Fiche méthode : Vecteurs dans un repère

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1 Table des matières 1 Calcul des coordonnées Cas général exemple vecteurs égaux rappels exemple Vecteurs et parallélogramme Montrer qu un quadrilatère est un parallélogramme Déterminer le quatrième point d un parallélogramme Vecteurs colinéaires Définition et critère de colinéarité exemples Utilisation de la colinéarité Prouver le parallélisme de deux droites Prouver l alignement de trois points /5

2 Le plan est muni d un repère (O; X; Y ). 1 Calcul des coordonnées 1.1 Cas général Soit A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) alors AB(xB x A ; y B y A ) (coordonnées de l extrémité coordonnées de l origine) 1.2 exemple Exemple 1 On donne les points A( 1; 3) et B(4; 2) et C( 5; 3). Calculer les coordonnées des vecteurs AB et BC = x B x A = 4 ( 1) = 5 = y B y A = 2 3 = 5 donc AB(5; 5) (voir ci-contre contrôle des calculs à l aide du graphique) x BC = x C x B = 5 4 = 9 y BC = y C y B = 3 ( 2) = 5 donc BC(0; 5) (voir ci-contre contrôle des calculs à l aide du graphique) 2 vecteurs égaux 2.1 rappels AB = CD ABDC parallélogramme. u (x; y) = v (x ; y x = x ) y = y 2.2 exemple Exemple 2 On donne u (2; 3) et A(3; 1). Déterminer les coordonnées de B tel que AB = u u = AB = x u = y u x B x A = x u y B y A = y u 2/5

3 x B 3 = 2 y B 1 = 3 x B = = 5 y B = = 2 donc B(5; 2) 3 Vecteurs et parallélogramme 3.1 Montrer qu un quadrilatère est un parallélogramme Calculer les coordonnées de deux vecteurs (formés avec les côtés opposés du parallélogramme) Attention au sens des vecteurs Vérifier que ces deux vecteurs sont égaux (coordonnées égales) Exemple 3 Montrer qu un quadrilatère est un parallélogramme On donne A(3; 1), B(5; 1), C(3; 5) et D(1; 3). Montrer que ABCD est un parallélogramme. = x B x A = 5 3 = 2 = y B y A = 1 1 = 2 donc AB(2; 2) x DC = x C x D = 3 1 = 2 = y C y D = 5 ( 3) = 2 donc DC(2; 2) On a donc AB = DC (coordonnées égales) donc ABCD est un parallélogramme. On peut aussi calculer les coordonnées du milieu de [AC] et de [BD] pour vérifier que les diagonales se coupent en leurs milieux. 3.2 Déterminer le quatrième point d un parallélogramme Calculer les coordonnées d un vecteur correspondant à l un des côtés du parallélogramme. Utiliser ABCD est un parallélogramme AB = DC Attention au sens des vecteurs Ecrire que les coordonnées des deux vecteurs doivent être égales et «isoler» les coordonnées du point cherché Exemple 4 Déterminer le quatrième point d un parallélogramme On donne A( 2; 1), B(5; 3), C(2; 1) Déterminer les coordonnées de D pour que que ABCD soit un parallélogramme. = x B x A = 5 ( 2) = 7 = y B y A = 3 ( 1) = 4 3/5

4 donc AB(7; 4) Soit D(x; y), x DC = x C x D = 2 x = y C y D = 1 y donc DC(2 x; 1 y) ABCD est un parallélogramme AB = DC (coordonnées égales) 7 = 2 x x = 2 7 = 5 4 = 1 y y = 1 4 = 3 donc D( 5; 3) On peut aussi calculer les coordonnées du milieu I de [AC] et puis chercher D pour que I soit le milieu de [BD]. 4 Vecteurs colinéaires 4.1 Définition et critère de colinéarité Soit u (x; y) et v (x ; y ) deux vecteurs non nuls. u et v sont colinéaires il existe un réel k tel que v = k u soit x = kx proportionnelles) xy x y = 0 y = ky (les coordonnées sont 4.2 exemples Exemple 5 Les vecteurs u (3; 2) et v ( 4, 5; 3) sont-ils colinéaires? x u y v y u x v = 3 3 ( 2) ( 4, 5) = 9 9 = 0 donc les vecteurs u et v sont colinéaires. 1, 5x On a : u = 1, 5 3 = 4, 5 = x v 1, 5y v = 1, 5 ( 2) = 3 = y v donc 1, 5 u = v 5 Utilisation de la colinéarité 5.1 Prouver le parallélisme de deux droites Pour montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles : Calculer les coordonnées des vecteurs AB et CD Vérifier que les vecteurs AB et CD sont colinéaires. AB et CD sont colinéaires signifie que ces deux vecteurs ont la même direction donc que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 4/5

5 Exemple 6 Droites parallèles On donne A( 2; 1), B(1; 1), C(2; 1) et D(8; 5) (AB) et (CD) sont-elles parallèles? = x B x A = 1 ( 2) = 3 = y B y A = 1 ( 1) = 2 donc AB(1; 2) x CD = x D x C = 8 2 = 6 = y D y C = 5 1 = 4 donc CD(6; 4) y CD x CD = = = 0 donc les vecteurs AB et CD sont colinéaires donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 5.2 Prouver l alignement de trois points Pour montrer que les droites A, B et C sont alignés : Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC (ou BC ) Vérifier que les vecteurs AB et AC sont colinéaires. AB et AC sont colinéaires signifie que ces deux vecteurs ont la même direction donc que les droites (AB) et (AC) sont parallèles et confondues donc que A, B et C sont alignés. Exemple 7 Alignement On donne A( 2; 4), B( 1; 2) et C(3; 6) A, B et C sont-ils alignés? = x B x A = 1 ( 2) = 1 = y B y A = 2 4 = 2 donc AB(1; 2) x AC = x C x A = 3 ( 1) = 4 y AC = y C y A = 6 2 = 8 donc AC(5; 8) y AC x AC = 1 ( 8) ( 2) 4 = = 0 donc les vecteurs AB et AC sont colinéaires donc les A, B et C sont alignés. 5/5

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