EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES 2. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. * * *

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1 SESSION 6 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MATHEMATIQUES Durée : 4 heures Les calcularces so auorsées * * * NB : Le cadda aachera la lus grade morace à la claré, à la récso à la cocso de la rédaco S u cadda es ameé à reérer ce qu eu lu sembler êre ue erreur d éocé, l le sgalera sur sa coe devra oursuvre sa comoso e elqua les rasos des aves qu l a éé ameé à redre * * * QUELQUES APPLICATIONS DES MATRICES DE GRAM À LA GÉOMÉTRIE Das ou le roblème, E es u esace vecorel euclde de dmeso o oe u rodu scalare sur E la orme assocée S,,, so veceurs de E, o aelle marce de GRAM de,,,, oée,,, our : G, la marce de M de erme gééral G,, = o oera Γ,,, so déerma : Γ,,, = d G,,, S A es ue marce de M q,, le oyau de A es, ar défo, { q, } M R Ker A = X, AX = /6

2 Par alleurs, o oe : our er, E l esace mu du rodu scalare caoque à la fos cosdéré comme esace vecorel euclde esace affe euclde I GÉNÉRALITÉS Résula rélmare a Que eu-o dre d ue marce Y M, vérfa Y Y =? b S A M,, morer que Ker A A Ker A us e dédure que rag A A = rag A O doe,,, veceurs de E S B = e e,, e es ue base orhoormale de E, s A es la marce de M, do les coloes so les comosaes des veceurs,,, das la base B, morer que G,, = A A Quel le ese re le rag de la marce G,, le rag de la famlle de veceurs,,,? Das ce queso, = a Déermer ue codo écessare suffsae ora sur Γ,, our que la famlle,,, so lée b Morer que la famlle,,, es lbre s, seulem s, Γ,,, > 4 Alcao L agle géomérque d u coule u, v de veceurs o uls de vérfa : cos u v α= u v E es le réel α [, π ] S A, B C so ros os de E sués sur la shère de cre O de rayo s o désge ar α, β γ l agle géomérque des coules resecfs OA, OB, OB, OC OA, OC, morer e ulsa ue marce de GRAM que : + cos α cosβ cos γ cos ² α+ cos ² β+ cos ² γ Que se asse--l das le cas où les os A, B C so sur u même cercle? 5 Ierréao géomérque de la marce de GRAM a S a, b y so ros veceurs de E els que le veceur a so orhogoal à la fos au veceur b au veceur y, rouver ue relao re les déermas Γ a+ b, y, Γ a, y Γ b, y b S, y es ue famlle lbre de deu veceurs de E, s F = vec{} y s z es le roé orhogoal du veceur sur F, morer que Γ, y = Γ z, y /6

3 c E dédure que s A, B C so ros os o algés de E, Γ AB, AC es l are du ragle ABC doc, Γ AB, AC es l are du arallélogramme «formé ar A, B C» 6 De la même faço o more que s A, B, C D so quare os o colaares de E, Γ AB, AC, AD es le volume du aralléléède «formé ar A, B, C D» que l o désgera ar aralléléède ABCD O e demade as de rouver ce résula a Vérfer que ce résula erm de rrouver la formule usuelle du volume du aralléléède recagle b A l ade de ce résula écrre u algorhme e fraças qu, avec la doée des coordoées des os A, B, C D, calcule le volume du aralléléède ABCD ou affche que les os so colaares O ourra cosdérer que l algorhme suose cou le calcul du déerma c Arès avor ré c algorhme das la calcularce, dquer les résulas qu elle doe das chacu des cas suvas : A =,, B =, C =, D =, A =, B =, 4, 7, C =,, D =,, A = 8,,, B =,, C =,, D =,, II POINTS ÉQUIDISTANTS SUR UNE SPHÈRE EUCLIDIENNE Das ce are, m es u er aurel, m, es u réel, La famlle de m veceurs dscs,, m de l esace E, de dmeso, es soluo du roblème P m, s : ous les veceurs,,, m so de orme our ou coule, d ers dscs re m, = 7 Résulas rélmares a Morer que s,,, es soluo du roblème P m, alors, our ou coule m, d ers dscs re m, es cosa b Sas aucu calcul de déerma, doer e le usfa, le olyôme caracérsque de la marce M do ous les éléms so égau à J m c E dédure que s,,, es soluo du roblème P m,, alors Γ m m,, m = + m 8 Codos écessares a Morer que, our que,,, so ue famlle lbre de veceurs soluo du m roblème P m,, l es écessare que, m que m /6

4 b Morer que, our que,, m so ue famlle lée de veceurs soluo du roblème P m,, l es écessare que = que m + m o ourra morer qu alors, la famlle,, m es lbre c Alcao Ese--l das E cq veceurs dscs qu deu à deu form u même agle obus π θ, c es-à-dre el que θ, π? 9 Eemle du cas = Déermer our m, ue famlle A A,, Am de os de E, elle que la famlle de veceurs OA, OA,, OA m so soluo du roblème P m, e récsa le coule m, Placer ces os sur ue fgure Eemle du cas = O suose que =, + O ose a = b = a So u u veceur uare de H u sous esace sulémare orhogoal de vec{ u } das, usfer qu l ese ue famlle y y, y de veceurs de H soluo du roblème P, b S o ose alors our ou {, }, = a y + b u, morer que, es ue famlle lbre de veceurs soluo au roblème P, α π, ese--l ros os A A A de la shère de cre O de rayo de E els que les ros agles géomérques des coules OA OA, OA OA OA, OA so égau à α? Remarque : o demade de e as ulser le résula de la queso 4 c A quelle codo écessare ora sur ], [ III THÉORÈMES d APOLLONIUS O raelle que s B = a a,, a es ue base de E s f es ue forme bléare symérque sur E E, la marce de f das la base B es la marce symérque S de M défe ar : = f a, a Par alleurs, s y so deu veceurs de E où X Y so les marces de M rerésa leurs comosaes das la base B, o a S, f, y = X SY So, u aure rodu scalare sur E, o cosdère a a,, a b b,, b deu bases orhoormales de E our ce rodu scalare O oe P la marce de assage de la base a, a,, a vers la base b, b,, b 4/6

5 Morer que, our le rodu scalare, G b, b,, b = P G a, a,, a P = = us usfer que a a = b b E, de reère orhoormé Oe,, e Das, o cosdère l ellse C d équao y + = où a b so deu réels srcem osfs b a u v u' v' a Jusfer que l o déf u rodu scalare sur ar U, V = + s U = u, u' a b V = v, v' das la base e, e b Deu veceurs U V de E so des damères cougués de C s U, V es ue base orhoormale our le rodu scalare, Doer u eemle smle de deu damères cougués de C c Das ce queso, o demade de fare ue fgure So M u o de coordoées, y de C, morer e ulsa u veceur grad, y y que l équao de la age T à la courbe C e M es + = E dédure que b a la droe D qu asse ar O arallèle à T a our équao carésee OM, OM S o oe = M ' u o d erseco de D C, morer que les veceurs OM OM ' so des damères cougués de C d S M M ' so deu os de C els que les veceurs OM OM ' so des damères cougués de C, démorer les deu héorèmes d Aollous suvas : + OM ' = a b récso : OM + OM = OM OM L are du arallélogramme «formé ar O, M M '» es cosae égale à a b IV RECHERCHE D UNE ISOMÉTRIE AFFINE O oe O E le groue des auomorhsmes orhogoau de E So,, y y,, y deu famlles de veceurs de E vérfa G,,, = G y, y,, y O veu morer qu l ese u O E vérfa : our ou er {,, }, u = y O oe = rag,, = rag y y,, y, o cosdère que les veceurs so uméroés de sore que,, y y,, y so deu famlles lbres de veceurs O ose alors V = vec{,,, } = vec{,,,, }, W = vec{ y, y,, y } = vec{ y y,, y,, y }, 5/6

6 o oe e + e +,, e ue base orhoormale de V e ' +, e' +,, e' ue base orhoormale de W So u u edomorhsme de E déf ar : our {,, } u = y our { +, +,, } u e = e' a Morer que u coserve le rodu scalare b Pour ou er { +, +,, }, morer que y u W W c Coclure 4 O doe A A,, A B B,, B deu famlles de os de E vérfa our ou coule d ers, comrs re, A A = B B o veu morer qu l ese ue somére affe f de E vérfa our ou er {,, }, f A = B a S o ose our ou er {,, } coule d ers, b Coclure, = A A = B B, morer que, our ou y comrs re, y y = F de l éocé 6/6