5 VECTEURS DU PLAN. 1 Définitions AB. 1.1 Translation. 1.2 Vecteur
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- Serge Trudeau
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1 ours 5 VETEURS U PLN 1 éfinitions 11 Translation éfinition 1 Étant donnés trois points du plan, et M, on dit que M est l image de M par la translation qui transforme en si les segments [M ] et [ M] ont le même milieu (autrement dit si M M est un parallélogramme éventuellement aplati M M éfinition La translation qui transforme en est appelée translation de vecteur Remarque : une translation transforme en et en, c est la translation de vecteur mais c est aussi la translation de vecteur # 1 Vecteur M M éfinition 3 Un vecteur est un objet mathématique entièrement carctérisé par : une direction, un sens, une longueur (ou norme Remarque : Un vecteur n est pas un ensemble de points On ne peut donc dessiner que des représentants du vecteur que l on symbolise par des flèches Exemple : Les deux flèches ci-contre sont deux représentants du même vecteur éfinition 4 est un représentant du vecteur, : la direction du vecteur est celle de la droite (; le sens du vecteur est le sens de vers ; la norme du vecteur est la longueur du segment [] Remarques : La norme d un vecteur se note On a donc = = # = = est appelé le vecteur nul et est noté 0 Il n a ni direction, ni sens Étant donné un vecteur, on appelle opposé de le vecteur qui a même direction et même norme que mais qui est de sens opposé On le note u Le vecteur est l opposé du vecteur VETEURS U PLN 1
2 Propriétés Théorème 1 = est un parallélogramme (éventuellement aplati Théorème est un parallélogramme (éventuellement aplati = et = Théorème 3 = est le milieu de [ ] est le milieu de [ ] = 3 Somme de vecteurs 31 éfinition éfinition 5, et étant trois points du plan, la translation de vecteur suivie de la translation de vecteur est la translation de vecteur On écrit : + = (relation de hasles et on dit que est la somme de et onstruction de la somme de deux vecteurs : v w v w Relation de hasles Règle du parallélogramme OURS 5
3 3 Propriétés Théorème 4 Quels que soient, v et w : + v = v + (ommutativité ( + v + w = + ( v + w (ssociativité + 0 = (Élément neutre + ( = 0 (Opposé Remarque : + ( v se note v 33 Somme et milieu Théorème 5 # + = 0 est le milieu de [ ] est le milieu de [ ] + = 0 4 Produit d un vecteur par un réel 41 éfinition Soit un vecteur et k un nombre réel On définit le vecteur k de la façon suivante : éfinition 6 k = 0 ou = 0 k = 0 k 0 et 0 k a la même direction que, k est de même sens que si k > 0 et de sens contraire si k < 0, k = k 3 3 v v 4 olinéarité éfinition 7 eux vecteurs sont dits colinéaires s ils ont la même direction Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur Théorème 6 eux vecteurs et v sont colinéaires si et seulement s il existe un réel k tel que = k v ou tel que v = k Exemple : VETEURS U PLN 3
4 v = v donc et v sont colinéaires ı j ı et j ne sont pas colinéaires 43 Propriétés Théorème 7 Quels que soient les vecteurs et v et les réels a et b : a( + v = a + a v (a + b = a + b a(b = (ab 1 = Exemples : mplifier l écriture des vecteurs et (3 5 v = ( = 3 (3 5 v = (3 ( 5 v = v 44 Milieu et produit Théorème 8 est le milieu de [ ] si et seulement si = si et seulement si 5 ases et repères 51 éfinition Soient O, I et J trois points non alignés du plan On pose ı = OI et j = O J éfinition 8 On dit que le couple ( ı ; j est une base du plan On dit que ( O ; ı, j est un repère du plan 5 oordonnées dans une base Étant donnée une base ( ı ; j : éfinition 9 (Propriété et définition Tout vecteur s écrit de façon unique en fonction de ı et j : = x ı + y j Le couple ( x ; y est le couple de coordonnées de x est l abscisse de et y est l ordonnée de On note ( x ; y ou ( x y 4 OURS 5
5 Exemple : j 3 j u = ı + 3 ı j donc ( 3 ı Théorème 9 Quels que soient les vecteurs et v et le réel k : ( x u et ( x ( v y y + v x + x et k y + y ( kx k y Exemple : ans une base ( ı ; j, on considère les deux vecteurs ( v 5 + ( 1 éterminer les coordonnées de + v, de 3 v donc + v ( oordonnées dans un repère Étant donné un repère ( O ; ı, j : Théorème 10 ( ( x ; y, x ; y et 3 v ( x x y y ( et ( 4 v 5 1 ( ( 1 donc 3 v ( 1 3 Exemple : ans un repère ( O ; ı, j, on considère les points (3; et ( 1; éterminer les coordonnées du vecteur ( 1 3 ( donc ( olinéarité 61 aractérisation de la colinéarité Soit ( ı ; j une base du plan Théorème 11 eux vecteurs et v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles Théorème ( 1 x u et ( x v y y sont colinéaires si et seulement si x y x y = 0 Remarque : La quantité x y x y est appelée déterminant des vecteurs et v On le note det( ; v Exemple : Les vecteurs ( 6 u et v 9 ( 8 sont-ils colinéaires? 1 det( ; v = 6 1 ( 9 ( 8 = 7 7 = 0 Les vecteurs et v sont donc colinéaires Les vecteurs w ( et z 6 ( 3 sont-ils colinéaires? 7 det( w; z = 7 ( 6 ( 3 = = 4 0 Les vecteurs w et z ne sont donc pas colinéaires VETEURS U PLN 5
6 6 pplications Théorème 13 eux droites ( et ( sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires Exemple : ans un repère ( O ; ı, j (, on a (4;, et ( 1; 1 3; 7 (, 1; 5 émontrer que est un trapèze ( donc ( 3 et 3 det( ; = 3 ( 1 ( Les vecteurs et ( ( 3 sont donc colinéaires donc = 3 3 = 0 j ı O ( 1 insi les droites ( et ( sont parallèles donc est un trapèze Théorème 14 Trois points, et sont alignés si et seulement si et sont colinéaires Exemple : ans un repère ( O ; ı, j, on a ( 1;5, (0;3 et (; 1 émontrer que, et sont alignés ( 0 ( 1 donc ( 1 et 3 5 ( ( 1 donc ( On remarque que = 3 (ou on calcule le dét : 1 ( 6 3 ( = 0 onc et sont colinéaires Les points, et sont donc alignés j O ı 6 OURS 5
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