Vecteurs. I- Généralités. Théorème (Unicité et existence du «translaté») :

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1 / + I Généraliés Vecers «Définiion» Le es n obje maémaiqe qi réni les rois informaions n «éplacemen» irecion Désinaion xpression sens isance L informaion «isance» s appelle la Le éplacemen en qesion se nomme ecer or bien isiner les ecers es nombres ans les calcls ecoriels qi mélanen les ex a lycée on ésine les ecers par ne lere srmonée ne flèce oien e B ex poins Le ecer qi i «commen aller e à B» s exprime n li «ecer B» mais on porrai lire «ecer e à B» Téorème Unicié e exisence «ranslaé» Colinéarié oien n poin onné e n ecer onné Il exise n niqe poin M el qe M es appelé ecer M par la Des ecers ayan même irecion pas obliaoiremen même sens son is ' Vecer irecer Un ecer qi a même irecion q ne roie es i e la roie e 'e eprésenan Le e poins ;B es alors appelé n ecer en qesion Un ecer a ne infinié e représenans roonalié Dex ecers ayan es irecions «perpeniclaires» son is «es oroonal à» se noe Caracérisaion ecorielle paralléloramme Norme La norme e se noe n a par éfiniion e la norme oien B C e D qare poins CD si e selemen si DC es n paralléloramme lan ecoriel L ensemble e os les ecers poins plan es appelé où e B son ex

2 T U Q Ž e f ˆ ˆ M N ƒ ~ } } r s x y x { i j i l c m n o a p q J L L G I I ; D F F e f C B ; \ ^ _ a b c e [ V W Y Y II iion ecorielle Définiion/Téorème bien connaîre Démonsraion oien e ex ecers n coisi n poin qelconqe plan oi B el qe oi C el qe BC Le ecer C ne épen pas poin coisi n pose C oien e ex ecers oien e ex poins qelconqes plan oien B el qe B el qe ' B' C el qe BC C el qe B' C' Il s ai e proer qe C ' C' Vecer nl 4 n a onc B es encore consiéré comme n ecer n pe à par Il se nomme le se noe Le ecer nl es censé aoir Toes les irecions à la fois as e sens Une norme éale à Le ecer nl es onc colinéaire e oroonal à os les ecers Caracérisaion ecorielle milie «I milie e [» pe se raire ecoriellemen par I IB «osracion» Il n y a pas besoin à propremen parler e sosracion e ecers Il sffi inerpréer les ifférences comme es i s inerprèe Une simple ifférence comme sysémaiqemen êre pensée comme oi ropriéés alébriqes e l aiion ecorielle compléer oien e rois ecers elaion e Casles emarqe pposé Qels qe soien les poins B e C on a BC C n ara soen à iliser la relaion e Casles ans l are sens por «écomposer» n ecer M M B L opposé n ecer es le ecer ayan même norme e même irecion mais sens opposé L opposé e se noe 4 Démonsraions ar oral en classe commaiié associaiié élémen nere élémen symériqe

3 ² ³ «± ± ª ª ž Ÿ Ï Ò Ó Ô Ô µ Í Ë Ì Ì š Ä Æ È Ç É Æ È Ç ¼ ½ ¾ À Á  À Á à à III Mliplicaion exerne Définiion appel oien n réel e n ecer i e es le ecer ayan même irecion qe même sens si por norme i o es le ecer nl œes la «aler absole e alpa» Mliplier n ecer par n réel ne moifie jamais sa irecion Cela moifie la norme ecer e éenellemen son sens si le réel es néaif e sens opposé si ropriéés alébriqes e imension Démonsraions oi n ecer e Caracérisaion e la colinéarié Démonsraion Å»ºe ex réels «pseoassociaiié» isribiié «à roie» Non raiées ans ce cors on pe se ramener ax nombres relaifs oien e ex ecers aec e son colinéaires ssi il exise enellemen par oral en classe ÏÎel qe bsi à la iision exerne n n a pas éfini e iision n ecer par n nombre mais cela reienrai en fai à mliplier par l inerse nombre en qesion i Ñ Vos ee êre capable e émonrer cee éqialence en jsifian rioresemen caqe éape 6 Corollaires où B

4 ä ç æ å å ß à Û Ü Þ Þ Õ Ö Ø Ù Ø 8 Disribiié à ace imension Démonsraion oi n poin qelconqe plan on éfini les poins B C B e C comme iniqé sr la fire à main leée siane e l on émonre par la réciproqe éorème e Talès qe B' C' L ienié soaiée proien alors imméiaemen e C' ' B' C' IV Qesionnaire Qelles son les rois informaions conenes ans n ecer expliqer Caracérisaion ecorielle n paralléloramme Définiion e l imae n poin par la ranslaion e ecer n ne i pas qe es ecers son parallèles on i q ils son n ne i pas q n ecer es parallèle à ne roie on i n ne i pas qe ex ecers son perpeniclaires on i q ils son n ne parle pas e la loner n ecer on parle e Caracérisaion ecorielle milie Lecres ; B ; ; ; aoir Définir le ecer somme e ex ecers e Définir le ecer proi n nombre èpar n ecer écapiler les 8 propriéés alébriqes qi fon n «espace ecoriel» Qelle ienié résme l aiion ecorielle e onner son nom Trois ieniés poran sr le moinsopposé ieniés poran sr la norme 4 Caracérisaion e la colinéarié Téorème seran à la résolion ne «éqaion ecorielle» e éfiniion e l imae n poin par ne ranslaion 6

5 / / ð + ' û ý ÿ þ ý þ ø ù ø ò ô õ ö ï ð é ê é ì î î ê ó 9 associaiié e l aiion exisence n élémen nere e l aiion élémen symériqe e l aiion por caqe ecer commaiié e l aiion ü ÿisribiié à roie isribiié à ace pseoassociaiié l élémen nere e l ancienne mliplicaion es assi celi e l exerne M MB elaion e Casles B 4 e son colinéaires ssi il exise el qe o 6 Un poin e n ecer éan onnés il exise n niqe poin M el qe M M es l imae e par la ranslaion e ecer