Seconde Chapitre 5 : Les vecteurs Page 1 sur 12
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- Ariane Alarie
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1 Seconde Chapitre 5 : Les vecteurs Page 1 sur 12 Activités 1, 2 et 3 sur les translations I ) Vecteurs 1) Qu est ce qu un vecteur? Idée à retenir : «Un vecteur sert à décrire un déplacement» Un vecteur ( non nul ) est la donnée de trois éléments : 1) une direction ( une droite, deux droites parallèles ont la même direction ) 2) un sens de parcours de cette direction 3) une longueur ( appelée norme ) Exemples : 1) Le vecteur formé de la direction( ), de sens «de vers» et de longueur AB est noté 2) Les vecteurs AB et CD ont la même direction et le même sens mais pas la même longueur 3) Les vecteurs AB et BA ont la même direction et la même longueur mais pas le même sens Remarque : On dit que le point B est l image du point A par la translation de vecteur AB 2) Vecteurs égaux : Idée à retenir : «Deux vecteurs sont égaux s ils décrivent le même déplacement» On dit que deux vecteurs sont égaux s ils ont la même direction, le même sens et la même longueur Exemple : AB = CD signifie que : 1) AB et CD ont la même direction, c est-à-dire que les droites ( AB) et ( CD ) sont parallèles 2) AB et CD ont le même sens, c est-à-dire que le sens est le même de A vers B que de C vers D 3) AB et CD ont la même longueur, c est-à-dire que AB = CD 3) Notation Les trois vecteurs AB, CD et EF ci-contre sont égaux On dit alors que AB, CD et EF sont des représentants d un même vecteur que l on peut noter génériquement u On dit que AB est le représentant du vecteur u d origine A 4) Vecteurs particuliers Le vecteur AA est appelé vecteur nul et noté 0 Il n a pas de direction, ni de sens et sa longueur est nulle L opposé du vecteur u non nul est le vecteur ayant la même direction, le sens contraire et la même norme On le note Remarque : L opposé du vecteur AB est le vecteur BA On écrit donc que : BA = AB
2 Seconde Chapitre 5 : Les vecteurs Page 2 sur 12 II ) Faire de la géométrie avec les vecteurs 1) Vecteurs égaux et parallélogramme Propriété : Soient, B, et quatre points distincts du plan AB = DC si et seulement si ABCD est un parallélogramme Remarque : On a aussi BA = CD, AD = BC et DA = CB 2) Vecteurs égaux et milieu d un segment : Propriété : Le point est le milieu du segment [ ] si et seulement si = Remarque : On a aussi = Exercice 1 : Les quadrilatères et sont deux parallélogrammes 1) Démontrer que = 2) En déduire que = Exercice 2 : Compléter le tableau suivant ( On pourra s aider d une figure ) : Langage habituel Langage vectoriel est l image de par est l image de par la translation de vecteur est un parallélogramme est un parallélogramme est le milieu de [ ] est le milieu de = = = = Exercice 3 : Le quadrilatère est un parallélogramme 1) Placer le point = ( ) 2) Démontrer que le quadrilatère est aussi un parallélogramme Exercice 4 : Soit un triangle 1) a) Construire le point tel que = b) Déterminer l image de par la translation de vecteur 2) a) Construire le point = ( ) b) Montrer que = c) En déduire que est égal à ( )
3 Seconde Chapitre 5 : Les vecteurs Page 3 sur 12 Activités 4 et 5 sur les translations III) Opérations sur les vecteurs 1) Somme : Idée à retenir : «La somme de deux vecteurs correspond à deux déplacement successifs» a) Les deux vecteurs positionnés sont l un à la suite de l autre Relation de Chasles : On définit la somme vectorielle AB + BC comme étant le vecteur AC b) Les deux vecteurs ne sont pas positionnés sont l un à la suite de l autre Méthode : On déplace les vecteurs de façon à les mettre l un à la suite de l autre Etant donnés deux vecteurs quelconques u et v, on définit la somme vectorielle u + v comme étant le vecteur égal à AC, où A est un point quelconque du plan et C son image par les translations successives de vecteurs respectifs u et v Exercice 5 : Remarques : La somme vectorielle ne dépend pas du point A choisi Comme pour la somme des nombres, la somme vectorielle est commutative, c'est-à-dire u + v = v + u u + v + w = u + v + w, ce que l on peut simplement noter u + v + w associative, c'est-à-dire ( ) ( ) On considère le triangle ABC ci contre 1) a) Construire le point D tel que = b) Démontrer que est un parallélogramme 2) a) Construire le point = ( ) b) Que veut? 3) Montrer que est un parallélogramme 4) En déduire l image du point C par la translation de vecteur
4 Seconde Chapitre 5 : Les vecteurs Page 4 sur 12 Exercice 6 : Sur la figure ci-contre, construire les points D,E, F, définis par les égalités : 1) = 2) = 3) = 4) = 2) Différence : Idée à retenir «Pour soustraire, on ajoute l opposé» On appelle différence entre u et v, le vecteur noté u Remarque : On retrouve le «soustraire, c est ajouter l opposé» v défini par : u v = u + ( v ) Exercice 7 : Dans le parallélogramme ci-contre, 1) Tracer la somme avec pour origine le point 2) Tracer la différence avec pour origine le point A retenir : Dans un parallélogramme, les deux diagonales correspondent à la somme et la différence des vecteurs des côtés :
5 Seconde Chapitre 5 : Les vecteurs Page 5 sur 12 3) Produit par un nombre Définition: Etant donné un vecteur non nul u et un nombre réel non nul k, on définit le vecteur produit, noté k u comme le vecteur ayant : la même direction le même sens si k > 0, le sens contraire si k < 0 la longueur k u On définit de plus 0u = k0 = 0 Exercice 8 : Sur le quadrillage ci contre, construire les points D, E, et tels que : =2 = 3 = 4 =2 Exercice 9 : Sur le quadrillage ci contre, construire les points D, E, et tels que : =2 = 2 2 = 2 3 =2 4
6 Seconde Chapitre 5 : Les vecteurs Page 6 sur 12 IV) Dans un repère Exercice 10 : 1) Définition ( O I J ) On se donne un repère,, Pour tout vecteur w du plan, il existe deux uniques nombres x et y tels que w = xoi + yoj Ces deux nombres x et y sont les coordonnées du vecteur, appelées respectivement abscisse et ordonnées de w dans le repère O, I, J Existence et unicité admise Tous les triangles ci-dessous sont équilatéraux Dans le repère (,, ), quelles sont les coordonnées des vecteurs :,,, et? ( ) Propriété: xb xa Dans un repère, le vecteur AB a pour coordonnées yb ya 2) Vecteurs égaux Propriété: Dans un repère, deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées Démonstration admise Exercice 11 : Avec les données de l exercice précédent, montrer que ABGC est un parallélogramme Exercice 12 : Soient A( 1, 2) B ( 5, 2) C ( 2, 3) D( 4, 3) Montrer que ABCD est un parallélogramme Exercice 13 u et v sont deux vecteurs de coordonnées u ( 1 ; 2) et v ( 1 ; 2) Les points A, B, C et D sont définis par : OA = 2u v ; OB = u + 2v ; OC = 2u + v ; OD = u 2v 1) Calculer les coordonnées de A, B, C et D et faire une figure 2) Montrer que ABCD est un parallélogramme
7 Seconde Chapitre 5 : Les vecteurs Page 7 sur 12 3) Somme de vecteurs Propriété: Dans un repère, les coordonnées de la somme de deux vecteurs sont égales à la somme des coordonnées des vecteurs 4) Produit d un vecteur par un nombre Propriété: Dans un repère, les coordonnées du produit d'un vecteur par un nombre sont égales au produit des coordonnées du vecteur par ce nombre 5) Norme d un vecteur Propriété: Dans un repère orthonormé, le vecteur AB AB = AB = x x + y y ( ) ( ) 2 2 B A B A a pour norme: Exercice 14 6) Rappel : coordonnées du milieu d un segment Propriété: xb + xa yb + ya Dans un repère, le milieu M du segment [ AB] a pour coordonnées : xm = et ym = 2 2 dem : Si milieu M est le segment [ AB] alors AM = MB En coordonnées, ça donne: xb + x x x x = x x 2 M = x = x + x 2 y y = y y 2y = y + y y + y 2 M A B M M B A M A B M M B A B A ym = Soient A ( 1 ; 2), B ( 2 ; 3) et ( 6 ; 0) C 1) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme 2) Déterminer les coordonnées des points E et F pour que les vecteurs AE et CF soient tous deux égaux à BD 3) Montrer que D est le milieu de [EC] et le milieu de [AF] Exercice 15 On donne les points A( 2 ; 5), B ( 2 ; 1) et ( 5 ; 1) C 1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle 2) Calculer les coordonnées du point D tel que ABDC soit un carré Exercice 16 On donne les points A ( 0 ; 0), B ( 2 ;1), C ( 2 ; 3), E ( 3 ; 2), ( 1; 5) A F 1) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme 2) Démontrer l égalité AE = FC Que peut-on en déduire pour le quadrilatère AECF? 3) Montrer que [FE] et [BD] ont même milieu
8 Seconde Chapitre 5 : Les vecteurs Page 8 sur 12 V) Colinéarité et Parallélisme 1) Définition, application On dit que deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires s'il existe un réel k R tel que u = k v Propriété : x x' Les vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si et seulement si xy ' x' y = 0 y y ' Dem : x' = k x Si v = k u, alors et xy ' x' y = x k y k x y = 0 y' = k y Supposons, réciproquement que xy ' x' y = 0 Si une des coordonnées est nulle, par exemple x = 0, y ' Comme dans ce cas y 0 et comme on a x' y = 0, on en déduit que x' = 0 On a alors v = u y Sinon, on peut diviser par x et y et on obtient Application : ( AB) ( CD) x' y ' x' = et v = u x y x Les droites et sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires Exercice 17 Soient A ( 2 ; 7), B ( 1 ; 1) et C ( 0 ; 3) 2 1) Montrer que AC = AB 3 2) En déduire que les points A, B et C sont alignés Exercice 18 Soient les points A( 2 ; 1) et ( 1 ; 2) B 1) Calculer les coordonnées du point C tel que : 2) Expliquer pourquoi A, B et C sont alignés 1 AC = AB 2 Exercice 19 On considère les points suivants A( 2 ; 3), B ( 3 ; 3) et C ( 4 ; 1) 1) Calculer les coordonnées du point P, défini par : OP = OA 2OB + OC 2) Soit K le milieu de [AC] Montrer que OP = 2KB 3) En déduire que les droites (OP) et (KB) sont parallèles
9 Seconde Chapitre 5 : Les vecteurs Page 9 sur 12 2) Equations de droites On se place dans un repère ( O, i, j ) a) Droites «obliques» Situation : 1 3 On considère les points : A et B 2 8 x Un point M appartient à la droite (AB) si les points A, B et M sont alignés y xb xa = 3 1 = 2 xm xa = x 1 AB AM yb ya = 8 2 = 6 ym ya = y 2 AB et AM sont colinéaires ( ) ( ) 2 y 2 6 x 1 = 0 2y 4 6x + 6 = 0 2y = 6x 2 y = 3x 1 L équation y = 3x 1 est appelée équation de la droite (AB) 2 Pour tester si des point C 1 et D appartiennent à la droite d équation y = 3x 1, il suffit de 1 4 vérifier si leurs coordonnées vérifient l équation de la droite Attention, il faut «séparer» les calculs!! y = 1 C ( ) 3x 1 = = 6 C Comme y 3x 1, le point C n'appartient pas à la droite y D = 4 C ( ) 3x 1 = = 4 D C Comme y = 3x 1, le point D appartient à la droite Propriété : D D Une droite non verticale a une équation de la forme y = ax + b, où a et b sont des nombres réels fixés Le nombre et le nombre b s'appelle l'ordonnée à l'origine a s'appelle le coefficient directeur ou la pente de la droite On a vu en TD que le b correspondait à la hauteur à laquelle la droite coupe l axe des ordonnées et le a à l «inclinaison» de la droite Exercice 21 Dans un repère, d est la droite d équation y = 3x A ;5 3 1) Vérifier que les points et ( 0;7) 2) Les points A, B et C ( 1;4 ) B appartiennent à la droite d sont-ils alignés? Justifier Exercice 22 Dans un repère, la droite d d équation y = 5x 4 est la médiatrice d un segment [BC] 1) On pose A ( 2;6) Le triangle ABC est-il isocèle en A? 2) On pose D( 2; 6) Le triangle DBC est-il isocèle en D?
10 Seconde Chapitre 5 : Les vecteurs Page 10 sur 12 Interprétation géométrique du coefficient directeur : On considère un point A( x, y ) appartenant à une droite d d'équation de la forme y = ax + b On considère x = x + 1, y = a( x + 1) + b = ax + a + b = ax + b + a = y + a Le point B( x + 1, y + a) est donc un autre point de la droite d Pour aller au point A au point B, il faut se déplacer d'une unité vers la droite et de a unités verticalement Exercice 23 1) Dans un repère, construire la droite d de coefficient directeur 3 et qui passe par ( 1; 1) 2) Donner l équation de la droite d A Propriété : yb ya Une droite non verticale ( AB) a pour coefficient directeur a = si A B x x Dem : La droite ( AB) a une équation de la forme y = ax + b Comme A ( AB), on a y = ax + b Comme B ( AB), on a y = ax A B yb ya axb + b axa b a( xb xa) On calcule = = = a x x x x x x A B A B A B A B + b A B Exercice 24 Dans un repère, on considère les points : A( 1; 1), B ( 2;1), C ( 5;2), D( 5;24) Déterminer l équation de la droite (AB) puis de la droite (CD) Exercice 25 Dans un repère du plan, d et d sont les droites d équations respectives y = 2x 3 et y = 2x + 8 a) Tracer les droites d et d à l écran de votre calculatrice b) Lire à l écran les coordonnées de leur point d intersection A (menu G-Solv pour Casio et CALC pour TI) c) Déterminer les coordonnées de A par le calcul Exercice 26 Dans un repère du plan, d et d sont les droites d équations respectives y = 2x + 4 et y = 4x 10 a) Vérifier que d et d sont sécantes b) Déterminer les coordonnées du point d intersection A de d et d
11 Seconde Chapitre 5 : Les vecteurs Page 11 sur 12 Propriété : Deux droites d et δ non verticales d'équations respectives y = ax + b et y = α x + β où a, b, α, β R, sont parallèles si et seulement si a = α Dem : Si a = 0, la droite d est horizontale et donc parallèles à la droite δ si et seulement si α = 0 Supposons que a et α soient non nuls On va alors choisir deux points distincts sur chacune des droites = = = β 1 ( ) et N1 ( 0, β ) = = + = α + β ( + ) ( α + β ) Si x 0, on calcule y b et y Donc M 0, b d Si x 1, on calcule y a b et y Donc M 1, a b d et N 1, = = 1 M1M 2 N1N2 a + b b = a α + β β = α Les droites sont parallèles si et seulement si les vecteurs M M et N N sont colinéaires, si et seulement si 1 α a 1 = 0 a = α Exercice 27 Lire, avec la précision permise par le dessin, la solution de chaque système sur le graphique ci-dessous D 2 D 1 D 3 x = y = x y = 2x + 5 y = x 2 D 4 y = 0,2x + 5,2 y = x 2 y = 2x y = x + 5 5
12 Seconde Chapitre 5 : Les vecteurs Page 12 sur 12 b) Droites verticales Situation : 1 1 On considère les points : A et B 2 8 x Un point M appartient à la droite (AB) si les points A, B et M sont alignés y xb xa = 3 3 = 0 xm xa = x 3 AB AM yb ya = 8 2 = 6 ym ya = y 8 AB et AM sont colinéaires ( ) ( ) 0 y 8 6 x 3 = 0 6x + 18 = 0 6x = 18 x = 3 Une droite verticale a une équation de la forme x = c, ou c est un nombre réel fixé 2 Pour tester si des point C 3 et D appartiennent à la droite d équation x = 3, il suffit de vérifier si 1 1 leurs coordonnées vérifient l équation de la droite Dans ce cas, il suffit de vérifier que l abscisse est égale à c xc = 2 Comme x 3, le point C n'appartient pas à la droite x D = 3 C Comme x = 3, le point D appartient à la droite D
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