Méthodes Mathématiques Master 1 Mécanique-Physique & Ingénierie Aix-Marseille Université, Uwe Ehrenstein

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1 Méthodes Mathématiques Master Mécanique-Physique & Ingénierie Aix-Marseille Université, Uwe Ehrenstein 25 novembre 204

2 Table des matières Fonctions d une variable complexe 3. Fonction analytique (holomorphe), définition Théorie de Cauchy Développement en série de fonctions analytiques Série de Laurent, formule des résidus Calcul pratique des résidus, application aux intégrales Eléments de la théorie des distributions Définition des disributions, dérivée d une distribution La formule du saut Calcul des solutions élémentaires du Laplacien La convolution des fonctions et des distributions Transformation de Fourier Définition et propriétés Exemples, transformée de Fourier de la masse de Dirac Transformée de Fourier inverse, formule de réciprocité Applications de la formule de réciprocité Transformée de Fourier d une distribution périodique, transformée de Fourier discrète

3 2 TABLE DES MATIÈRES

4 Chapitre Fonctions d une variable complexe. Fonction analytique (holomorphe), définition Soit f(z) une fonction de la variable complexe z C. On cherche à établir un résultat de différentiabilité de la fonction f(z) par rapport à z. Autrement dit on cherche à établir sous quelle condition la limite f(z+h) f(z) lim h 0 h existe lorsque h 0 avec h C. On pourra écrire z=x+iy avec x,y R et f(z)=p(x,y)+iq(x,y) (.) avec P(x,y) la partie réelle de f(z) C et Q(x,y) la partie imaginaire. Ecrivons h = u+iv (u,v R) et alors f(z+h) = f (x+u+i(y+v)) = P(x+u,y+v)+ iq(x+u,y+v). De faire tendre h vers zéro dans le plan complexe est équivalent à faire tendre, de façon indépendante, h=u vers zéro et h=iv vers zéro. Prenons h=ualors f(z+u) f(z) lim u 0 u P(x+u,y) P(x,y) Q(x+u,y) Q(x,y) = lim + i lim u 0 u u 0 u = P x (x,y)+i Q x (x,y)= f (z) (.2) x d après la définition des dérivées partielles d une fonction de variables réelles. De même on pourra prendre h=iv et f(z+iv) f(z) lim v 0 iv P(x,y+v) P(x,y) Q(x,y+v) Q(x,y) = lim + i lim v 0 ( iv ) v 0 iv P = i y (x,y)+i Q y (x,y) = i f (z) (.3) y 3

5 Fonctions d une variable complexe Pour pouvoir écrire ces relations f(z) doit être définie dans un voisinage noté U de z. Donc, on pourra dire que la limite (.) existe, si et seulement si les deux limites (.2) et (.3) existent et sont égales. On écrira alors f (z) la limite (.) et on a la définition suivante : Définition Une fonction f(z) = P(x,y)+iQ(x,y) continue sur U C avec P(x,y) et Q(x,y) différentiables par rapport à x et y est dite analytique (ou holomorphe), si et seulement si les relations dites de Cauchy-Riemann P x = Q y, P y = Q x sont satisfaites. Dans ce cas on peut écrire (.4) f x (z)= i f y (z)= f (z) (.5) Les conditions de Cauchy-Riemann permettent donc d affirmer que la limite f(z+h) f(z) lim h 0 h existe et est égale à la dérivée f (z), pour z U avec U un domaine du plan complexec. (Dans certains cas U est tout le pan complexe.) A partir de cette définition on peut établir les propriétés suivantes. Ces démonstrations, utilisant le fait que le quotient ci-dessus admet une limite, sont similaires à celles pour les propriétés équivalentes de fonctions d une variable réelle et elles ne sont pas détaillées ici. Propriétés : La somme de fonctions analytiques est analytique. Soient f(z) et g(z) deux fonctions analytiques dans U. Alors le produit h(z)= f(z)g(z) est analytique et h (z)= f (z)g(z)+ f(z)g (z). La fonction composée φ(z)= f(g(z)) est analytique et φ (z)= f (g(z))g (z). Exemples de fonctions analytiques :. La fonction f(z) = e z = e x (cos(y)+isin(y)) est analytique (Exercice) et sa dérivée est f (z)= f(z)=e z. 2. Les fonction f(z) = cos(z) et g(z) = sin(z) sont analytiques. Comme pour la variable réelle cos(z)= eiz + e iz, sin(z)= eiz e iz 2 2i et on montre que la dérivée par rapport à z de e iz est ie iz et donc cos (z)= sin(z), sin (z)=cos(z) comme pour la variable réelle. 3. De la même façon sinh(z)= ez e z 2 et 4 cosh(z)= ez + e z 2

6 Fonction analytique (holomorphe), définition sont analytique. FIGURE. Plan fendu de la détermination du logarithme complexe. 4. On peut également définir le logarithme d un nompbre complexe, mais seulement dans le plan fendu. Soit 0 α<2π et considérons le plan fendu D =C {re iα t. q. r>0}=c Alors pour tout z D il existe un unique θ avec α<θ<α+2π et r>0 tels que z=re iθ et par définition log(z) = log(r) + iθ (.6) On ne peut pas définir log(z) dans tout le plan complexe (privé de l origine). Si par exemple z tend vers la demi-droite par au-dessus, log(z) log(r) + iα tandis que si z tend vers la demi-droite par en dessous, log(z) log(r)+i(α+2π). La fonction subit ainsi un saut en traversant la droite. Donc, la donnée de consiste à choisir une détermination du logarithme complexe. On remarque d abord qu avec cette définition On peut donc écrire e log(z) = e log(r)+iθ = e log(r) e iθ = re iθ = z log(z+h) log(z) h ( e log(z+h) e log(z) = log(z+h) log(z) ) Mais cette dernière expression peut encore s écrire ( e u+v e u ), avec v=log(z+h) log(z), u=log(z); v 5

7 Fonctions d une variable complexe et quand h 0, alors v 0 et donc cette dernière expresion tend vers(e u ) = /z car la dérivée de e u est e u. Donc log(z+h) log(z) lim = h 0 h z est la dérivée de log(z). 5. Soit f(z) = P(x, y) + iq(x, y) une fonction analytique, donc qui vérifie les relations de Cauchy-Riemann P x = Q y, P y = Q x Si on dérive la première égalité par rapport à x (on verra plus loin que l on le pourra en effet) et la seconde par rapport à y, on obtient et montre de même que 2 P x P y 2 = 0 2 Q x Q y 2 = 0. Donc, aussi bien la partie réelle que la partie imaginaire de f(z) vérifient l équation de Laplace 2 P= 2 Q=0. On dira que P et Q sont des fonctions harmoniques..2 Théorie de Cauchy Par analogie entre C et R 2 on définit des chemins de C comme étant des arcs paramétrés par γ γ : I =[a,b] R C (.7) et un chemin fermé sera appelé un lacet. Exemple : γ(t)=e 2iπt,0 t est le cercle unité. On appelle intégrale de f le long du chemin γ la quantité γ f(z)dz= b a f(γ(t))γ (t)dt. (.8) 6

8 Théorie de Cauchy FIGURE.2 Lacets autours de z 0. alors Notons γ f(z)dz = f(z)=p(x,y)+iq(x,y), γ(t)=u(t)+iv(t) + i b a b a ( P(u(t),v(t)) u (t) Q(u(t),v(t)) v (t) ) dt ( P(u(t),v(t)) v (t)+q(u(t),v(t)) u (t) ) dt (.9) ce qui peut encore s écrire sous la forme f(z)dz= (Pdx Qdy)+i (Pdy+Qdx). (.0) γ γ Si on considère maintenant un chemin fermé qui borde un domaine D (on peut raisonner comme s il s agissait der 2 ) alors ( f(z)dz= Q γ D x P ) ( P dxdy+i y D x Q ) dxdy (.) y par la formule de Green-Riemann. En effet, la normale extérieure au lacet est (v (t), u (t)) et par exemple ) (Pdx Qdy)= R n ds= div( R dxdy γ et le résultat s ensuit car R=( Q, P). Or, par les formules de Cauchy-Riemann Q/ x = P/ y et P/ x = Q/ y 7 γ

9 Fonctions d une variable complexe et on conclut que pour tout lacet γ, si la fonction f(z) est analytique, alors γ f(z)dz=0. (.2) On peut affiner ce résultat, en considérant une fonction f(z) analytique dans D sauf en un point z 0 D où f(z) est continue mais pas analytique. Soit γ le lacet qui borde D et considérons un cercle de rayon ε noté γ ε centré en z 0. Alors la réunion de γ et γ ε bordent un domaine D dans lequel f(z) est analytique. Pour des raisons de topologie, pour que ce soit un bord dit orienté, γ ε tourne dans le sens négatif, cf. figure.2. Alors avec γ f(z)dz= f(z)dz γ ε γ ε f(z)dz 0, quand ε 0 car f(z) est continue en z 0 et par conséquent on a encore Soit maintenant z 0 et la fonction γ f(z)dz=0. h(z)= z z 0. Evidemment, h(z) est analytique sauf en z 0 où elle a une singularité, donc elle est analytique dans le domaine D avec le point z 0 exclu défini ci-dessus (cf. figure.2) et h(z)dz + γ h(z)dz= 0. γ ε Le lacet γ ε tourne dans le sens négatif et donc γ ε = εe 2iπt + z 0,0 t, ce qui permet de calculer l intégrale γ ε h(z)dz= 0 ε( 2iπ)e 2iπt dt = 2iπ. εe 2iπt Par conséquent, pour tout lacet contenant z 0 on aura γ dz z z 0 = 2iπ. (.3) 8

10 Développement en série de fonctions analytiques On considère f(z) une fonction analytique dans D et on forme la fonction g(z)= f(z) f(z 0) z z 0 qui est analytique dans D sauf en z 0, mais cette fonction est continue en z 0 car elle y a une limite f (z 0 ), la fonction f(z) étant analytique. Donc, d après ce qui précède, pour tout lacet γ contenant z 0 f(z) f(z 0 ) dz=0. γ z z 0 Utilisant le résultat (.3), on obtient la formule de Cauchy f(z) dz=2iπ f(z 0 ) (.4) z z 0 γ On peut remarquer ici que le resultat ne dépend pas de γ. En effet soit un autre lacet γ tel que z 0 se trouve à l intérieur et on suppose que f(z) est analytique dans le domaine compris entre γ et γ. La réunion de γ et γ bordent un domaine D dans lequel f(z)/(z z 0 ) est analytique et d où (il faut inverser pour des raisons de topologie le sens de parcours d un des deux lacets) γ f(z) dz z z 0 γ f(z) z z 0 dz=0. On dira que l on peut déformer continûment le contour γ vers γ à condition de ne pas rencontrer z 0 le point singulier de f(z)/(z z 0 ). Exemple : On cherche à calculer I = γ e z sin(z) dz, z 2i la fonction à intégrer s écrivant comme f(z)/(z z 0 ) avec f(z)=e z sin(z), qui est analytique et z 0 = 2i. Si donc γ est un lacet qui contient z 0, alors I= 2iπ e 2i sin(2i)= (2iπ)(ie 2i sinh(2))= 2πe 2i sinh(2) tandis que si γ ne contient pas z 0 alors I = 0..3 Développement en série de fonctions analytiques Grâce à la formule de Cauchy (.4) on peut écrire f(z )= f(z) dz 2iπ z z 9 γ

11 Fonctions d une variable complexe FIGURE.3 Contours pour la représentation d une fonction analytique sous forme de série entière. pour toute fonction analytique dans D et z D. Soit maintenant z 0 dans D et on choisit un cercle γ R centré en z 0, de rayon R et contenu dans D (cf. figure.3). On construit un petit disque D s centré en z 0 de rayon s<r. Alors pour tout z D s on aura z z 0 z z 0 <, si z γ R. On peut donc écrire z z = ( ) = (z z 0 ) z z 0 z z 0 z z 0 n=0 ( z z 0 z z 0 cette dernière série étant normalement convergente pour tout z γ R. Par la formule de Cauchy on aura f(z )= f(z) ( ) ) z z n [ 0 dz= 2iπ γ R z z 0( n=0 z z 0 2iπ γ R n=0 ) n ] f(z) dz (z (z z 0 ) n+ z 0 ) n (.5) pour tout z D s. Cette relation est valable pour z dans tout disque D s centré en z 0 de rayon s<r. Donc, si f(z) est analytique dans un domaine D contenant z 0 et le disque de rayon R centré en z 0, alors on peut écrire f(z) dans ce disque, hormis le bord, sous la forme d une série entière f(z)= a n (z z 0 ) n, avec a n = n=0 2iπ γ R f(z) dz. (.6) (z z 0 ) n+ On déduit donc qu une fonction f(z) analytique, donc dérivable par rapport à z, est en fait indéfiniment dérivable. Dérivant f(z)= n=0 a n(z z 0 ) n à l ordre k on trouve a k = f (k) (z 0 )/k! et par (.6) 0

12 Série de Laurent, formule des résidus f (n) (z 0 )= n! f(z) dz. (.7) 2iπ γ R (z z 0 ) n+.4 Série de Laurent, formule des résidus Des fois ds fonctions f(z) sont analytiques dans une couronne plutôt que dans un disque. Prenons par exemple f(z)= z(z ) alors cette fois-ci la fonction est analytique pour 0< z < mais aussi pour z >. On peut écrire f(z)= z z et si z < alors on peut écrire et z = z z2 + f(z)= z n=0 z n. Si par contre z >, alors z = z ( z) = z car z < et alors f(z) peut encore s écrire f(z)= n=2 z n. n=0 ( ) n z Ici on voit qu on peut écrire f(z) sous forme d une série en z n. On peut, en généralisant cette approche, définir ce qu on appelle une série de Laurent pour les fonctions analytiques, de la façon suivante. Soit z 0 C et γ r le cercle centré (parcouru positivement) en z 0 de rayon r et γ R le cercle centré en z 0 de rayon R>r. On note A l anneau r< z z 0 <R (cf. figure.4) et on suppose que f(z) est analytique dans A. Soit z A et considérons g(z)= f(z) f(z ) z z, z z, et g(z )= f (z ). (.8)

13 Fonctions d une variable complexe FIGURE.4 Contours pour la représentation d une fonction analytique sous forme de série entière. Alors g(z) est analytique sauf en z mais g(z) est continue en z. Le bord γ de l anneau est précisément la réunion des cercles γ R et γ r (il faut parcourir alors γ r dans les sens négatif) et on peut donc affirmer (cf. chapitre.2) que g(z)dz=0= g(z)dz g(z)dz. (.9) γ γ R γ r On constate ensuite que z z est analytique dans le disque centré en z 0 de rayon r et donc dz=0. γ r z z Par contre, d après le chapitre.2 γ R z z dz=2iπ. On en déduit, injectant (.8) dans (.9), que f(z )= f(z) dz 2iπ z z 2iπ Soit alors z γ R, alors et on peut écrire z z = γ R z z 0 z z 0 < ( ) = (z z 0 ) z z 0 z z 0 z z 0 2 γ r f(z) z z dz. (.20) n=0 ( ) z z n 0. z z 0

14 Série de Laurent, formule des résidus Par contre, si z γ r, alors et par conséquent z 0 z z 0 z < z z = On en déduit que et ( ) = (z 0 z ) z 0 z z 0 z z 0 z f(z) z z = f(z) = z z n=0 n=0 f(z) (z z 0 ) n+(z z 0 ) n, si ( ) z0 z n. n=0 z 0 z z γ R f(z) (z z 0 ) n+(z z 0) n, si z γ r. Par conséquent (.20) peut s écrire sous la forme ( ) f(z) f(z ) = dz (z n=0 2iπ γ R (z z 0 ) n+ z 0 ) n ( ) + f(z)(z z 0 ) n dz (z z 0 ) n. (.2) 2iπ γ r n= On peut donc énoncer le résultat suivant : Théorème Soit f(z) une fonction analytique dans l anneau A défini comme r < z z 0 <R. Alors pour tout z A, f(z) admet un développement en série de Laurent de la forme f(z)= n=0 En effet, d après ce qui précède a n = 2iπ γ R a n (z z 0 ) n + n= a n (z z 0 ) n (.22) f(z) (z z 0 ) n+ dz, n 0, a n = f(z)(z z 0 ) n dz, n. 2iπ γ r (.23) Exemple de serie de Laurent : Soit z >0 et on considère e /z = + n= n! z n et a 0 =, a n = 0,n, a n = n!, n. 3

15 Fonctions d une variable complexe Définition 2 Supposons que la série de Laurent de f pour l anneau centré en z 0 n a qu un nombre fini de termes en /(z z 0 ) n, c.-à-d. f(z) est de la forme f(z)= a m (z z 0 ) m + a z z 0 + n=0 a n (z z 0 ) n (.24) avec a m 0. Alors on dit que f(z) possède un pˆole (une singularité) d ordre m en z 0. La fonction f(z) est analytique dans D {z 0 } et on appelle résidu en z 0, noté Res( f,z 0 ), le coefficient a du terme z z 0 dans le développement en série de Laurent de f en z 0. En fait, le théorème des résidus reste encore valable pour des fonctions développables en série de Laurent au voisinage de z j, j=,,m, de D. En effet, au voisinage de chaque z j la fonction f admet un développement en série de Laurent, i. e. f(z)= n=0 a n, j (z z j ) n + n= avec f j (z) analytique et v j (z) singulière en z j. a n, j (z z j ) n = f j(z)+v j (z) (.25) Soit donc f(z) une fonction analytique sauf en un ensemble de points z j, j =,,m (où f(z) a des pôles) que l on suppose se situer à l intérieur d un lacet γ (orienté positivement). On note γ j,ε les cercles centrés en z j de rayon ε et par- FIGURE.5 Domaine avec petits lacets autour des pôles z j de f(z). couru négativement, comme illustré par la figure.5. Alors la réunion de γ avec l ensemble des γ j,ε, j =,,m bordent un domaine dans lequel f(z) est analytique et on peut donc écrire (cf. la discussion plus haut) γ f(z)dz= m f(z)dz. j= γ j,ε 4

16 Calcul pratique des résidus, application aux intégrales Or, au voisinage de chaque z j on peut développer f(z) sous la forme (.25) et donc pour chaque j=,,m f(z)= v j (z)dz γ j,ε γ j,ε ( f j (z) étant analytique). Pour intégrer v j (z) il suffit de connaître l intégrale des fonctions(z z j ) n d après la série de Laurent et γ j,ε (z z j ) n dz= 2iπεe 2iπt { 2iπ si n= 0 ε n e 2iπnt dt = 0 si n 2 On en déduit le théorème des résidus en termes des coefficients a, j des développements de Laurent au voisinage des points z j, à savoir γ f(z)dz= n 2iπ a, j j(z j,γ) (.26) j= avec j(z j,γ)= si z j est à l intérieur du lacet γ et j(z j,γ)=0 sinon. On suppose ici que le lacet ne tourne qu une fois autour de z j à l intérieur, pour que le lacet constitue le bord (orienté) d un domaine..4. Calcul pratique des résidus, application aux intégrales. Si z 0 est un pôle simple de f avec (g analytique et g(z 0 ) 0) alors f(z)= g(z) z z 0 Res( f,z 0 )=g(z 0 )= lim z z0 (z z 0 ) f(z). D une manière générale si f(z) possède un pôle simple en z 0, on peut l écrire au voisinage de z 0 sous la forme avec g(z) analytique et f(z)= a z z 0 + g(z) a = lim z z0 (z z 0 ) f(z) 5

17 Fonctions d une variable complexe Soit 2. Si f(z)= P(z) Q(z) avec P,Q analytiques au voisinage de z 0 et Q admet un zéro simple en z 0 (c.-à-d. Q(z 0 ) = 0 mais Q (z 0 ) 0). La fonction f(z) a alors un pôle simple en z 0, si P(z 0 ) 0, et (z z 0 )P(z) Res( f,z 0 )= lim z z0 Q(z) Q(z 0 ) = P(z 0) Q (z 0 ) f(z)= g(z) (z z 0 ) p avec p > et g analytique ( f(z) a alors un pôle d ordre p en z 0 ), alors le résidu est égal au coefficient (z z 0 ) p du développement en série de g(z) et Res( f,z 0 )= g(p ) (z 0 ) (p )!. Nous allons aborder maintenant un certain nombre d intégrales type que l on peut résoudre grâce au théorème des résidus. Tout d abord nous avons besoin de quelques résultats intermédiaires. On considère des chemins qui sont des arcs de cercle de rayon r et d angles compris entre θ et θ 2. On suppose que f(z) est continue dans le secteur θ θ θ 2 decavec θ=arg(z). Alors θ2 f(z)dz = rie it f(re it )dt γ r θ r(θ 2 θ ) sup f(z) =(θ 2 θ ) sup z f(z). z =r z =r Donc, si lim z f(z) = 0, alors z γ r f(z)dz 0, quand r. (.27) 6

18 Calcul pratique des résidus, application aux intégrales De la même façon on montre que si lim z f(z) = 0, alors z 0. On cherche à calculer des intégrales du type I = γ r f(z)dz 0, quand r 0. (.28) 2π 0 F(sin(t), cos(t))dt avec F(x,y) une fraction rationnelle. On pose z=e it et alors sin(t)= ( z ), cos(t)= ( z+ ) 2i z 2 z et prenons γ γ(t)= e it,0 t 2π. Alors dz=ie it dt = izdt et l intégrale devient ( ( I = F z ), 2i z 2 et ( z+ z I = 2π Res( f,z k ) k )) dz iz avec z k les pôles à l intérieur du cercle de rayon centré en 0 de la fonction f(z)= ( ( z F z ), ( z+ )). 2i z 2 z Exemple (exercice) : Montrer que I = 2π 0 dt a+sin(t) = 2π a 2 2. On considère maintenant des intégrales du type I = F(x)dx si a>. avec F fraction rationnelle sans pôles réels et on suppose que F xn, quand x ± 7

19 Fonctions d une variable complexe avec n 2 (de façon à ce que I converge). On considère comme lacet le demi-cercle supérieur de rayon r et γ F(z)dz = r r F(r)dr + δ r F(z)dz=2iπ Res(F,z k ) k avec z k les pôles de F(z) dans le demi-plan supérieur. Ici δ r est l arc du demi-cercle supérieur. Or, d après l hypothèse sur F(z) zf(z) z n, pour z et n 2implique que et d après ce qui précède lim zf(z) =0 z lim F(z)dz=0. r δ r On en déduit que Exemple (exercice) : Montrer que 0 I = 2iπ Res(F,z k ). k dx +x 6 = 2 3. On aborde maintenant des intégrales du type I = e ix f(x)dx 8 dx +x 6 = π 3.

20 Calcul pratique des résidus, application aux intégrales (des intégrales de Fourier) avec f analytique dans le demi-plan supérieur sauf en un nombre fini de points. On démontre un résultat général, à savoir que si lim f(z) = 0 z alors pour tout arc de cercle de rayon r et 0 θ θ θ 2 π on aura lim f(z)e iz dz=0. r γ r En effet θ2 f(z)e iz dz= f(re iθ )e r sin(θ) e ir cos(θ) ire iθ dθ. γ r θ En prenant le module on aura f(z)e iz θ2 dz max f(re iθ ) e r sin(θ) rdθ γ r θ θ θ 2 Or, θ2 θ e r sin(θ) rdθ π par la relation bien connue 0 θ π/2 e r sin(θ) rdθ 2 e 2 π rθ rdθ=π( e r ) π. 0 2 π sin(θ), si 0 θ π θ 2. On en déduit que ce qui est appelé le lemme de Jordan f(z)e iz dz max f(re iθ ) π 0, r. γ r θ θ θ 2 On en déduit la valeur de l intégrale I ci-dessus I = 2iπ Res( f(z)e iz,z k ) k avec z k les pôles de f(z) dans le demi-plan supérieur, à condition que f(z) ne possède pas de pôles sur l axe réel. Si d une manière générale g(z) possède un pôle sur l axe des réels, par exemple un pôle en 0, alors on contourne le pôle par un petit demi-cercle (voir figure). S il s agit d un pôle simple alors au voisinage de zéro on pourra considérer la série de Laurent g(z)=u(z)+ a z avec u(z) analytique et (le demi-cercle étant orienté négativement) lim ε 0 γ ε g(z)dz=a γ ε z = a 9 π 0 iεe iθ εe iθ dθ= iπa.

21 Fonctions d une variable complexe 4. Maintenant nous abordons des intégrales du type I = 0 F(x) x α dx, 0<α<, avec F(z) une fraction rationnelle sans pôles sur R +. Par ailleurs on suppose que lim x F(x)=0. Soit f(z)=f(z)z α = F(z)e αlog(z). On choisit la détermination du logarithme telle que log(z)=log(r)+iθ, z=re iθ,0<θ<2π, c.-à-d. on enlève le demi-axe des réels positifs. On prend le lacet comme sur la figure avec 0<ε ε r. Alors log(x+iε ) log(x), si ε 0 et et on en déduit que log(x iε ) log(x)+2iπ, si ε 0 (x+iε ) α x α, (x iε ) α e α2iπ x α. 20

22 Calcul pratique des résidus, application aux intégrales On note δ le lacet complet et en faisant tendre ε 0 on obtient F(z)z α dz= F(z)z α dz+ F(z)z α dz+ ( e α2iπ) δ γ r γ ε r ε F(x)x α dx. Or, d après les hypothèses sur la fraction rationnelle F(x) et par 0<α<on aura et zf(z)z α 0, z 0 zf(z)z α 0, z et par conséquent les intégrales le long de γ r et γ ε tendent vers zéro lorsque ε 0 et r. Or F(z)z α dz=2iπ Res(F(z)z α,z k ) δ k avec les résidus dans le plan complexe et par conséquent 0 5. Enfin, on aborde des intégrales du type F(x)x α 2iπ dx= e α2iπ Res(F(z)z α,z k ). k I = 0 F(x) log(x)dx avec F(x) fraction rationnelle sans pôles sur R + et telle que lim x xf(x) = 0. On considère f(z)=f(z)(log(z)) 2 et on choisit le lacet comme pour l exemple précédent. Alors et F(x+iε )(log(x+iε )) 2 F(x)(log(x)) 2, ε 0 F(x iε )(log(x iε )) 2 F(x)(log(x)+2iπ) 2, ε 0. A nouveau les intégrales le long de γ r et γ ε tendent vers zéro quand r et ε 0 respectivement. En définitive il reste 0 4π 2 F(x)dx 4iπ 0 F(x)log(x)dx=2iπ Res(F(z)(log(z)) 2,z k ) k avec z k les pôles de f(z) = F(z)(log(z)) 2 dans le plan complexe. En prenant la partie imaginaire on trouve ( ) F(x)log(x)dx= 0 4π Im 2iπ Res(F(z)(log(z)) 2,z k ). k 2

23 22 Fonctions d une variable complexe

24 Chapitre 2 Eléments de la théorie des distributions 2. Définition des disributions, dérivée d une distribution En mécanique quantique Dirac a introduit au début des années 940 une fonction δ(x) supposée être égale à 0 pour x 0 et pour x = 0 et telle que son intégrale sur R est égale à. Cette fonction appelée masse de Dirac prend son sens lorsqu on l applique à des fonctions usuelles de façon à ce que δ(x) f(x) dx= f(0) ou encore pour tout a R δ(x a) f(x) dx= f(a). D une manière générale une distribution n est pas une fonction usuelle qui associe à tout x R n une valeur f(x) mais elle est définie lorsqu on l applique à des fonctions tests par l intermédiaire d une intégrale. Prenons par exemple une fonction f à variables x R n telle que f est intégrable dans tout domaine fermé borné de R n. On y associe une distribution, notée T f, définie en l appliquant à un ensemble de fonctions ϕ, on écrira < T f,ϕ>, de la manière suivante : < T f,ϕ>= f(x)ϕ(x)dx. (2.) Rn Avec cette définition, une distribution est une forme linéaire appliquée à un ensemble de fonctions. Il convient ici de bien choisir l espace auquel appartiennent 23

25 Eléments de la théorie des distributions les fonctions tests ϕ. Prenons par exemple n= et une fonction f telle que f est intégrable au sens de l intégrale impropre de Riemann dans tout intervalle fermé borné, donc f peut avoir des discontinuités en nombre fini précisément dans tout intervalle fermé borné. Si on choisit ϕ dans (2.) comme étant continue et nulle en dehors d un intervalle fermé borné, alors l intégrale de la définition (2.) a un sens. Il convient ici de constater que si f(x) est continue sur R, alors il est indifférent de définir f(x) de manière usuelle, ou comme une distribution par (2.) grâce au théorème : Théorème 2 Une fonction f(x) définie sur R et continue est parfaitement déterminée si la valeur de l intégrale f(x)ϕ(x) dx est connue pour toute fonction continue ϕ(x) qui s annule en dehors d un intervalle fermé borné, qui peut ḙtre différent pour différentes fonctions ϕ. Si la fonction f n est pas continue en tout point, elle sera encore moins dérivable en tout point. Le formalise des distributions permet précisément de généraliser la notion de dérivée. Considérons à nouveau n = et prenons d abord une fonction f(x) dérivable et on l applique en tant que distribution T f à une fonction ϕ également dérivable et nulle en dehors d un intervalle borné. Par l intégration par parties f (x)ϕ(x)dx= lim[ f ϕ] A A f(x)ϕ (x)dx= f(x)ϕ (x)dx A car ϕ(x) étant nulle en dehors d un intervalle borné, lim A [ f ϕ] A A = 0. En termes de distributions l égalité f (x)ϕ(x)dx= f(x)ϕ (x)dx peut encore s écrire < T f,ϕ>= <T f,ϕ >. (2.2) et la relation (2.2) permet de définir précisément la dérivée d une fonction, même discontinue en des points, au sens des distributions. Si d après le contexte il est clair qu il s agit de distributions, on écrit f pour T f et alors f la dérivée (au sens des distributions) est défini par < f,ϕ>= < f,ϕ >. (2.3) Si on veut généraliser cette procédure à des dérivées d ordres supérieurs, il convient d introduire l ensemble des fonctions indéfiniment dérivables nulles en 24

26 Définition des disributions, dérivée d une distribution dehors d un domaine fermé borné de R n que l on note C0 (Rn ) : on parle de l espace des fonctions indéfiniment dérivables à support compact, le support d une fonction étant le domaine où elle est non nulle. L exemple classique d une telle fonction dans R est { 0 ) si x ϕ(x)= exp( si x < x 2 FIGURE 2. Fonction à support compact. Pour des fonctions p fois continûment dérivables sur R on obtient, opérant des intégrations par parties successives et en utilisant des fonctions test de l espace C0 (R), f (p) (x)ϕ(x)dx=( ) p f(x)ϕ (p) (x)dx. Donc, on peut définir la dérivée p ème d une fonction f (pas forcément dérivable au sens usuel) en tant que distribution par la relation < f (p),ϕ>=( ) p f(x)ϕ (p) (x)dx. (2.4) On peut généraliser cette définition à des fonctions à plusieurs variables. Notant ( ) p ( ) ( ) pn D p = p2 x x 2 x n et en définissant p = p + p p n R < D p f,ϕ>=( ) p R n f(x)(dp ϕ)(x)dx=( ) p < f,d p ϕ> (2.5) 25

27 Eléments de la théorie des distributions pour tout ϕ C 0 (Rn ). Revenons à la masse de Dirac, qui à proprement parler ne peut pas être considérée comme une distribution associée à une fonction. On pourra cependant définir la masse de Dirac comme une distribution générale, c est-à-dire une forme linéaire sur l espace C 0 (Rn ), écrivant < δ,ϕ>= ϕ(0) ( ) = δ(x)ϕ(x) dx, (2.6) Rn l intégrale entre paranthèses étant écriture formelle par analogie avec les distributions associées à des fonctions. On peut d une manière générale définir les distributions T comme étant précisément des formes linéaires sur l espace C 0 (Rn ). Définition 3 On appelle distribution T une forme linéaire sur l espace C 0 (Rn ) et on note< T,ϕ> R les valeurs que prend T pour tout ϕ C 0 (Rn ). En plus cette forme linéaire doit ḙtre continue, c est-à-dire si ϕ m ϕ en tant que fonctions de C 0 (Rn ) quand m (les supports de ϕ m et ϕ étant tous inclus dans un mḙme domaine borné), alors< T,ϕ m > < T,ϕ>. Les dérivées successives d une distribution sont définies par les relations < D p T,ϕ>=( ) p < T,D p ϕ> (2.7) par analogie avec (2.5). Supposons maintenant que l on ait une suite{t m },m 0 de distributions. Définition 4 On dit que T m T, avec T une distribution, si et seulement si < T m,ϕ> < T,ϕ>, pour tout ϕ C 0 (R n ), lorsque m. (2.8) On peut précisément utiliser cette définition pour faire apparaître la masse de Dirac comme une limite de distributions associées à des fonction. Soit en effet (pour x R) f m (x)= m π e m2 x 2. Alors on montre (exercice) que lim < f m,ϕ>= lim f m (x)ϕ(x)dx=ϕ(0)=< δ,ϕ>. (2.9) m m (Ici, on note encore f m la distribution T fm ). Il suffit de tracer les fonctions f m pour se convaincre que la limite s apparente à une fonction de plus en plus raide localisée autour de 0. 26

28 Définition des disributions, dérivée d une distribution FIGURE 2.2 Fonctions f m pour m=2,6,0,4. Pour la dérivée des distributions, traitons comme exemple la fonction dite de Heaviside { si x>0 H(x)= (2.0) 0 si x<0 qui bien évidemment n est pas dérivable au sens usuel (elle n est même pas continue). On note la distribution associée T H également H et < H,ϕ> = <H,ϕ >= = 0 H(x)ϕ (x) dx ϕ (x)=ϕ(0)=< δ,ϕ> (2.) (car ϕ(x) 0 quand x ) et on en déduit que la dérivée au sens des distributions de la fonction de Heaviside est la masse de Dirac H = δ. (2.2) La relation (2.7) permet de définir la dérivée de δ(x) au sens des distributions par ou d une manière générale (ici pour x R). < δ,ϕ>= <δ,ϕ >= ϕ (0) (2.3) < δ (p),ϕ>=( ) p ϕ (p) (0) (2.4) 27

29 2.. La formule du saut Eléments de la théorie des distributions Soit maintenant une fonction indéfiniment dérivable, au sens usuel de la théorie des fonctions, pour x<a et x>a et telle que chacune des dérivées de f ait une limite à droite et une limite à gauche en a. On, note f, f etc. les dérivées successives de f au sens des distributions et { f }, { f } etc. les dérivées usuelles définies pour x>a et x<a. Par exemple si f = H la fonction d Heaviside alors H = δ mais{h }=0. Ecrivons a < f,ϕ> = < f,ϕ >= f ϕ dx f ϕ dx a = f(a )ϕ(a)+ a = ϕ(a)[ f(a + ) f(a )]+ f ϕ dx+ f(a + )ϕ(a)+ a f ϕ dx { f }ϕ dx (2.5) avec f(a + ) et f(a ) respectivement la limite à droite et à gauche de f en a. On note [ ] σ (m) a = f (m) (a + ) f (m) (a ) la différence de la limite à droite et à gauche en a de la dérivée d ordre m de f. La relation (2.5) peut encore s écrire (notant δ a = δ(x a)) < f,ϕ>=< σ (0) a δ a,ϕ>+<{ f },ϕ> et par conséquent, on peut écrire l égalité entre distributions f = σ (0) a δ a +{ f }. (2.6) On peut itérer ce procédé, en dérivant δ au sens des distributions et en appliquant le procédé ci-dessus à{ f } etc. pour obtenir la formule du saut f (m) = σ (0) a δ a (m ) + σ () a δ a (m 2) + +σ (m ) a δ a +{ f (m) }. (2.7) Cette formule permet par exemple de trouver la fonction u telle que u (x)=δ(x a), u(0)=u()=0, 0<a<. D après ce qui précède, en tant que fonction usuelle u devra être continue en a mais sa dérivée première devra exhiber un saut de en a et par ailleurs u (x)=0, x a. On peut se convaincre que la solution est { (a )x si 0 x a u= a(x ) si a x 28

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