Questions préliminaires

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1 ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES CONCOURS D ADMISSION 2015 FILIÈRE MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES A (XLCR) (Durée : 4 heures) L utilisation des calculatrices n est pas autorisée pour cette épreuve Pour n 1, l espace des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n est noté R n [X Étant donnés deux polynômes non nuls P et Q à coefficients réels, leur plus grand commun diviseur (pgcd) unitaire est noté P Q Si r 1 est un second entier, M r,n (R) désigne l espace vectoriel des matrices à r lignes et n colonnes à coefficients complexes La notation (m ij ) signifie que le coefficient à la ligne i et colonne j de la matrice M est m ij On note plus simplement M n (R) = M n,n (R), dont la matrice identité est I n M n (R) Le polynôme caractéristique χ M de M M n (R) est défini χ M (X) = det(xi n M) Le polynôme caractéristique est donc unitaire Pour M M r,n (R), t M M n,r (R) désigne la matrice transposée On rappelle qu une matrice carrée M M n (R) est symétrique si t M, orthogonale si t M I n On notera S n (R) (respectivement O n (R)) l ensemble des matrices symétriques (resp orthogonales) de taille n Étant donné un n-uplet (a 1,,a n ) de nombres réels, désigne la matrice diagonale associée (a 1,,a n ) = a 1 Si M S n (R), son spectre est réel On convient de ranger ses valeurs propres (comptées avec leurs ordres de multiplicité) dans l ordre décroissant λ 1 λ n On note alors Sp(M) = (λ 1,,λ n ), qui est donc un n-uplet ordonné Un n + 1-uplet λ = (λ 1 λ n+1 ) R n+1 et un n-uplet µ = (µ 1 µ n ) R n, ordonnés, sont dit enlacés si λ j µ j λ j+1 pour tout j {1,,n} Ils sont strictement enlacés si λ j > µ j > λ j+1 pour tout j Par exemple, (4,3,2,1) et (π,e, 2) sont strictement enlacés a n Questions préliminaires 1 (a) Montrer que O n (R) est un sous-groupe du groupe GL n (R) des matrices inversibles (b) Montrer que O n (R) est une tie compacte de M n (R)

2 2 Soit M et N dans S n (R) Montrer qu il existe U O n (R) tel que N = UMU 1, si et seulement si χ χ N 3 Soit λ = (λ 1 λ n+1 ) R n+1 et µ = (µ 1 µ n ) R n Soit x R Formons λ = (λ 1 λ i x > λ i+1 λ n+1 ) en choisissant l entier i {0,,n+1} convenablement Si x > λ 1, on a donc i = 0, tandis que si x λ n+1, on a i = n+1 On forme de même µ = (µ 1 µ j x > µ j+1 µ n ) On suppose que λ et µ sont enlacés Montrer que j i j +1 En examinant chacun des deux cas j = i ou i 1, montrer que λ et µ sont enlacés 1 Première Partie Soit µ = (µ 1 > > µ n ) R n 4 On définit les polynômes Q 0 = (X µ k ) et j {1,,n}, P j = Q 0 (X µ j ) (a) Montrer que la famille (Q 0,P 1,P 2,,P n ) est une base de R n [X (b) Soit j {1,,n} Vérifier que ( 1) j 1 P j (µ j ) > 0 5 Soit P R[X un polynôme unitaire de degré n + 1 (a) Montrer qu il existe un unique vecteur (a,α 1,α 2,,α n ) R n+1 tel que P = (X a)q 0 n α j P j (1) (b) On suppose que les nombres réels α 1,,α n sont tous strictement positifs Montrer que P a n+1 racines réelles distinctes λ 1 > > λ n+1, et que λ = (λ 1 > > λ n+1 ) et µ sont strictement enlacés (c) Réciproquement, on suppose que P a n+1 racines réelles distinctes λ 1 > > λ n+1, et que λ = (λ 1 > > λ n+1 ) et µ sont strictement enlacés Montrer que, pour tout j {1,,n}, α j > 0 6 On se donne des entiers m k 1 pour k = 1,,n On pose Q 1 = (X µ k ) m k et, cette fois-ci, P j = Q 1 X µ j Montrer que n Q 1 Q 1 = (X µ k ) mk 1 Page 2

3 7 Soit (a,α 1,α 2,,α n ) R n+1 et soit P R[X défini la formule P = (X a)q 1 n α j P j (a) Donner une expression de P Q 1 en fonction des µ j, des m j et de l ensemble J des indices pour lesquels α j = 0 (b) On suppose que les nombres α 1,,α n sont positifs ou nuls Montrer que les racines de P sont toutes réelles On admettra la suite que, dans ce cas le plus général, le (N + 1)-uplet des racines de P et le N-uplet des racines de Q 1 sont enlacés 2 Deuxième Partie 8 Soit r et s deux entiers naturels non nuls Soit A M r (R), B M r,s (R), C M s,r (R) et D M s (R) On suppose de plus que A est inversible On considère la matrice M M r+s (R) ayant la forme blocs suivante [ A B C D Trouver deux matrices U M r,s (R) et V M s (R) telles que [ A 0 C I s [ Ir U 0 V et en déduire que det(m) = det(a) det(d CA 1 B) On pourra admettre la suite que cette formule reste vraie lorsque M et ses blocs A,,D sont à coefficients dans le corps R(X) des fractions rationnelles 9 Soit M S n+1 (R) une matrice symétrique On écrit M sous la forme blocs avec a R, y M n,1 (R) et A S n (R) [ A y t y a (a) Si le spectre de A est Sp(A) = (µ 1 µ n ), montrer qu il existe U O n+1 (R) et z M n,1 (R) tels que [ UM t (µ1,,µ U = n ) z t z a (b) En déduire qu il existe des nombres réels positifs ou nuls α j (pour j = 1,,n) tels que n Q 0 χ (X a)q 0 α j (X µ j ), où Q 0 = (X µ k ) (c) Montrer que Sp(M) et Sp(A) sont enlacés Page 3

4 10 Pour T = (t ij ) M n+1 (R), on note T n la matrice extraite de taille n dont les coefficients sont les t ij pour 1 i,j n Soit M S n+1 (R) Montrer que l ensemble {Sp((UMU 1 ) n ) R n, pour U courant O n+1 (R)}, noté C M, est une tie compacte de R n 11 On suppose de plus que les valeurs propres de M sont distinctes On a donc Sp(M) = (λ 1 > > λ n+1 ) (a) Soit µ = (µ 1 > > µ n ) tel que Sp(M) et µ soient strictement enlacés Montrer que µ aptient à C M (b) Montrer que C { µ = (µ 1 µ n ), tels que Sp(M) et µ soient enlacés} (2) On considère l application 3 Troisième Partie Diag n : S n (R) R n (m ij ) (m 11,m 22,,m nn ) Soit M S n (R) Dans cette tie, on se propose d étudier l ensemble suivant D {Diag n (UMU 1 ), pour U courant O n (R)} 12 On étudie d abord le cas n = 2 On note alors Sp(M) = (λ 1 λ 2 ) Montrer que D M est le segment de R 2 dont les extrémités sont (λ 1,λ 2 ) et (λ 2,λ 1 ) 13 Soit (m ij ) S n (R) On note Sp(M) = (λ 1 λ n ) R n On se propose de démontrer que, pour tout s {1,,n}, on a : s m ii i=1 s λ i (3) i=1 (a) Que pensez-vous du cas s = n? (b) Exprimer n 1 i=1 m ii au moyen des valeurs propres de la matrice M n 1 obtenue en supprimant la dernière ligne et la dernière colonne de M En déduire l inégalité (3) lorsque s = n 1 (c) En procédant récurrence sur n, montrer l inégalité (3), pour tout s {1,, n} 4 Quatrième Partie 14 On note E l espace vectoriel R 2 muni du produit scalaire standard et de la base canonique B = {e 1,e 2 } On définit une base C = {ω 1,ω 2 } de E ω 1 = e 1 et ω 2 = 1 2 (e 1 + 3e 2 ) (a) Soit s 1 : E E la symétrie orthogonale ( ) rapport à la droite Rω 1 Montrer que la 1 1 matrice de s 1 dans la base C est 0 1 Page 4

5 (b) Soit s 2 : E E la symétrie orthogonale ( ) rapport à la droite Rω 2 Montrer que la 1 0 matrice de s 2 dans la base C est Soit H l ensemble des vecteurs (m 1,m 2,m 3 ) R 3 tels que m 1 +m 2 +m 3 = 0 On note H + le sous-ensemble des (m 1,m 2,m 3 ) H tels que m 1 m 2 m 3 On considère l application ϕ : H E (m 1,m 2,m 3 ) (m 1 m 2 )ω 1 +(m 2 m 3 )ω 2 (a) Montrer que ϕ est un isomorphisme linéaire Décrire ϕ(h + ) (b) Montrer que, pour tout (m 1,m 2,m 3 ) H, on a s 1 ϕ(m 1,m 2,m 3 ) = ϕ(m 1,m 3,m 2 ) et s 2 ϕ(m 1,m 2,m 3 ) = ϕ(m 2,m 1,m 3 ) (c) Soit λ = (λ 1,λ 2,λ 3 ) H tel que λ 1 > λ 2 > λ 3 On note l ensemble des Q λ (m 1,m 2,m 3 ) H + tels que m 1 λ 1 et m 1 + m 2 λ 1 + λ 2 Montrer que ϕ(q λ) est un quadrilatère dont on décrira les sommets 16 Soit M S 3 (R) une matrice de trace nulle On note Sp(M) = (λ 1 λ 2 λ 3 ) On se propose de décrire ϕ(d M ) (a) Soit(m 1,m 2,m 3 ) H Soitσ une permutation de{1,2,3} Montrer que(m 1,m 2,m 3 ) D M si et seulement si (m σ(1),m σ(2),m σ(3) ) D M (b) En utilisant la question 13, montrer que l intersection H + D M est incluse dans Q λ (c) Soit(m 1,m 2,m 3 ) D M Montrer que le segment deh dont les sommets sont(m 1,m 2,m 3 ) et (m 2,m 1,m 3 ) est inclus dans D M On pourra utiliser la question 12 De même, montrer que le segment deh dont les sommets sont(m 1,m 2,m 3 ) et(m 1,m 3,m 2 ) est inclus dans D M (d) Montrer que D M contient Q λ (e) Montrer que si λ 1 > λ 2 > λ 3 alors ϕ(d M ) est un hexagone, dont on déterminera les sommets Page 5