Repères et coordonnées dans le plan

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1 A Repères et coordonnées dans le plan Repères et coordonnées dans le plan A-1 Définir un repère et les coordonnées d un point Dans un plan (P), on considère 3 points non alignés O, I, J. les droites (OI) et (OJ) définissent deux droites graduées réelles d unités respectives OI et OJ Définition : Le triplet (O,I,J) est appelé repère d origine O dans le plan (P) Différents types de repères : Coordonnées d un point - un point M du plan est associé au couple ( x ; y) : x est appelée l abscisse du point M, on la repère sur l axe (OI) en marquant la distance xoi y est appelée l ordonnée du point M, on la repère sur l axe (OJ) en marquant la distance yoj Le couple ( x; y) définit les coordonnées du point M Exemple : pour placer le point A de coordonnées (3 ; -) On marque sur l axe (OI) la distance x = 3OI On marque sur l axe (OJ) la distance y = -OJ On repère le point A par une intersection Remarques I est le point de coordonnées (1 ; 0) J est le point de coordonnées (0 ; 1) A- Calculs dans un repère Coordonnées du milieu d un segment : soit les points A ( a, b) et A ( a '; b' ). Le milieu I du segment a + a' b + b' [AB] a pour coordonnées I( ; ) Repères et coordonnées - 1

2 Exemple : A ( ;3) et B (4;1 ) alors I milieu de [AB] a pour coordonnées :.. Distance entre deux points : dans un plan muni d un repère orthonormé (O,I,J), la distance entre un point A ( a, b) et A ( a '; b' ) est donnée par la formule AA' = ( a' a)² + ( b' b)² Démonstration : Exemple : A ( ;3) et (4;1 ) Calculs dans les différents repères : I Dans un repère (O,I,J) orthonormé B alors AB = 1. Placer les points A (1 ; ) ; B (-1 ; 0) et C (-3 ; ). Calculer les distances AB, AC et BC. En déduire que le triangle ABC est isocèle en B 3. Prouver par le calcul que le triangle ABC est rectangle en B Repères et coordonnées -

3 4. calculer les coordonnées de I milieu de [AB] II Dans un repère (O,I,J) orthogonal 1. Placer les points A (1 ; ) ; B (-1 ; 0) et C (-3 ; ). Déterminer la nature du triangle ABC. Quelle remarque peut-on faire par rapport au repère orthonormé précédent? 3. Calculer les coordonnées de I milieu de [AB]. Quelle remarque peut-on faire par rapport au repère orthonormé précédent? BILAN : Repères et coordonnées - 3

4 III Dans un repère (O,I,J) normé J O I 1. Placer les points A (1 ; ) ; B (-1 ; 0) et C (-3 ; ). Déterminer la nature du triangle ABC. Quelle remarque peut-on faire par rapport aux précédents? 3. Calculer les coordonnées de I milieu de [AB]. Quelle remarque peut-on faire par rapport aux repères précédents? Repères et coordonnées - 4

5 Exercice 1 On donne la figure suivante : On souhaite montrer que D est le milieu du segment [CE] 1. Déterminer les coordonnées des points A,B,C,D et I dans le repère (A,D,B). En utilisant le fait que I milieu de [BE], déterminer les coordonnées du point E 3. Vérifier alors par le calcul que D est bien le milieu de [CE] Exercice On donne la figure suivante : 1. Déterminer les coordonnées des points A,B,C,D dans le repère (D,C,A). Soit L le milieu de [DC], en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle LL D, déterminer les coordonnées de L dans le repère (D,C,A) 3. Déterminer les coordonnées du point I dans le repère (D,C,A) Exercice 3 On donne la figure suivante : 1. On souhaite déterminer la nature du triangle MJC à l aide de la réciproque du théorème de Pythagore. Peut on utiliser le repère (D,C,A) pour effectuer les calculs de distance? pourquoi?. soit A [DA] et C [DC] avec DA = DC = 1cm Déterminer les coordonnées de A,B,C,D,J et M dans le repère (D,C,A ) 3. calculer les distances JM, MC et JC 4. prouver que MJC est un triangle rectangle en M Repères et coordonnées - 5

6 Exercice 4 Dans le plan muni du repère (O,I,J), on donne les coordonnées de deux points A( ;3) et B(1 ;1) 1. Déterminer les coordonnées de A symétrique du point A par rapport à B. Même question avec A( ;-1) et B(-1 ;) 3. Cas général : soit M ( x; y) et C( x c ; yc ) deux points du plan dans le repère (O,I,J). Montrer que les coordonnées ( x '; y' ) du point M ', symétrique de M par rapport à C sont ( xc x ; yc y). Quel cas particulier rencontre-t-on lorsque le point C est confondu avec le point O, origine du repère? Exercice 5 Dans un plan muni d un repère (O,I,J), on considère les points A(-3 ;), B(4 ;3), C(7 ;0) et D(0 ;-1) 1. calculer les coordonnées des milieux des segments [AC] et [BD]. Que peut-on en conclure? Exercice 6 Dans un plan muni d un repère (O,I,J), on considère les points T (1; ), R (5;) et I ( 3; + 3 ) Déterminer la nature du triangle TRI Exercice 7 5 U, A ( 7 ; 7) Dans un plan muni d un repère (O,I,J), on considère les points Q ( 8 ; 3) ; ( ; 5) 3 et D ( ;1) 1. Placer les points dans un repère (O,I,J) et conjecturer la nature du quadrilatère QUAD. Calculer les distances QA UA, AD 3. Soit le point ; ), et QD, puis en déduire la nature du quadrilatère QUAD 1 C (. Que représente le point C pour le quadrilatère QUAD? 4. en utilisant le point C, comment peut-on déterminer avec une autre méthode la nature de ce quadrilatère? Repères et coordonnées - 6

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