Mathématiques Année Module n 4 : Statistiques ( 2 ème partie ) 2 nde

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1 Mathématques Année Module n 4 : Statstques ( 2 ème parte ) 2 nde On utlsera les eemples suvants dans tout le chaptre : Eemple 1 : Dans une maternté, on a référencé les pérmètres crânens à la nassance de 290 nouveau nés. Pérmètre ( en cm ) 32 32, , , , , ,5 Effectf Eemple 2 : Le tableau suvant donne le nombre d enfants âgés de 0 à 16 ans dans un échantllon de 99 famlles : Nombre d enfants Effectf Eemple 3 : En 2009, d après une étude réalsée par le mnstère de la Culture et de la Communcaton, la répartton des vsteurs dans les musées par groupes socau a été la suvante : Etudants Classe populare Classe moyenne nféreure Classe moyenne supéreure Classe supéreure 9 % 32 % 16 % 22 % 21 % Eemple 4 : Une machne remplt automatquement des sachets de médcaments en poudre. On a pesé un échantllon consttué de 100 sachets. Les résultats sont ndqués dans le tableau suvant : Masse ( en g ) 98 ;98,5 98,5 ;99 99 ;99,5 99,5 ; ;100,5 100,5 ;101 Fréquence ( en % )

2 I Rappels sur le vocabulare statstque : Les premères études statstques étaent démographques : on a conservé le vocabulare. 1) Une étude statstque commence par un recuel de données. L ensemble sur lequel porte l étude statstque s appelle la populaton. Un élément de cet ensemble s appelle un ndvdu. 2) L étude statstque étude un aspect des ndvdus d une populaton appelé caractère ou varable. Le caractère étudé prend un certan nombre de valeurs, qu peuvent être numérques ou non. a) Lorsque les valeurs de ce caractère sont des nombres, on dt que ce caractère est quanttatf. S le caractère quanttatf ne prend que quelques valeurs, on dt qu l est dscret. S le caractère quanttatf prend n mporte quelle valeur d un ntervalle, on dt qu l est contnu : on regroupe alors les valeurs dans des ntervalles appelés classes. On note alors le centre de chaque classe. On appelle ampltude d une classe [ ; [ a b la valeur b a. b) Lorsque les valeurs de ce caractère ne sont pas des nombres, on dt que ce caractère est qualtatf. 3) Le nombre d ndvdus chez lesquels on observe la valeur d un caractère est l effectf de cette valeur. On note n1, n2,..., n p les effectfs respectfs des valeurs 1, 2,..., p. Le nombre d ndvdus de la populaton est appelé effectf total : l est en général noté N = n + n + + n p 4) La proporton d ndvdus ayant une valeur du caractère est appelée fréquence. Elle est égale à : effectf de la valeur effectf total On note f1, f2,..., f p les effectfs respectfs des valeurs 1, 2,..., p. Une fréquence est un nombre comprs entre 0 et 1. On l écrt sous forme de fracton ou de pourcentage.. 2

3 Compléter le tableau suvant : Indvdus de la populaton Caractère étudé Nature du caractère Eemple 1 Eemple 2 Eemple 3 Eemple 4 n valeurs f n Centre des classes f Valeurs prses par le caractère et effectfs ou fréquences correspondants Effectf total 3

4 II Représentatons graphques : Remarque : Pour vor et tradure rapdement les nformatons d une étude statstque, on a recours à des représentatons graphques dfférentes selon la nature du caractère. II. 1 Dagrammes en bâtons ou en barres : Ce dagramme peut être utlsé dans le cas d un caractère qualtatf ou quanttatf dscret. Il est formé de barres dont l abscsse est à n ( effectf de la valeur ) ou à ( valeurs du caractère ) et dont la hauteur est proportonnelle f ( fréquence de la valeur ). Eercce : Construre le dagramme en bâtons de l eemple 1 en prenant 1 cm pour un effectf de 10 en ordonnée. II. 2 Nuage de ponts : Ce dagramme peut être utlsé dans le cas d un caractère quanttatf dscret. Il est formé de ponts dont l abscsse est de la valeur ) ou à ( valeurs du caractère ) et dont l ordonnée est n ( effectf f ( fréquence de la valeur ). Eercce : Construre le nuage de ponts de l eemple 2 en prenant 1cm pour 1 enfant en abscsse et 1 cm pour un effectf de 10 en ordonnée. 4

5 II. 3 Dagrammes crculares : Ce dagramme peut être utlsé dans le cas d un caractère qualtatf ou quanttatf dscret. L angle de chaque secteur est proportonnel à valeur ). Il este également des dagrammes sem crculares. n ( effectf de la valeur ) ou à f ( fréquence de la Eercce : On reprend l eemple 3. Classe socale Etudants Classe populare Classe moyenne nféreure Classe moyenne supéreure Classe supéreure Total Fréquence 9 % 32 % 16 % 22 % 21 % Angle ( arrond à 1 ) Compléter le tableau, pus construre le dagramme crculare correspondant. 5

6 II. 4 Hstogrammes : Ce dagramme est toujours utlsé dans le cas d un caractère quanttatf contnu ( valeurs regroupées en classes ). Lorsque les classes ont la même ampltude, on construt des rectangles ayant pour base chacune des classes et une hauteur proportonnelle à n ( effectf de la valeur ) ou à f ( fréquence de la valeur ). Eercce : Construre l hstogramme de l eemple 3 en prenant 1 cm pour 0,5 g en abscsse et pour chaque classe, tracer un rectangle de hauteur l effectf correspondant : 6

7 III Effectfs cumulés, fréquences cumulées : Défntons : On note une valeur prse par un caractère quanttatf. 1) L effectf cumulé crossant ( respectvement décrossant ) de est la somme des effectfs des valeurs nféreures ( respectvement supéreures ) ou égales à 2) La fréquence cumulée crossante ( respectvement décrossante ) de est la somme des fréquences des valeurs nféreures ( respectvement supéreures ) ou égales à.. Eercce 1 : 1) Reprendre l eemple 2 et compléter le tableau suvant : Nombre d enfants Effectf Effectfs cumulés crossants 3) Comben de ces 99 famlles ont au plus deu enfants?.. Eercce 2 : 1) Reprendre l eemple 3 et compléter le tableau suvant : Masse ( en g ) Fréquence ( en % ) Fréquence cumulée crossante ( en % ) 98 ;98,5 98,5 ;99 99 ;99,5 99,5 ; ;100,5 100,5 ; Total 2) On suppose que la répartton est unforme dans chaque classe. Construre la courbe des fréquences cumulées crossantes formée de segments relant, à partr du pont de coordonnées 98 ;0, tous les ponts de coordonnées ( ; ) supéreure de chaque classe et N où est la borne N est la fréquence cumulée crossante de cette classe. Prendre comme untés graphques : 1 cm pour 0,5 g en abscsse et 1cm pour 10 % en ordonnée. 7

8 3) Quel est le pourcentage de sachets pesant mons de 100 g? 8

9 IV Paramètres d une sére statstque : IV. 1 Mesures de poston : Moyenne : 1) On note 1, 2,..., p n n n les effectfs respectfs des valeurs 1, 2,..., p prses par le caractère étudé et l effectf total, alors la moyenne de cette sére statstque est n1 1 + n npp le nombre noté =. N 2) On peut calculer la moyenne à partr de la dstrbuton des fréquences. S on note f1, f2,..., f p les fréquences respectves des valeurs 1, 2,..., p prses par le caractère étudé alors la moyenne de cette sére statstque est le nombre noté = f11 + f f pp. 3) La moyenne est fortement nfluencée par les valeurs etrêmes. Eercce 1 : Reprendre l eemple 1 et calculer le pérmètre moyen des 290 nouveau nés. Eercce 2 : 1) Reprendre l eemple 4 et compléter le tableau suvant. Masse ( en g ) Centre de la classe ( ) Fréquence ( en % ) f ( ) 98 ;98,5 98,5 ;99 99 ;99,5 99,5 ; ;100,5 100,5 ; ) A partr de la dstrbuton des fréquences, calculer la masse moyenne des sachets :.. 9

10 Médane et quartles : On consdère une sére statstque de valeurs rangées dans l ordre crossant. 1) La médane de cette sére statstque, notée Me, partage la populaton en deu partes de telle sorte que : a) au mons 50 % des ndvdus prennent une valeur nféreure ou égale à la médane. b) au mons 50 % des ndvdus prennent une valeur supéreure ou égale à la médane. N + 1 2) a) S l effectf total est mpar, la médane est la valeur de la sére de rang. 2 b) S l effectf total N est par, la médane est la moyenne des valeurs de la sére de rang N N et ) La médane n est pas sensble au valeurs etrêmes. 4) a) Le 1 er quartle de cette sére statstque, notée, est la plus pette valeur de la sére telle qu au mons 25 % des valeurs sot nféreures ou égales à. est la valeur de la sére statstque dont le rang est le plus pett enter supéreur ou égal à. 5) a) Le 3 ème quartle de cette sére statstque, notée, est la plus pette valeur de la sére telle qu au mons 75 % des valeurs sot nféreures ou égales à. est la valeur de la sére statstque dont le rang est le plus pett enter supéreur ou égal à. 6) L ntervalle nterquartle est égal à la dfférence. Eercce 1 : 1) Reprendre l eemple 1 et compléter le tableau suvant. Pérmètre ( en cm ) 32 32, , , , , ,5 Effectf Effectfs cumulés crossants 2) a) Calculer la médane de cette sére statstque : 10

11 b) Calculer le pourcentage de nouveau nés ayant un pérmètre cranen nféreur ou égal au pérmètre médan. c) Calculer le pourcentage de nouveau nés ayant un pérmètre cranen supéreur ou égal au pérmètre médan. 3) a) Calculer le premer quartle de cette sére statstque : b) Calculer le pourcentage de nouveau nés ayant un pérmètre cranen nféreur ou égal au premer quartle. c) Calculer le pourcentage de nouveau nés ayant un pérmètre cranen supéreur ou égal au premer quartle. 4) a) Calculer le trosème quartle de cette sére statstque : b) Calculer le pourcentage de nouveau nés ayant un pérmètre cranen nféreur ou égal au trosème quartle. 11

12 c) Calculer le pourcentage de nouveau nés ayant un pérmètre cranen supéreur ou égal au trosème quartle. 5) Calculer l ntervalle nterquartle de cette sére statstque : Eercce 2 : En s adant du tableau du paragraphe III ( page 7 ) : 1) a) Calculer la médane de la sére statstque de l eemple 2. b) Que sgnfe ce nombre? 2) a) Calculer le premer quartle de la sére statstque de l eemple 2. b) Interpréter ce nombre. 12

13 3) a) Calculer le trosème quartle de la sére statstque de l eemple 2. b) Interpréter ce nombre. 4) Calculer l ntervalle nterquartle de cette sére statstque : Eercce 3 : En s adant de la courbe des fréquences cumulées crossantes du paragraphe III : 1) Détermner graphquement la médane de la sére statstque de l eemple 4. 2) Détermner graphquement le premer quartle de la sére statstque de l eemple 4. 3) Détermner graphquement le trosème quartle de la sére statstque de l eemple 4. 13

14 IV. 2 Mesure de dsperson : Etendue : 1) On appelle étendue d une sére statstque la dfférence entre la plus grande et la plus pette valeur. 2) L étendue est sensble au valeurs etrêmes. Eercce 1 : Calculer l étendue de la sére statstque de l eemple 1. Eercce 2 : Calculer l étendue de la sére statstque de l eemple 4. 14

15 V Utlsaton de la calculatrce graphque : V. 1 Entrer les valeurs d une lste : On reprend l eemple 2 et on va rentrer dans une 1 ère lste L1 les valeurs du caractère et dans une 2 nde lste L2 les effectfs correspondants. 1) Appuyer sur la touche «stats» ou «STAT».L écran c contre apparaît : 2) Appuyer sur la touche «entrer» ou «ENTER».L écran c contre apparaît : 3) Dans la colonne L1, rentrer les valeurs du caractère ( pour aller à la lgne, appuyer sur la touche «entrer» ou «ENTER» après avor rentrer chaque valeur ). L écran c contre apparaît : 4) Dans la colonne L2, rentrer les effectfs correspondants.l écran c contre apparaît : Remarque : Pour effacer la lste 1, placer le curseur sur L1, appuyer sur la touche «annul» ou «CLEAR», pus appuyer sur la touche «entrer» ou «ENTER». V. 2 Affcher les paramètres d une sére statstque : 1) Appuyer sur la touche «stats» ou «STAT». L écran c contre apparaît : 2) Sélectonner «CALC» ou «ENTER».L écran c contre apparaît : 15

16 3) Sélectonner «Stats 1-Var» en appuyer sur la touche «entrer» ou «ENTER». L écran c contre apparaît : 4) Taper L1 en appuyant sur la touche «2 nde» ou «2 ND» pus sur la touche «1». Taper sur la touche «,». Taper L2 en appuyant sur la touche «2 nde» ou «2 ND» pus sur la touche «2». L écran c contre apparaît : 5) Appuyer sur la touche«entrer» ou «ENTER». L écran c contre apparaît : Remarque : On lt sur la 1 ère lgne la moyenne et on accède à la médane et au 1 er et 3 ème quartles en utlsant la flèche pour descendre. L écran c contre apparaît : Eercce : Vérfer à l ade de la calculatrce la moyenne, la médane et les 1 er et 3 ème quartles de la sére statstque de l eemple 1 trouvés dans le paragraphe IV ( pages 10 et 11 ). 16

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