Dans les cas où cela est possible A et B matrices carrées, en général, AB BA Si A est une matrice carrée,on note A la matrice AA Exemples : = mais n a pas de sens

7 = 6 et 3 0 = = et = 0 5 Propriétés Propriété. Soient A, B, C trois matrices permettant les calculs indiqués et kun réel. On a : ABC = ABC = ABC AB + C = AB + AC A + BC = AC + BC kab = kab = AkB = AkB = kab Remarques : Si A est une matrice carrée, AAA est notée A 3 En général AB BA la multiplication n est pas commutative Si A est une matrice carrée d ordre n et I n la matrice unité d ordre n alors AI n = I n A = A ce qui explique le nom de I n. 3 Inverse d une matrice 3. Définition On vient de faire remarquer que Si A est une matrice carrée d ordre n et I n la matrice unité d ordre n alors AI n = I n A = A ce qui explique le nom de I n. Dans R, l inverse d un nombre a non nul est le nombre b tel que : ab = ba =. On a b = a = a. Définition. Soit A une matrice carrée d ordre n. et I n la matrice unité d ordre n. On dit que la matrice B est l inverse de A lorsque l on a : AB = I n. Si B existe, on dit que la matrice A est inversible et on note A sa matrice inverse. Remarques : AB = I n BA = I n Si la matrice B est l inverse de la matrice A, alors A est l inverse de B AA = A A = I n Une matrice n admet par forcément d inverse. Si une matrice est inversible, alors son inverse est unique. 4 Exemple : Vérifier que les matrices A = et B = 8 de l autre sont l inverse l une 5

8 3. Recherche d une matrice inverse 3 Exemple : Soit M =. On cherche une matrice N telle que MN = I. a b 3 a b 3a + c 3b + d On pose N =. On a alors MN = = c d c d a c b d 3a + c = 3a + c 3b + d 0 3b + d = 0 Ainsi MN = I = a c b d 0 a c = b d = 0 Le système précédent se ramène aux deux systèmes suivants : { { 3a + c = 3b + d = 0 S : et S : a c = 0 b d = Leur déterminant vaut 0. Ainsi ces deux systèmes admettent une unique solution. On trouve a =, b =, c = et d = 3. Donc M = N = 3 Remarques : a b Soit A = une matrice carrée d ordre. c d A est inversible si et seulement si ad bc 0 Si A est inversible, on pourve facilement que A d b = ad bc c a La plupart des calculatrices fournissent l inverse d une matrice quand elle existe cf p Attention, seuls les logiciels de calcul formel fournissent des valeurs exactes!! Lorsqu une matrice n est pas inversible, les systèmes trouvés n ont pas de solutions. 3.3 Application aux systèmes linéaires { Exemple : Soit le système S : 3x + y = x y = On pose A = 3 x, X = y Alors AX = 3x + y 3x + y et ainsi AX = C x y x y et C = { = 3x + y = x y = On peut alors écrire le système S sous la forme AX = C. Remarque : De la même façon tout système linéaire peut s écrire sous forme matricielle. 6

9 D autre part, on a : AX = C A AX = A C A AX = A C I X = A C X = A C On vient de voir que A = 3. On en déduit que : Ainsi S = X = A C { } 5 ; 4 x y = 3 x y = 5 4

10 Les Annexes

11 Devoir Surveillé 4 h Exercice.. 4 points 3x y + z = Traduire le système S x 3z = 5 par une égalité matricielle de la forme AX = B. 3y + z = 34 À l aide de la calculatrice, déterminer la matrice A et résoudre le système S on détaillera la méthode. Exercice.. 9 points Soit Mx; y un point du plan muni d un repère ortogonal O; i; j. On appelle matrice des coordonnées homogènes du point M la matrice M = x y. Par exemple, la matrice des coordonnées homogènes du point A 5; est A = 5 Réciproquement, le point B dont la matrice des coordonnées homogènes est B = 3 a pour coordonnées B 3;.. Donner la matrice des coordonnées homogènes du point C5; On considère la matrice T = 0 0. On définit la transformation t suivante : 3 À tout point Mx; y, on associe le point M x ; y tel que x y = x y T où x y et x y sont les matrices de coordonnées homogènes des points M et M. a Calculer les coordonnées de A, B, et C, images respectives de A, B et C par la transformation t. b Placer les points A, B, C, A, B et C dans le repère unité graphique cm. c Quelle semble être la transformation t? d Soit Na; b un point, et N l image de N par la transformation t. Calculer les coordonnées du vecteur NN. e En déduire la nature de la transformation t. 3. Calculer T «à la main». On définit la transformation t de la manière suivante : À tout point Mx; y, on associe le point M x ; y tel que x y = x y T où x y et x y sont les matrices de coordonnées homogènes des points M et M. 4. Conjecturer la nature de la transformation t.

12 Exercice.3. points Dans un région supposée démographiquement stable, on compte 00 milliers d habitants qui se déplacent pour se rendre à leur travail. Au er janvier 009, on considère que personnes n utilisent que leur voiture pour leurs déplacements; personnes n utilisent que les transports en commun pour leurs déplacements; les autres personnes utilisant exclusivement d autres moyens de transport pied, vélo, roller,... Une étude statistique réalisée les mois précédents a permis d établir que d un mois sur l autre : parmi les personnes qui n utilisent que leur voiture, 30% optent pour les transports en commun et 60% continuent à n utiliser que leur voiture parmi les personnes n utilisant que les transports en commun, 0% changent pour n utiliser que leur voiture et 0% changent pour d autres moyens de transport parmi les personnes qui n utilisent que les autres moyens de transport, 0% optent pour la voiture, 40% pour les transports en commun. On considère que les résultats de cette étude sont valables pour les deux années suivantes. On note p n = v n c n a n le vecteur colonne où v n est le nombre de personnes qui utilisent leur voiture, c n le nombre de personnes qui utilisent les transports en commun et a n le nombre de personnes qui utilisent d autres moyens de transport n mois après le er janvier Donner v 0, c 0 et a 0. Calculer v, c et a. 3. Exprimer v, c et a en fonction de v 0, c 0 et a 0. En déduire la matrice M telle que p = M p Exprimer en fonction de M la matrice N telle que p 3 = N p 0 on expliquera la réponse. Donner le nombre de personnes qui utilisent respectivement la voiture, les transports en commun ou un autre moyen de transport le er avril En admettant que p n = M n p 0, donner une estimation du nombre de personnes, arrondi à la centaine près, qui utiliseront respectivement la voiture, les transports en commun et un autre moyen de transport deux ans après le er janvier 009.