Cours physique Chapitre : Le circuit RLC libre amorti et non amorti

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1 A- Oscillation libre amorti 1- Décharge d un condensateur dans une bobine En charge le condensateur, en plaçant K en position 1. Ken position, le condensateur se décharge dans la bobine. Un voltmètre branché en parallèle avec le condensateur montre que et U c prend des valeurs négatifs et positifs avec diminution d amplitude au cours du temps. De même q = c U, vibre avec diminution d amplitude au cours du temps. De même pour i = dq et U c R = Ri. On dit qu une telle grandeur subit des oscillations libres amorties c.-à-d. décroit a des intervalles des temps égaux. Al aide d un oscilloscope a mémoire, on obtient les oscillogrammes suivants. L amplitude des oscillations diminue au cour du temps Les oscillations sont dites amorties. Les oscillations se produisent dans le circuit sans générateur Les oscillations sont dites libres. La diminution d amplitude due a la diminution de l énergie qui est perdu par effet joule dans le résistor. La cause de l amortissement (diminution d amplitude) et donc la résistance totale du circuit. Elaboré par Afdal Ali / GSM : 65484/ Page 1

2 - Influence de l amortissement a- Régime pseudopériodique Le régime pseudopériodique est observé pour des valeurs faibles de la résistance totale. Les oscillations libres amorties sont des oscillations pseudopériodiques de pseudopériodet T0 = π LC. b- Régime apériodique La valeur de R T est très importante. L amortissement est très élevé. On observe plus d oscillations. 0 c- Régime critique La valeur de la résistance pour la quelle on observe le régime critique est, R C = L. C C est la valeur pour la quelle en passe de régime pseudopériodique en régime apériodique. 3- Equation différentielles D après la loi de maille, U c + U R + U b = 0 q c + R T i + L di = 0 Ld dq q/ + R + q = 0. T c C est l équation diff en q(t) dont la solution est hors programme. U c = q c : q = cu c. duc + Rt duc L + 1 Lc U c = 0.C est l équation diff en U c. Elaboré par Afdal Ali / GSM : 65484/ Page

3 4- Bilan énergétique E c = 1 C q = 1 cu c. Em = 1 L i. E = 1 C q + 1 L i. de = q dq c + Li di = i ( q + L dq ) = -R T i. c Car : ( q c + L dq ) = -R T i ( d après l éqt diff ) de = -R T i 0. E est une fonction décroissante au cour du temps. Dans un circuit RLC il y a toujours échange d énergie entre le condensateur et la bobine, avec diminution par effet joule dans le résistor. B- Oscillation libre non amorti On fermant un condensateur de capacité C initialement chargé sur une bobine purement inductive, 1- Equation différentielle L équation différentielle pour la tension U c s écrit : duc + 1 U c = 0 Lc L équation différentielle pour la charge q s écrit : dq + 1 Lc q = 0 Elaboré par Afdal Ali / GSM : 65484/ Page 3

4 - Expression de q(t) et u c (t). L équation différentielle en q(t) admet comme solution : q(t) = qm sin ( w o t + Ԑ q ). qm = CE amplutide wo = π : pulsation propre, avec To = π LC : Période propre To q phase initiale L équation différentielle en Uc(t) admet comme solution : U c (t) = U m sin ( w o t + Ԑ u ). Um = qm = E C u = q, on dit que U(t)et q(t)vibre en phase. Les oscillations sont dites libres non amorties. 3- Intensité du courant I = dq avec q(t) = q m sin ( w o t + Ԑ q ) I(t) = qm w o cos ( w o t + Ԑ q ) avec cos x = sin ( x + π ) I(t) = qm w o sin (w o t + Ԑq + π ) I(t) = Im sin (w o t + Ԑ i Im = qm wo ) avec i = q + π I(t) est aussi une fonction sinusoïdale du temps. I(t) et q(t) vibre en quadrature de phase. Ԑi > Ԑq : i(t) est en quadrature avance de phase par apport a q(t). De même, i(t) est en quadrature avance de phase par apport a Uc(t). Elaboré par Afdal Ali / GSM : 65484/ Page 4

5 4- Expression de W o et T L équation différentielle en U (t) s écrit c o duc + 1 Lc Uc = 0 duc = 1 Lc Uc. U c = U o sin ( w o t + Ԑ ) duc duc = U o w o cos ( w o t + Ԑ ) = Uo w o sin ( w o t + Ԑ ) Uo w o sin ( w o t + Ԑ ) = 1 U o sin ( w Lc o t + Ԑ ) W o = 1 Lc T o = π wo T o = π LC 5- Bilan énergétique En régime libre, l énergie totale d un circuit LC se conserve, car sa résistance électrique est nulle. E c = 1 C q = 1 c U c : U m = 1 L i E = Ec + E m = 1 C q + 1 L i de = q dq c + L i di = i ( q c + L di ) : Or q c + L di = 0 d après l éqt diff. de = O L énergie totale du sys reste constante. L énergie totale du sys se conserve, le sys est dit conservatif. Dans un circuit LC, il y a échange continuellement d énergie entre la bobine et le condensateur. L énergie E m et E c, les deux sont périodiques de périodes T e = To. E = 1 q C + 1 L i = 1 q m sin ( w C o t + Ԑ ) + 1 L q m w o cos (w o t + Ԑ ) Or w o = 1 LC. E = 1 C q m ( cos + sin ) = 1 C q m Remarque : cos x = 1 + cosx, sin x = 1 cosx. Elaboré par Afdal Ali / GSM : 65484/ Page 5

6 Elaboré par Afdal Ali / GSM : 65484/ Page 6

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