Epreuves Groupées de Seconde - Epreuve de Mathématiques Correction. Exercice n 1. Question/justification

Transcription

1 Lycée militire de Sint Cyr Clsses de Seconde nnée -7 Eercice n. Question/justiiction Epreuves Groupées de Seconde - Epreuve de Mthémtiques Correction REPONSE ) Si I est le milieu de [BC], lors B + C = I + IB + I + IC = I + IB + IC = I VRI ) Si B = CD lors BDC est un prllélogrmme ) Si I est le milieu de [B], lors I = IB, mis on n ps l églité I = BI ) Si u = kv, lors l norme du vecteur u est égle à k ois celle du vecteur v 5) Si, lors et pr croissnce de l onction crrée sur, c est-à- dire ) Les coordonnées de B sont [ [ B y y 7) Il n eiste ps de réel k vériint simultnément ;+, on ur ( B = ( ) = ; B = 5( ) = 9) = k = k VRI 8) Si <, lors on pr stricte décroissnce de l onction inverse sur ]; + [, donc en prticulier et non ps 9) Si les vecteurs B et CD sont colinéires, lors (B)//(CD), mis on ne peut ps irmer que les points,b,c et D sont lignés (eemple du trpèze) ) Si les points,b,c et D sont lignés, lors C et D pprtiennent à l droite de vecteur directeur B, donc les vecteurs CD et B VRI seront colinéires. Eercice n. ) Les solutions de l éqution ( ) g( ) On lit grphiquement S = ; = sont les bscisses des points d intersection des deu courbes C et C g. Les solutions de l inéqution ( ) < g( ) sont les bscisses des points de C situés strictement en dessous de C g. On lit grphiquement ) On résout l éqution : 5 S = ; ( ) ( )( ) ( )( ) Pr ppliction de l règle du produit nul, on obtient + = ou =. insi Les solutions de cette éqution sont les bscisses des points d intersection de l courbe ) On résout l éqution : = g = + = + = = = 9 9 Pr ppliction de l règle du produit nul, on obtient ou S = ; C et de l e des bscisses. =. insi S = ; Pge /5

2 ) étnt prllèle à C g, son coeicient directeur est égl à, et son éqution de est donc de l orme y = + b Le point pprtennt à L éqution de est donc, ses corodonnées vériient l éqution de 9 y =, à svoir Eercice n. ) L inéqution n est déinie que si et seulement si + ou + = ou = Or Pour tout \{ ;}, + + On dresse un tbleu de signes de l epression ( )( + On en déduit lors que ] [ [ insi ] ;[ [ ; S = + [ ; ; +. ) : [ 8 9 y = + b b= = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = = Pr ppliction de l règle du produit nul, on obtient + = ou =. insi S = ; ) Le dénominteur + de l deuième rction se ctorisnt sos l orme + = ( + ), l éqution est déinie + \{ ;} si et seulement si et. Pour tout + = ( ) ( + ) ( + ), Une rction étnt nulle si et seulement si son numérteur est nul, l éqution devient équivlente à = 7. insi S = { } 7 ) ère méthode : On ur l églité = si et seulement si = =7 ou = = insi S = { 7;} ème méthode : en termes de distnces = d ; = donc est équivlent à = = ou à 7 REMRQUE Puisque = ( + ), on ur = + = + On peut donc résoudre plutôt l éqution + =, à l ide d une des deu méthodes ci-dessus = + =. On retrouve S = { } 7; Pge /5

3 5) On écrit > > ( + ) + 5( + ) > ( + )[ + 5] > On dresse un tbleu de signes de l epression ( )( 5) On en déduit lors que : ( + )( + 5) > ] ; [ ; + 5. insi S ] [ 5 = ; ; : Eercice n. ) On clcule : () = = =, ( ) = = = 7 et ( ) 9 ) On clcule : ( ) ( + ) = ( + ) = ( + )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = + = + = + + = + (+ ) est donc de l orme + B où = et B= = = = 8 7 ) On clcule 9 = = = =, donc est bien un ntécédent de 9 pr 8 ) Soit et b deu réels de l intervlle ];+ [ tels que <b On lors < b pr stricte croissnce de l onction crré sur ] ;+ [ De plus > pr stricte décroissnce de l onction inverse sur ] ;+ [, donc, pr multipliction pr, on déduit b <. Pr ddition membre à membre des deu inéglités < b et b < b, on obtient b < b, c est-à- b b b ;+ dire <. On donc < < <, ce qui prouve l stricte croissnce de l onction sur ] [ Eercice n 5. ) ) Une éqution de D est de l orme y = +b. Puisque le point ( ;) est un point de D, ses coordonnées vériient l éqution de D, à svoir y = + b b= =. Une éqution de D est donc y = + b) Une droite étnt déinie de mnière unique pr deu points, on pourr choisir, pr eemple ( ;) et B( ;7) pour D, et C( ;) et D( ;) pour D. L igure est ite ci-dessous c) Les deu droites n ynt ps même coeicient directeur, elles ne sont ps prllèles, et sont donc sécntes d) Notons et y les coordonnées de leur unique point d intersection. et y vérint les deu équtions de droites, ils sont y = + + = + = donc solutions du système = y y y = y 8 = + = + = + Pge /5

4 Les coordonnées de leur point E d intersection sont donc E (;8) y = + y= + ) Les inormtions sur et y ournies pr l énoncé permettent d écrire que. On retombe y = y = + = ectement sur le système de l question précédente. On en déduit que les deu nombres cherchés sont y = 8 ) On trnsorme l églité successivement : ( y+ ) ( y 8) [ y y ][ y y ] ( y+ 8)( y+ ) y+ 8 OU y+ = y= + OU y = + On reconnît là les deu équtions de et D. D L ensemble des points M dont les coordonnées vériient l éqution de OU celle de est l ensemble des points pprtennt à D OU à D. Il s git donc de l union des deu droites D et D Eercice n. Méthode : ) Puisque I + IB, le point I est le milieu de [B] D D ) Puisque I est le milieu de [B], (DI) est l médine issue de D dns le tringle BD. Puisque DE = D I, E est le centre de grvité du tringle BD ) Puisque O est le centre du prllélogrmme, il est le milieu de l digonle [BD]. insi, (O) est l médince issue de, dns le tringle BD. Le centre de grvité étnt à l intersection des trois médines du tringle BD, on conclut que E pprtient à (O), donc que,e et O sont lignés ) Puisque O est le miliu de [C], les points,o et C sont lignés. Puisque les points,e et O l étient, les qutre points,e,o et C sont donc lignés. En prticuler les points,e, et C Pge /5

5 Méthode : ) On clcule : E = D + DE = D + DI = D + ( D + I ) = D + D + B = D D + B = B + D ) Puisque BCD est un prllélogrmme, B + D = C, donc l églité E = B + D = ( B + D) = C montre que les vecteurs C et E sont colinéires, donc que les points,c et E sont lignés. Méthode : Dns le repère ( BD ; ; ), les coordonnées de sont ( ;), celles de B( ;) celles de D( ;), celles de C sont C( ;), cr C = B + D Les coordonnées du milieu I de [B] sont + y B ; + y B I = = yi = DE ; y, celles de DI sont Notons et y les coordonnées de E. Les coordonnées de DE sont DI = ; =. L églité DE = D I se trduit pr le système y = = = y= + = insi, le point E pour coordonnées E ; Les vecteurs E et C ont donc respectivement pour coordonnées E ; et C ( ;), c est-à-dire E ; et C ( ;). On retrouve lors l églité vectorielle E = C qui montre que les vecteurs C et E sont colinéires, donc que les points,c et E sont lignés. Pge 5/5