ETUDES DE FONCTIONS. = +. On a : a = -1, b = 4 et c = 0.
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- Bertrand Laviolette
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1 1 sur 9 ETUDES DE FONCTIONS I. Fonctions polynômes de degré 1. Définition Une fonction polynôme de degré f est définie sur R par f () = a + b + c, où a, b et c sont des nombres réels donnés et a 0. Eemples : - f( ) = On a : a = 5, b = -4 et c = 9. g ( ) 4 = +. On a : a = -1, b = 4 et c = La fonction carré est une fonction polynôme particulière telle que : a = 1, b = 0 et c = 0. - h ( ) ( 3 1)( ) = +. h ( ) = 3 6+ = 3 5. En effet : On a : a = 3, b = -5 et c = -. On peut tracer la courbe représentative d'une fonction polynôme à l'aide de la calculatrice graphique. Il s'agit d'une parabole. «Jesus dit à ses disciples y = p. Ils ne comprirent pas, c était une parabole.» Citation apocryphe Le mot vient du grec «parabolê» qui signifiait l action de jeter à côté : «para» pour à côté et «bolein» pour jeter.
2 sur 9. Variations Propriétés : f( ) a b c Soit f une fonction polynôme de degré, telle que - Si a est positif, f est d abord décroissante, puis croissante. - Si a est négatif, f est d abord croissante, puis décroissante. = + +. a > 0 a < 0 Eercices conseillés En devoir Eercices conseillés En devoir Tableau de var. de fonctions du second degré données. E 1 à 3 (page7) p117 n 1, 3 p10 n 31 E 4 à 11 (page7 et 8) p117 n 1, 14, 13* ; p118 n 18* p11 n 40* E 1 à 3 (page7) p134 n 1 à 3 p136 n 3 E 4 à 11 (page7 et 8) p138 n 4, 44, 43* p138 n 48* p140 n 63* Tableau de var. de fonctions du second degré données. ODYSSÉE de HATIER Edition 010 ODYSSÉE de HATIER Edition 014
3 3 sur 9 3. Etremum La courbe représentative de f est une parabole qui admet un ae de symétrie parallèle à l ae des ordonnées. Définition : Le point de la courbe qui correspond au maimum ou au minimum est appelé le sommet de la parabole. Eemple : f( ) 4 = + admet un maimum. La fonction f définie sur R par En effet, le coefficient devant est négatif, f est d abord croissante, puis décroissante. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré, telle que Alors f admet un etremum pour = b a. f ( ) a b c = + +. Méthode : Déterminer les coordonnées de l etremum d une fonction polynôme de degré Vidéo Soit la fonction f définie sur R par f( ) = a) Quelle est la nature de l etremum de la fonction f? b) Déterminer les coordonnées de cet etremum. c) Construire le tableau de variations de f, puis vérifier en traçant sa courbe représentative à l'aide de la calculatrice. a) Le coefficient devant est positif, f admet donc un minimum. b 1 b) Le minimum est atteint en = = = 3 a Or f (3) = = 5 donc f admet un minimum égal à 5 pour = 3. Les coordonnées du minimum sont (3 ; 5). c)
4 4 sur 9 On pourra tracer la parabole à l aide d une calculatrice graphique pour vérifier. Eercices conseillés En devoir Eercices conseillés En devoir E 1 à 18 (page8) p117 n 5* E 19 et 0 E 1 à 18 (page8) p136 n 33 p138 n 39* E 19 et 0 ODYSSÉE de HATIER Edition 010 ODYSSÉE de HATIER Edition 014 TP conseillé TP Tice1 p110 : Différentes paraboles TP conseillé p19 TP1 : Différentes paraboles ODYSSÉE de HATIER Edition 010 ODYSSÉE de HATIER Edition 014 II. Fonctions homographiques 1. Définition a + b Une fonction homographique f est définie par f( ) = c + d sont des nombres réels donnés et c 0. Eemples : f( ) = 1 3 g ( ) = 1 - La fonction inverse est une fonction homographique telle que : a = 0, b = 1, c = 1 et d = 0., où a, b, c et d On peut tracer la courbe représentative d'une fonction homographique à l'aide de la calculatrice graphique. Il s'agit d'une hyperbole.
5 5 sur 9. Ensemble de définition L ensemble de définition d une fonction est l ensemble des nombres réels qui ont une image par f. a + b Une fonction homographique f de la forme f( ) = c + d d lorsque : c +d 0 c est-à-dire lorsque. c L ensemble de définition de f est d d ; ; +. c c est donc définie Méthode : Déterminer l ensemble de définition d une fonction homographique Vidéo Soit la fonction f définie par f( ) = 3 6. Déterminer l ensemble de définition de f. Le dénominateur ne peut pas s annuler. 3 6= 0 est équivalent à =. La fonction f n est donc pas définie pour égal à. L ensemble de définition de f est ]- ; [U] ; + [ qui peut aussi s écrire R \{}. Eercices conseillés En devoir Eercices conseillés En devoir Solutions graphiques d équations données. E 1 à 5 p10 n 36 E 6 à 7 p119 n 7* p11 act E 1 à 5 p136 n 35 E 6 à 7 p139 n 5, 55* Solutions graphiques d équations données. ODYSSÉE de HATIER Edition 010 ODYSSÉE de HATIER Edition 014
6 6 sur 9 3. Représentation graphique Toutes les fonctions homographiques sont définies sur l ensemble des nombres réels privé d une valeur. Pour cette valeur, la fonction homographique n a pas d image. Les représentations graphiques des fonctions homographiques sont donc constituées de deu parties distinctes. Méthode : Etude graphique d une fonction homographique Vidéo Soit g la fonction définie sur ]- ; [ U ] ; +[ par 3 g ( ) =. a) Tracer la courbe représentative de g à l aide d une calculatrice graphique. b) Par lecture graphique, donner les variations de g. a) b) Il est également possible d afficher un tableau de valeurs de la fonction. La fonction g est croissante sur l intervalle ]- ; [ et croissante sur l intervalle ] ; +[. Eercices conseillés En devoir Eercices conseillés En devoir p118 n 3 E 8 à 30 (page9 et 10) p10 n 38 p11 n 39* p119 n 6, 4 p135 n 6 E 8 à 30 (page9 et 10) p135 n 7 p136 n 36 p139 n 54 ODYSSÉE de HATIER Edition 010 ODYSSÉE de HATIER Edition 014 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 1-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation epresse de l'auteur.
7 7 sur 9 Eercice 1 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions du second degré? f () = g() = 4 +1 h() = i() = 3 ( )( + ) j() = 5 8 k() = 9 l() = m() = ( 3 6 ) Eercice Justifier que chacune des fonctions suivantes est une fonction du second degré : ( )( 5 ) g() = 3( 5) + 3 ( )( 3 + ) i() = ( ) f () = 1 h() = 1 Eercice 3 A l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère chaque fonction de l'eercice. Eercice 4 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont d abord croissantes puis décroissantes? f () = + 4 g() = 7 + h() = i() = 3 +1 j() = 9 + k() = + 3 Eercice 5 ( )( + ) Soit f la fonction définie sur R par f () = l() = ( 1 ) m() = ( +1) ) En déduire le tableau de variations de f. Eercice 6 Soit f la fonction définie sur R par f () = ) En déduire le tableau de variations de f. Eercice 7 Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles dont les variations correspondent au tableau de variations ci-contre : f () = + + g() = h() = + + i() = j() = 1 ( )( ) k() = ( 1) ( 4 + ) Eercice 8 Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles dont les variations correspondent au tableau de variations suivant : f () = + g() = h() = + 5 i() = ( ) +1 k() = ( 7) ( + 3) j() = 4 Eercice 9 Soit f la fonction définie sur R par f () = 3 3. ) Conjecturer le nombre de solutions de l équation 3 3 = 0 et une valeur approchée des solutions éventuelles.
8 8 sur 9 Eercice 10 Soit f la fonction définie sur R par f () = ) Conjecturer le nombre de solutions de l équation = 0 et une valeur approchée des solutions éventuelles. Eercice 11 Conjecturer le nombre de solutions de l équation + 5 = 0 et une valeur approchée des solutions éventuelles. Eercice 1 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles admettent un minimum? f () = + + g() = 4 +1 h() = i() = ( )( 4 ) k() = 3 5 j() = 5 Eercice 13 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles admettent un maimum? f () = + 6 g() = h() = i() = + 7 ( )( 8 4) k() = j() = 1 Eercice 14 À l aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de l etremum de chaque fonction en précisant s il s agit d un minimum ou d un maimum. f () = + +1 g() = + 8 h() = + 3 i() = j() = k() = 3 Eercice 15 À l aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de l etremum de chaque fonction en précisant s il s agit d un minimum ou d un maimum. f () = g() = h() = 50 6 Eercice 16 Soit f la fonction définie sur R par f () = ) Quelle est la nature de l etremum de f (minimum ou maimum)? Justifier. ) Pour quelle valeur de est-il atteint? Calculer cet etremum. 3) Construire le tableau de variations de f, puis vérifier en traçant sa courbe représentative à l'aide de la calculatrice. 4) Reproduire la courbe dans un repère. Eercice 17 Même eercice avec la fonction f définie sur R par f () = 4 1. Eercice 18 Même eercice avec la fonction f définie sur R par f () = Eercice 19 Même eercice avec la fonction f définie sur R par f () = Eercice 0 Même eercice avec la fonction f définie sur R par f () =
9 9 sur 9 Eercice 1 Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions homographiques? f () = k() = + 7 g() = l() = 7 +1 h() = 1+ 3 m() = i() = n() = 3 4 j() = 1 p() = 1 Eercice Justifier que chacune des fonctions suivantes est une fonction homographique : f () = g() = h() = k() = 3 1 Eercice 3 Déterminer l ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes : f () = 3 1 g() = h() = + 5 i() = j() = Eercice 4 1) Donner l epression d une fonction homographique qui n est pas définie pour = 7. ) Même question pour = 5 puis pour = 3. Eercice 5 A l'aide de la calculatrice, tracer dans un repère chaque fonction de l'eercice 3. Eercice 6 Soit f la fonction définie sur R par f () = ) Lire graphiquement la solution éventuelle de l équation + = 0. Eercice 7 1) À l aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de la solution éventuelle de l équation 4 3 = 4. ) Même question pour l équation 1 3 = 3. Eercice 8 Donner l epression d une fonction homographique pouvant avoir le tableau de variations ci-contre. On pourra s aider de la calculatrice. Eercice 9 Donner l epression d une fonction homographique décroissante et définie sur les intervalles ] ; 3[ et 3;+ ] [. Eercice 30 Construire le tableau de variations de chaque fonction. f () = 1 3 g() = h() = + i() = Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 1-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation epresse de l'auteur.
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