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Isaac Corbeil
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1 CHAPITRE 14 STATISTIQUES I. EFFECTIFS, EFFECTIFS CUMULES, FREQUENCES, FREQUENCES CUMULEES Enoncé : A la question : «Combien de films êtes-vous allés voir au cinéma au cours du dernier mois?» un enquêteur a noté les résultats suivants : films vus : ) Compléter le tableau suivant : films (VALEURS) personnes (EFFECTIFS) Effectifs cumulés Fréquences Fréquences cumulées 2) Représenter graphiquement les réponses par un diagramme en bâtons. Solution : 1) films (valeurs) Total personnes (effectifs) * Effectifs cumulés ** Page 1 sur 7

2 films (valeurs) Total Fréquences 0,3 = 30 % 0,35 = 35 % 0,2 = 20 % *** 0,1 = 10 % 0,05 = 5 % 1 = 100% Fréquences cumulées 0,3 = 30 % 0,65 = 65 % 0,85 = 85 % **** 0,95 = 95 % 1 = 100 % Explications : * L effectif de la valeur «2 films» est 8. Cela signifie que 8 personnes ont vu 2 films. ** L effectif cumulé de la valeur «2 films» est 34. Cela signifie que 34 personnes ont vu 2 films au maximum. Pour le calculer, on ajoute les effectifs des valeurs «0 film», «1 film» et «2 films» : = 34. *** La fréquence de la valeur «2 films» est 20 %. Cela signifie que 20 % des personnes interrogées ont vu 2 films. Pour la calculer on divise l effectif correspondant par l effectif total : 8 40 Fréquence d une valeur = effectif de cette valeur effectif total = 0,2 = 20 %. **** La fréquence cumulée de la valeur «2 films» est 85 %. Cela signifie que 85 % des personnes interrogées ont vu 2 films. Au maximum. Pour la calculer, on ajoute les fréquences des valeurs «0 film», «1 film» et «2 films» : 0,3 + 0,35 + 0,2 = 0,85 2) Diagramme en bâtons : Page 2 sur 7

3 II. MOYENNE Calculons la moyenne de la série de valeurs du paragraphe I, c'est-à-dire le nombre moyen de films vus. Pour cela nous devons connaître : le nombre total de personnes qui est 40. le nombre total de films vus par ses personnes en comptant plusieurs fois un film qui a été vu par plusieurs personnes. Attention : pour obtenir le nombre total de films vus il ne faut pas additionner les valeurs de la première lignes du tableau. Il faut additionner les 40 valeurs données «en vrac» dans l encadré, c'est-à-dire les 40 réponses. Pour cela il est quand même utile d utiliser le tableau mais il faut tenir compte des effectifs : par exemple, il y a 8 personnes qui ont vu 2 films donc ces 8 personnes ont vu en tout 16 films (2 8) etc. En tout 50 films. Conclusion : = personnes ont vu 50 films. 50 = 1,25. Une personne a vu en moyenne 1,25 film. 40 Calcul de la moyenne m en une ligne : m = = d où m = 1,25 Moyenne = somme des «valeurs effectifs» somme des effectifs ou Moyenne = somme des «valeurs effectifs» effectif total III. MEDIANE A. ACTIVITE Enoncé : Voici les notes obtenues par les élèves de la classe de 3 ème au contrôle sur les statistiques. Notes Effectifs ) a) Vérifier que la note moyenne de la classe est 12,08. Page 3 sur 7

4 b) Est-il vrai qu il y a autant de notes inférieures que de notes supérieures à la note moyenne? 2) Existe-il une note qui soit «au milieu», c est à dire une note telle qu il y ait autant de notes qui lui soient inférieures que de notes qui lui soient supérieures? Solution : 1)a) m = La note moyenne est bien 12,08. = = 12,08. b) = 15. Il y a 15 notes inférieures à 12, = 10. Il y a 10 notes supérieures à 12,08. Donc il n y a pas autant de notes inférieures à la moyenne que de notes supérieures. 2) Oui, la note 11. En effet : = 12. Il y a 12 notes inférieures à 12, = 12. Il y a 12 notes supérieures à 12,08. On dit que 11 est la note médiane. B. DEFINITION On appelle médiane d un série un nombre tel que : si on liste toutes les valeurs de la série dans l ordre croissant, en écrivant chaque valeur autant de fois qu il faut (*), le nombre partage la série en deux séries de même effectifs. (*) En reprenant la série de notes du II, la valeur 8 sera écrite 3 fois, la valeur 9 sera écrite 4 fois etc C. EXEMPLES Exemple 1 : Valeurs Effectifs On écrit la série en ordonnant les valeurs par ordre croissant : Le nombre 50 partage la série en deux séries de même effectif : il y a 4 nombre à gauche et 4 nombre à droite. La médiane de la série est 50. Page 4 sur 7

5 Exemple 2 : Valeurs Effectifs On écrit la série en ordonnant les valeurs par ordre croissant : Le nombre 11 (en fait le deuxième 11) partage la série en deux séries de même effectif : il y a 3 nombre à gauche et 3 nombre à droite. La médiane de la série est 11. Exemple 3 : Valeurs Effectifs On écrit la série en ordonnant les valeurs par ordre croissant : Dans ce cas n importe quel nombre compris entre 16 et 17 peut être pris comme médiane : il y aura il y a 3 nombre à gauche et 3 nombre à droite. Souvent on prend 16,5 comme médiane. IV. ETENDUE DEFINITION L étendue d une série est la différence entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite. Etendue = Valeur maximum Valeur minimum EXEMPLE Calcul de l étendue de la série du paragraphe III-A Etendue = 18 8 = 10 Cela signifie qu il t a 10 point d écart entre la note la plus haute et la note la plus basse. Page 5 sur 7

6 V. DETERMINER LA MEDIANE D UNE SERIE DONT L EFFECTIF TOTAL EST GRAND EXEMPLE 1 «A PARTIR DES EFFECTIFS CUMMLES» Série des âges des adhérents à un club de sport : L effectif total est trop grand pour lister toutes les valeurs. Méthode : Ages Effectifs On calcule l effectif total : = 170. Puis la moitié de l effectif total : = 85 On écrit les effectifs cumulés Ages Effectifs Effectifs cumulés On détermine le premier effectif cumulé qui dépasse la moitié de l effectif total : Ici, c est l effectif cumulé 130 qui, le premier, dépasse 85. La médiane de la série est la valeur correspondante à cet effectif cumulé : Ici, la médiane de la série est 17 ans. EXEMPLE 2 «A PARTIR DES FREQUENCES CUMMLEES» Série des âges des élèves d un collège : Ages Fréquences 22 % 24 % 24 % 23 % 7 % Méthode : On écrit les fréquences cumulées : Ages Fréquences 22 % 24 % 24 % 23 % 7 % Fréquences cumulées 22 % 46 % 70 % 93 % 100 % Page 6 sur 7

7 On détermine la première fréquence cumulée qui dépasse la moitié de 100 % soit 50 %. Ici, c est la fréquence cumulée 70 % qui, la première, dépasse 50 %. La médiane de la série est la valeur correspondante à cette fréquence cumulée. Ici, la médiane de la série est 13 ans. Page 7 sur 7

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