SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Filière PSI. (Durée de l épreuve : 3 heures) L usage d ordinateur ou de calculatrice est interdit.

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1 2015 MTH. II PSI ÉOLE ES PONTS PRISTEH, SUPÉRO (ISE), ENST PRISTEH, TÉLÉOM PRISTEH, MINES PRISTEH, MINES E SINT-ÉTIENNE, MINES E NNY, TÉLÉOM BRETGNE, ENSE PRISTEH (Filière MP), ÉOLE POLYTEHNIQUE (Filière TSI). SEONE ÉPREUVE E MTHÉMTIQUES Filière PSI (urée de l épreuve : 3 heures) L usage d ordinateur ou de calculatrice est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : ycle international, ENSTIM, TELEOM INT, TPE-EIVP, Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MTHÉMTIQUES II - PSI. L énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre.

2 Matrices symplectiques Notations ans tout le problème n désigne un entier naturel non nul : n œ N ú. ans E n = M n,1 (R) espace vectoriel réel de dimension n, on utilisera le produit scalaire canonique défini par : U, V œ E n, (U V )= t UV. On notera M n = M n (R), l espace vectoriel des matrices carrées de taille n àcoe cients réels. Pour œ M n, on notera ker, le noyau de vu comme endomorphisme de E n. ans M n, on notera 0 n la matrice nulle et la matrice unité. Le déterminant est noté det. G n = GL n (R) ={M œ M n, det(m) = 0} désigne le groupe linéaire des matrices inversibles de M n. O n = {M œ M n, t MM = } désigne le groupe orthogonal d indice n, formé des matrices orthogonales de M n. On sera enfin amené à utiliser des décompositions par blocs. On rappelle en particulier que si, B,,, Õ,B Õ, Õ, Õ œ M n, on a alors dans M 2n : B Õ Õ B Õ Õ = Õ + B Õ Õ + Õ B det = det 0 n 0n B B Õ + B Õ B Õ + Õ. = det() det(). 2

3 I Le groupe symplectique Soit n œ N ú et soit J n ou simplement J la matrice de M 2n définie par 0n I J = n. On note Sp 2n = {M œ M 2n, t MJM = J}. 0 n 1. alculer J 2 et t J en fonction de I 2n et J. Montrer que J est inversible et identifier son inverse. 2. Vérifier que J œ Sp 2n et que pour tout réel, K( ) = 0 n œ Sp 2n. U 0n 3. Pour tout U œ G n, vérifier que L U = 0 t n U 1 est dans Sp 2n. 4. Si M œ Sp 2n, préciser les valeurs possibles de det(m). 5. Montrer que le produit de deux éléments de Sp 2n est un élément de Sp 2n. 6. Montrer qu un élément de Sp 2n est inversible et que son inverse appartient à Sp 2n. 7. Montrer que si M œ Sp 2n alors t M œ Sp 2n. Soit M une matrice de M 2n écrite sous la forme M =, avec, B,, œ M n. 8. éterminer des relations sur, B, et caractérisant l appartenance de M à Sp 2n. II entre de Sp 2n On s intéresse ici au centre Z de Sp 2n c est-à-dire : Z = {M œ Sp 2n, N œ Sp 2n,MN= NM}. 3 TSVP

4 9. Justifier l inclusion suivante : { I 2n,I 2n } µ Z. Réciproquement, soit M œ Z écrite sous la forme M =, avec, B,, œ M n. In 10. En utilisant L = 0 n étant inversible. et sa transposée, obtenir B = =0 n et =, U 0n 11. Soit U œ G n. En utilisant L U = 0 t n U 1, montrer que commute avec toute matrice U œ G n. 12. onclure que œ {, } et Z = { I 2n,I 2n }. Indication : on montrera d abord que les matrices + E ij commutent avec, où (E ij, 1 Æ i, j Æ n) est la base canonique de M n. III éterminant d une matrice symplectique Soit M dans Sp 2n que l on décompose sous forme de matrices blocs M = (1) avec, B,, œ M n. ans toute cette partie, les matrices, B,, sont les matrices de cette décomposition. On suppose dans les questions 13 et 14 que est inversible. 13. Montrer qu il existe quatre matrices Q, U, V, W de M n telles que In Q 0 n U V 0n W = B. 4

5 14. En utilisant la question 8, vérifier que B 1 est symétrique, puis que det(m) = det( t t B)=1. Soit P, Q œ M n telles que t PQsoit symétrique et Q non inversible. On suppose qu il existe deux réels di érents s 1,s 2 et deux vecteurs V 1,V 2 non nuls dans E n tels que : (Q s 1 P )V 1 =(Q s 2 P )V 2 = Montrer que le produit scalaire (QV 1 QV 2 ) est nul. On suppose dorénavant non inversible. 16. Montrer que ker B fl ker = {0}. Soit m un entier, m Æ n. Soit s 1,,s m des réels non nuls et deux à deux distincts et V 1,,V m des vecteurs non nuls tels que ( s i B)V i =0pour i =1,, m. 17. Montrer que pour tout i œ {1,,m}, V i =0et que la famille (V i, i = 1,,m) forme un système libre de E n. 18. En déduire qu il existe un réel tel que B soit inversible. 19. Montrer alors que toute matrice de Sp 2n est de déterminant égal à 1. Fin du problème 5