L'impact de la prise en compte des sauts boursiers dans les problématiques d'assurance

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1 'mpc de l pre e compe de borer d le problémqe d'rce Frédérc PCHET Perre-E. THEROD α ISF Uveré yo β Joël Wer & océ γ RESUME objecf de ce rvl e de propoer modèle qe opéroel égr de por cf rqé, e géérl le modèle de Blc & Schole. Ce modèle e celleme l référece por le prce de l rce, or d le ovelle problémqe egedrée pr le chgeme compble (IFRS) e prdeel (Solvblé ), ce modèle pe codre à o-emer le rqe de plceme e pr là le provo o ecore le cpl cble de l océé. e procédre qe d emo de prmère d modèle ree (modèle de Mero) o préeée e llrée r de doée réelle p le modèle e m e œvre d de problémqe de prcg d opo e de déermo d cpl de olvblé. MOTS-CEFS : Modèle d cf, proce à, olvblé, emo. BSTRCT The m of h pper o propoe operol cl model wh jmp for ry e, by geerlzg he model of Blc & Schole. Th model crrely he referece for he exper rce, b he ew coex geered by he ccog drd chge (IFRS) d prdel chge (Solvecy ), h model c rel deremg he r of plceme d by here he provo or he rge cpl of he compy. The cl procedre for he emo of he prmeer of he model eleced (model of Mero) re preeed d llred o rel d he he model ppled problem of prcg of opo d deermo of rge cpl. KEYWORDS : e model, jmp proce, olvecy, emo. Jorl of Ecoomc erre Clfco: C3 & G. Frédérc Plche e profeer océ de Fce e d rce à l ISF (Uveré yo Frce) e cre océ chez Joël Wer & océ. Coc : α Perre Thérod e éd e docor à l ISF e cre chez Joël Wer & océ. Coc : β I de Scece Fcère e d rce (ISF) - 5, vee Toy Grer yo Cedex 7. γ Joël Wer & océ - 9, re Bejo 758 e 8, vee Félx Fre 697 yo. - -

2 . Irodco e modèle de référece por l modélo de l évolo de cf rqé e, d le modèle d rce, cel de BCK e SCHOES [973], q codère qe le cor peve êre repréeé pr moveme browe géomérqe. e hypohèe de ce modèle o rè rercve : coé de rjecore, coce de l vollé, log-ormlé de redeme, ec. U cer ombre d obervo emprqe (cf. MDEBROT [96], [963] e FM [965]) corede mfeeme ce hypohèe : le prx e odeme, le éde emprqe more qe l vollé e p coe e rpl le qee de drbo o pl épe qe celle d e lo log-ormle. e grphqe c-deo llre ce coo : D le coexe cel d lo d modèle de Blc e Schole e rce, eeelleme d le cdre de l déermo d lloco régqe e de l évlo d opo (por de gre plcher r de cor e é de compe pr exemple), cee relve déqo d modèle à l rélé vère ez pe péle. E prqe elle e lrgeme compeée pr l fclé de me e œvre d modèle. Toefo, le proje Solvblé (cf. COMMISSIO EUROPEEE [3], [4] e I [4]) e cor d élboro modfe profodéme le règle de fxo d ve de fod propre e rce e rod comme crère explce le corôle d rqe globl pporé pr l océé. Ce rqe devr omme êre qfé rver l probblé de re. D ce ove coexe, le covée prcpx de modélo de ype «browe géomérqe» e omme l ffce de l éper de qee de drbo (q cod à e rop fble repréeo de évèeme rre) e l o pre e compe de choc, à l he o à l be, r le cor (q cod à e p égrer modèle d évèeme excepoel e brx) peve vor de coéqece mpore r l ppréco d ve de cpl écere por corôler l re ve fxé. Ce po e pr exemple bordé d BOTT [4] por le c de opo cchée d cor d éprge, e d PCHET e THEROD [5] d le cdre d modèle moo pérodqe mplfé e rce o-ve por l déermo d cpl cble e l lloco d cf. Comme dqé déb de ce rvl, grd ombre de olo lerve modèle de Blc e Schole o éé propoée d l lérre : o pe omme meoer le Evolo f 4 d re de Mercer, doée e de hp://www.yhoo.fr. - -

3 modèle..d. α -ble (cf. FM e RO [97]), le modèle à vollé ochqe, comme pr exemple cel de HU e WHITE [987], de proce mxe browe Poo (cf. BEMY [999]), o ecore de mrgle dcoe (cf. DRITSCHE e PROTTER [999]). e méhode qe océe à ce ype de proce o ove dffcle à mere e œvre (vor pr exemple D ESTMPES [3] r ce je). Compe e de l plce prvlégée d moveme browe géomérqe, o o éreo c x modèle géérl cee pproche e cl le moveme browe géomérqe comme c prcler. e modèle propoé pr MERTO [976] e de ce po de ve ez rel ; c e doc le modèle qe o reedro c. ore objecf e de propoer e méhodologe qe mple à mere e œvre perme de décder, d le coexe rppelé c-de, le modèle orgl de Blc e Schole pe êre lé e l é, o modèle égr de e mex dpé doée dpoble. o repreo le modèle propoé pr MERTO [976] e o o pro por cel de l démrche propoée pr RMEZI e ZEG [998] por l emo de prmère pr mxmm de vremblce. prè vor décr le modèle e l procédre d emo propoée, o llro cee pproche vec por exemple le re lcel. e coéqece de l préece de d le modèle d cf o développée d OISE e l. [5] por ce q cocere l qeo de l déermo d cpl de olvblé e d BOTT [4] por le évlo e orme IFRS de pf d rce. e prée rvl e pré d rvl de recherche effecé d le cdre de l I de Scece Fcère e d rce de l Uveré yo pr BOI, GEOT e MOMEI [5].. Modélo de l cf rqé.. éeo d modèle o repreo le modèle propoé pr MERTO [976]. o codéro qe le prx de l cf S préee de log-ormx V,..,V à de léore τ, τ,..., τ q o j j le de d proce de Poo. Ere dex de o ppoe qe l dymqe d cor repece le modèle de Blc e Schole. Cel cod prè qelqe mplo à l expreo ve d cor : S S exp B U, () où : e moveme browe. ( B ) ( B ) O porr e reporer por l démoro à MBERTO e PEYRE [997]

4 ( ) ( ( ) ( ) e proce de Poo homogèe d eé λ. U e e e de vrble léore dépede deqeme U ) (, ). drbée de lo e lo ormle e proce B, e U o melleme déped. O ppoer pere de géérlé d l e qe S ( ). e o c, d oc de mplcé, ppoé ymérqe e e moyee l ; de modèle pl élboré à dymérqe peve égleme êre propoé, comme d RMEZI e ZEG [998]. o le le codérero p c, l objecf é d ober modèle d ve de mplcé proche de cel de Blc e Schole. e modèle obe perme d or e déjà de repréeer le dfféree o xqelle o o éreo : rmèe modèle clqe de Blc e Schole, o doe e évolo preme dcoe, e d le re c le modèle ègre le dex compoe. oo Ψ l rb egedrée pr le B, por e U por j ; B e moveme browe drd pr rppor à l flro Ψ, e proce dpé à cee même flro. De pl >, e déped de l rb Ψ. lo de S e coe explceme d ce modèle : { } x >, S x e.! l x opoo : Por o [ ] ( ) λ λ Φ Démoro : [ S( ) x] U ( ) B l x U ( ) B l x, U ( ) B l x [ ], pqe le proce, B e U o melleme déped. ller, le proce U U e é déped e ge, ler omme e égleme gee : B ( B ~ ; ). Ef comme e proce de Poo d eé λ, por o >, l v.. e drbée elo e lo de Poo de prmère λ e doc λ [ ] ( λ ) e.! - 4 -

5 orqe λ (c de l bece de ) o rerove l lo log-ormle elle d browe géomérqe. D le c géérl, l expreo de l propoo c-de perme d pprocher mérqeme l drbo de l cf e e coerv q ombre f de erme d l omme. E prqe, le 7 premer erme fore e pproxmo fe. e pplco mérqe préeée d le prée rcle o effecée e coerv le 5 premer erme. De pl, d cee modélo le mome d ordre qelcoqe e clcle mpleme. C e l obje de l propoo ve. opoo : Por o p R o : p [ ] p S( ) exp p λ[ exp( p ) ] E, () Démoro : So R, o : E exp p pb p U. e erme léore de l expoeelle o déped ce q rmèe le clcl prod de E [ exp{ pb }] e E exp p U. Por o, e e v.. de lo ; doc > p p E[ S( ) ] B p E [ exp{ pb }] exp, (3) ller o v (cf. l démoro de l propoo ) qe ( λ ) λ E exp p U e E exp p U, (4)! Comme le o ge e ceré, e doc p E exp p U exp, (5) E exp p U e λ λ p exp exp{ λ[ exp( p ) ] }!. (6) Ce q perme d ober le rél

6 Remrqe : prméro reee por le modèle décole dreceme de l jo d e compoe à modèle décr pr l éqo dfféreelle ochqe ds db ; elle cod à redeme epéré égl à m S, e o à. orqe l o er meé à comprer le modèle drd de Blc e Schole vec le modèle de Mero, o mpoer comme core l églé de l epérce e de l vrce d redeme d le dex modèle, ce q cod doc à e p ler le même prmère. E o m l vrce ole d redeme e compoe à ( α U λ ) m α l pr de cee vrce océe à l, l prméro «relle» e doc de ce po de ve m,m, α, λ e o,, λ,. o lero ore prméro le d l préeo de rél héorqe, e l prméro «relle» por jfer le ve de hypohèe effecée d le pplco mérqe propoée... Emo de prmère démrche d emo de prmère celle propoée d RMEZI e ZEG [998] d le cdre d modèle proche. D premer emp de emer o obe pr l méhode de mome. Ce emer o lé por ler lgorhme de mxmo de l vremblce, e ober de emer pl préc bééfc de propréé clqe de emer d mxmm de vremblce : covergece, effccé ympoqe, ormlé ympoqe. e redeme de l cf r [, h] écr : S S h exp exp ( ² )( h) B h h ² B U U (7) ce q cod prè mplfco à l expreo : S h S ² ( ) h exp h B h B U (8) O e déd qe, l o dpoe de obervo de cor éqrépre x T S r ervlle [,T ], le vrble ( ) x x l o elle qe : S x ( ) T T T T T B B U U (9) Cel prove qe le vrble léore x,.., x o dépede e deqeme drbée. E d re erme le redeme r de ervlle djo o déped, - 6 -

7 e l drbo d redeme déped de l loger de l ervlle m p de poo. prx d chgeme d échelle, o pe doc ojor ppoer qe le p de l T S( ) bdvo e égl à ; o e rmeé à déermer l lo de r l, S() q e dépede de. De pl, comme mélge de lo bolme coe, l lo d redeme e bolme coe. O d ce codo le rél v : opoo 3 : deé de r écr : λ λ x f x e exp r π ( )! () Démoro : O le rgme de codoeme pr rppor ombre de d proce de Poo, q o cod à écrre, vec de oo évdee fr ( x) fr ( x) [ ] ; codoelleme f qe le proce é fo r,, le redeme e lo ormle comme omme de vrble gee : [ ] ( ) B() r U d prè (9) e le propréé de oré de ccroeme d moveme browe e d proce de Poo ; o e déd qe : f r ( exp x ( x) () π ce q perme d ober le rél. Icdemme, cel more qe l lo d redeme e mélge de lo ormle, l lo de mélge é l lo de Poo. éqo () combée vec (8) perme d ller d ober e expreo mple de l rformée de plce de r : βr [ ] β e exp β λ[ exp( β ) ] E () o lero oefo p cee expreo d l e.... Méhode de mome e modèle e décr pr qre prmère ; l églo de qre mome emprqe vec le mome héorqe correpod cod à yème de qre éqo à qre coe q v o permere d e déermer de emer. Compe e de l forme de l lo d redeme, o éree x mome ceré. S m E[ r ], o v doc - 7 -

8 [ ] clcler m ( r m) E ; rgme de ymére cod à coclre qe m. Il ff doc de déermer le mome d ordre pr. O lor le rél v : opoo 4 : e mome ceré d ordre de r écr : m E r m e λ ( )! λ ( )!! (3) Démoro : oo l vrce de l lo codoelle à. D prè ce q précède, o : λ exp( m λ ) x exp x m dx. (4)! π e chgeme de vrble π x m cod à : exp, (5) ( x m) ( x m) dx c vec c exp d. e clcl d coeffce c effece mpleme pr π ( )! récrrece v e égro pr pre e o rove fleme c, ce q erme! l démoro. O pe e prcler remrqer vec qe l vrce de r écr [ ] V r m λ, q e e expreo relle. Cee expreo pe égleme êre obee dreceme pr pplco de l éqo de décompoo de l vrce. réolo d yème o lére à qre éqo e qre coe por ober le vler de prmère pr cee méhode pe êre effecée pr lgorhme de ype ewo-rpho e e poe p de dffclé prclère.... Mxmm de vremblce méhode de mome perm d ober premer je d emer por le prmère d modèle ; o lo ce je comme vler le por déermer le mxmm locl de l vremblce d o voge. Compe e de l propoo 3, o obe l expreo ve de l vremblce : - 8 -

9 λ x e λ,..., exp (6) π! ( ) ( ) ( x x,,, λ, ) e b e c de mxmer l vremblce (o de mère éqvlee de mmer l ( x,,, λ, )). Cocer le core, l ve de mère évdee e. Ee, o llo éder le vler de emer e de l méhode de mome por ecdrer le re prmère. o dpoo de emer obe pr l méhode de mome. o codéro qe ce emer pproche à pl o mo % le emer d mxmm de vremblce. coéqe, o reeo d mpoer qre core d églé por l opmo de l log-vremblce. O e meé à clqe problème de mxmo o core, do l réolo mérqe ppelle p de remrqe prclère..3. Te de l vldé d modèle o reeo ro e de be por o der à reer le modèle le pl pere : le clqe e d Kh-dex, le e «p d dow» e le e d rppor de mxm de vremblce..3.. Te d déqo d Kh- 3 ore objecf e c de vérfer qe, prè emo de prmère, l déqo de doée à l lo héorqe emée. O dve doc l plge de redeme e cle. So l hypohèe lle, e le ombre d obervo (léore) ppre à l cle (, ), o E [ ] p où p [ X (, ) ] por,k,. e vrble ve de lo bomle de prmère e p, e doc, o l hypohèe lle, o ( p ) p qe (, p ). D ( p ) ( ) p léore ympoqeme ormle lée pr l relo p e doc l omme de crré de vrble. De pl le p 4 prmère déped o emé pr l méhode d mxmm de vremblce e l e 3 Vor pr exemple SPORT [99]

10 clqe qe l lo lme de D² e ecdrée pr le lo r p e ( r ) degré de lberé. χ e r p χ r d Kh dex à Cee pproxmo e jfée e ez grd e le p p rop pe vec comme règle emprqe qe p > e mo 8 % de p 5 d le oc d repec d crère de Cochr. S el e p le c à ce d e vler de cogë. p-vler d e e ecdrée pr : vec χ ob D. [ χ ] [ r p > χob α χr > χ ob p rop pee, o regrope le cle ].3.. Te p d dow Ce e e lé por vérfer l dépedce de redeme. So Y,K, e e fe de vrble léore réelle elle qe : ( Y Y ) por Y j. O ohe eer por el α >, l hypohèe lle qe le vrble o dépede e deqeme drbée core o lerve. O rod, por,k,, le dcrce. Z Y > Y { } O ppelle lor éqece de l e z, z, K, z (compoée de e de ) e cceo d même ymbole ( o ) ve e précédée de l re ymbole o d vde. So R l vrble léore réelle ombre ol de éqece de e de relevée d l rélo Z, Z... Z. O more qe, o l hypohèe H : 6 9 V, 3 9 R E( R) o (, ) lorqe. R () E( R) e ( R) j () l lo de R e lbre (. e. dépede de l lo comme de Y ), () Cee pproxmo ormle e lble dè qe 5. e e p d dow rejee relleme l hypohèe H o oberve ombre rop fble o rop élevé de éqece. S régo crqe, de el ympoqe α, e doc : R E( R) W α ( y) : > q α / ( R) (7) où q e le qle de l lo ormle. p-vler de ce e por expreo : α / R E( R) α (, ) >. ( R) - -

11 .3.3. Te d rppor de vremblce Il g c de rer qe l échllo modèle de Mero plô qe le o-modèle coé pr le modèle de Blc e Schole. o volo doc eer λ Ω, : H core λ Ω, : H o H le modèle à e p dpé core H le o pr e compe pr le modèle. Por cel, o codère l qe : x e x λ λ π π exp! exp (8) où le x o le obervo de l échllo de redeme. drbo de e ympoqeme celle d Kh- à p degré de lberé d l hypohèe H l, où p e le ombre de prmère. 3. pplco o décrvo c-prè ro pplco mple d modèle propoé. objecf e d llrer à l fo l mplcé de me e œvre d modèle, à pee pl complexe qe cel de Blc e Schole, e l érê de o lo d le problème d rce qe ce o por le provoeme de cere gre d le cor d éprge (exemple 3. cdeo) o por l déermo d cpl cble d le référeel Solvblé (exemple 3.3 c-deo). o commeço pr l llro de l méhode d emo de prmère d modèle. 3.. jeme d modèle à r de cor borer Por le pplco mérqe, o lo de obervo qodee de cor d re lcel, obee r hp://www.yhoo.fr. prr de ce coo, o reclclo le redeme qode de l mère ve : - -

12 S x x( ) l (9) S o obeo échllo..d. à prr dqel o clclo le emer emprqe de qre mome écere à l emo le de prmère : epérce emprqe e le ro premer mome ceré. o dpoo d obervo qodee de cor por l pérode d 5 j jver 5, o 659 cor, do l llre géérle e l ve : 5 9 Cor 6 3 5/6/ 3/9/ // 7//3 8/4/3 /6/3 9/8/3 7//3 //4 3/3/4 /6/4 /8/4 9//4 7/ Fg. - Cor à l clôre d re lcel e redeme qode évole de l mère ve : 4% 3% % Redeme % % -% -% 5/6/ 3/9/ // 7//3 8/4/3 /6/3 9/8/3 7//3 De //4 3/3/4 /6/4 /8/4 9//4 7//5 Fg. - Evolo d redeme qode - -

13 3... Sqe decrpve e cor moye d re précéde e de 9,7, por écr-ype de,97. e coeffce de vro v 3,7. e redeme (qode) moye d re e de,94695, por écr-ype de,4574 por l pérode édée. e coeffce d ymére d redeme d re e de,57 (à comprer à por cel d e lo ormle) e le coeffce d pleme de l vrble redeme v 9,76. Ce premère qe r le redeme o permee de peer qe l échllo e p e lo ormle. e crcère o ge de redeme pprî d ller clreme r le grphe cdeo, r leqel o repréeé l drbo emprqe e l drbo gee jée pr le mxmm de vremblce :,8,7,6 obblé,5,4,3,, -5% -% -5% -% -5% % 5% % 5% % Redeme Fg. 3 - Drbo d redeme 3... jeme d modèle e mome ceré emprqe vle r ce exemple : m, m, m 4 5 4, 5434 * m6, 8363* 6-3 -

14 e emer de l méhode de mome e cex d mxmm de vremblce o préeé d le ble v 4 : Méhode de mome Mxmm de vremblce,67364,668,395,7855 λ, , ,88478,373 (E codér q e ée compore 5 jor ovré, le redeme el moye d re e d evro 5 % e l vrce globle e égle à 45 %). O coe q evro 5 % de l vrce d redeme e explqée pr l compoe à, q e doc p églgeble. rpl, le pge de emer pr l méhode de mome x emer d mxmm de vremblce gmee c légèreme le pod de l compoe à. E compr l drbo vec le e l drbo log-ormle, o rove : Mero Blc e Schole 8 Deé 6 4 -, -,6 -, -,8 -,4,,4,8,,6, Vler Fg. 4 - Deé de dex modèle de redeme Commere lye qe e cocl pr de fble p-vler por le e d déqo de l échllo modèle propoé. coéqe, e comme o pov y edre, l déqo d modèle x doée e mprfe. Toefo, ore b é d mélorer le modèle de Blc e Schole, l o prî ére 4 é lée e le jor

15 de comprer le qe d Kh- por le modèle de Mero e por le modèle de Blc e Schole. o coo qe l qe e d le c de Blc e Schole eeme pérere à celle d le c de Mero. Cel corrobore le f qe l pr de vrce explqée pr l compoe à e p églgeble. 3.. x d e opo d ch eropéee f d llrer r c mplfé l mpc d chox d modèle d cf r le rél obe, o o éreo c-prè à l vloro d e opo d ch eropéee vec d e pr le modèle clqe de Blc e Schole e d re pr le modèle de Mero. o évlo égleme l probblé d exercce de l opo. D le c d modèle de Mero l mere mrgle e pl qe e le mrché e doc e o d compléde. Dfféree pproche peve êre reee por jfer le chox de l mere lée por rfer l opo (vor BOTT [4] q délle ce po). o reeo c l olo le de Mero co à codérer qe le rqe océ à l compoe à e o yémqe (propre re) e doc dverfble : o e l oce p de prme de rqe. Cel cod doc à évler mpleme l epérce de flx océ. f de réler e compro ere le dex pproche, o mpoo λ e corgo l vrce de redeme d le dex modèle à êre égle, ce q cod à mpoer. vec e epérce de redeme de 8 % (e x dcre), e BS λ vollé globle de 5 % (. e., 5 ), e e décompoo de l vollé de BS redeme vec de,5 e U,, o obe le lo de redeme d le dex modèle q o l llre ve :, Modèle de Blc & Schole,9 Modèle de Mero,8,7 obblé,6,5,4,3,, - -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 Redeme Fg. 5 - Deé d redeme - 5 -

16 O remrqe omme l qee de drbo pl épe obee vec le modèle de Mero. O codère re coé à l orge, le prx d exercce e égl à e l mré de l opo e T. O coe lor qe l probblé d exercce e qme deqe d le dex modèle, égle à 4 % ; le prx de l opo e pr core de 9,5 d le modèle de Blc e Schole e de eleme 5, d le modèle de Mero. Pl géérleme, lorqe l o f vrer l pr de vrce océe à l compoe à, l probblé d exercce ree ble, lor qe le prx de l opo vre (e e d pl proche de cel doé pr Blc e Schole qe l pr de vollé océe x e fble). O mere l cdece poeelle r le provoeme e l rfco de gre plcher de cor e é de compe d chox d modèle d cf Solvblé : mpc r le cpl cble e fr référeel de olvblé eropée (Solvblé ) mpoer x océé d rce de dpoer d ve de fod propre dreceme lé x rqe q elle ppore. Il gr doc por le océé de modéler o le rqe xqel elle o ome e de clcler pr le b d e mere de rqe le beo e cpl. D el coexe, le modèle d cf ree ro mpc r l exgece de fod propre. E prcler, o llo vor q vec de crcérqe de redeme mlre, modéler le cor pr browe géomérqe o pr le modèle de Mero de coéqece mpore r le cpl cble. Por llrer cel, o repreo le modèle de DEESTR e JSSE [998] q propoe de modéler e océé d rce de mère grégée pr dex proce : por l cf e re por le pf. D cer c, pr exemple lorqe ce dex ( ) ( ) proce o de moveme browe géomérqe, cee modélo perme d ober de rél explce cocer le probblé de re de l océé. D ce modèle, l rchee de l océé à l de e égle à e l océé e e re à cee de cee rchee e égve. Por llrer l mpc de l pre e compe de, o llo modéler le pf pr moveme browe géomérqe : exp B, () e llo cceveme éder le o où le proce d cf ègre o p de

17 3.3.. bece de D cee o, o e rove d l o drd de Blc e Schole où l cf évole elo le proce : B exp. () Iéreo-o d premer emp à l re à l T. océé e e re e T rchee e égve o, de mère éqvlee, < l. () D ore o (bece de ), le proce d déqo cf-pf e moveme browe vec dérve ; e effe : B B. (3) E f l hypohèe core, e rce o-ve omme, qe le moveme browe B e B o déped, o pe écrre : B. (4) De cee expreo, ve le clcl de l probblé d êre e re e : [ ] < < B. (5) Comme à l de, B, ~, l ve : [ ] Φ <. (6) e boe propréé d moveme browe fo qe l o dpoe d e formle explce de l probblé d êre e re ere e. E effe, e remrq qe - 7 -

18 [ ] [ ] > < < p f,, (7) l e poble d ler l relo ve démorée d REVUZ e YOR [999] : > Φ Φ >. p α por α por α β β α α β βα e B (8) D ore c, α e > β. E ppo qe l rchee le e rceme pove o (le c corre correpod à l re e ), l ve doc < e Φ Φ f (9) e e compe de prée o llo vor l mpc de l pre e compe de r le ve de l probblé de re. cf e me modélé pr le proce v : U B exp. (3) où e proce de Poo d eé λ e où le vrble léore U o melleme dépede e drbée elo e lo,,k U U,. E ppo ojor l dépedce ere le rqe d pf modélé pr B e le rqe d cf modélé pr le proce e l e U, le proce d déqo cf-pf l forme : B, K,, U - 8 -

19 U B. (3) probblé de re à l de e : [ ] < < U B, (3) do e expreo e doée pr l propoo ve : opoo 5 : orqe e U o melleme déped, o : B B,, [ ] < λ λ! Φ U e, où e. Démoro : e rél prove de l pplco d héorème de probblé ole : [ ] [ < < U B ], e remrq qe U U B, ~. probblé d vor éé e re r l ervlle [ ], p d expreo explce, e do êre évlée mérqeme. E prqe, o porr ler de méhode de mlo por emer cee qé pplco mérqe D coexe de ype Solvblé, e océé d rce devr dpoer d ve de fod propre (le cpl cble) q corôle le rqe globl de l océé à horzo prédéermé. Codéro c qe l mere d rqe globl de l océé e l probblé de re q l g de corôler à horzo vec e probblé de %. o vo ppoé q bo d e ée, l océé dev vor cf ez mpor por ver e corepre d pf q vdr, de mère cere,. rer dpoe e de ce même mo e provo, l g doc de déermer le mo d cpl cble el qe : γ γ, exp U B

20 ller, o vo lé le prmère v : l, 8 λ, 5 λu, 6, e redeme dcre d re e doc de 8 %, l y e moyee,5 pr e l écrype d redeme e égl à 4 %. o o éreo à l vro d cpl cble e foco de l pr de l vrce explqée pr l compoe à (α vec le oo rode pr e.). Selo qe le rqe e modélé qeme pr l compoe à ( α ) o qeme pr le moveme browe ( α ), le drbo d cor d re e o rè dfféree (por prx d ch de e ) comme le more le grphqe v. Fg. 6 - Drbo d cor de l co e por α e α orqe oe l vrblé e repréeée pr le, o remrqe q e pre de l corbe e ple. Cee pre de l foco de répro correpod à l probblé q l y λ [ ] p de e qel c le redeme e de 8 %., e grphqe v o dqe le mo d cpl cble e foco de l pr de l vrblé repréeée pr l compoe browee. Rppelo qe o rvllo à vrce d redeme coe e qe l vrblé q e p repréeé pr le browe l e pr l compoe à. - -

21 Fg. 7 - ve d cpl cble γ e foco de α Il reor de ce llro, qe l lo d modèle de ype Blc e Schole cod à o-emer le ve d cpl cble d e proporo q pe êre mpore. l moé de l vrblé globle e explqée pr le, le cpl cble d modèle de Blc e Schole o-eme de 3,5 % le vr beo e cpl. Ce rél peve êre rpproché de rél obe d PCHET e THEROD [5] q llre l mpc de l pre e compe de r le cpl cble d e problémqe d rce o-ve. 4. Coclo e modèle de Blc e Schole e deve drd lé d de ombree o prqe e rce : clcl d eggeme (gre plcher r le cor e é de compe), lloco d cf, déermo de l probblé de re, ec. prcple qlé de ce modèle réde d fclé de me e œvre (clcl de focoelle océe, emo de prmère, ec.), o déqo x doée é e géérle de qlé modee. e modèle qe o préeo c, propoé leme pr Mero, o emble préerver l mplcé d lo, o e mélor de mère eble l déqo x doée. Il o emble d pl ére q l perme d égrer à l modélo de l cf de propréé elle qe l ymére e e qee de drbo pl épe qe celle d e lo ormle, ce propréé é p coéqece r l ppréco d ve d cpl de olvblé e de Solvblé., le réflexo r le modèle drd de Solvblé (vor pr exemple DJEHICHE e HÖRFET [4] o PCHET e THEROD [5]) dove à ore e égrer ce ype de modèle por grr e ppréco ffe de l olvblé d ce ove référeel. - -

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